xx教

案編號：1號課程名稱：高等數學授課章節§函數極值及其求法

編寫時間：目的要求重點難點

１、掌握函數極值的概念和函數極值存在的必要條件和兩個充分條件．、根據相關知識點會求某些函數的極值．、通過本節課的學習，使學生領悟局部與整體的辯證關系．極值的必要、充分條件．函數極值的求法的理解與掌握．一復導上節課我們應用導數來研究了函數的單調性，知道了函數的單調性與導數的符號有著密切的聯系．即設函數（1）如果（2）如果觀察下面函數的圖像：

主內與時間（約極值的概念10分極值的必要條件分第一充分條件分第二充分條件分極值求法應用舉例分

X

1

X2

o

X3

X4

X5

小結、鞏固圖1

練習分函數值

x

附近的函數值進行比較，會有1什么結論呢？那么，在

、

、

與

點處的情況如何呢？2

3

4

5參書1xxxxxxxx00x0xxxxxxxx00x0x0二探新（一、數極值定義定義1設函數的某一鄰U0

0

內有定義，如果

1高等數學》遼寧省師范院校初等教育專業對于去心鄰U

內的任一x，都有

教材．則稱函數值f

0f0或極小值0

高等數學》同濟大學第五版．函數的極大值與極小值統稱為函數的極值，使函數取得極值的點稱為極值點．對極值義的理解：函數的極大值、極小值概念是局部性的概念．函數的極大值不一定比極小值大．函數的極值點一定出現在區間內部．（二、數存在值的必要條觀察圖1極值點處的切線有什么特點？結合導數的幾何意義，我們能否得到什么樣的結論？定理﹙極值的必要條件﹚設函數f可導，且在x處取得極值，則一定有

．

0

0分

0析：我們知道函數的極值就是局部的最值，而證明極值點處的導數為零只要在極值點的某一鄰域內考慮即可，那么就是證明這一鄰域內的最值處導數為零，而這實際上就是費馬（）引理的內容．證

明：設f類似證明根據極值的定義，對于Uff當x，lim000ff當，00lim0．0x0x2x，xx，xx從而，f

．0（三、數存在值的充分條定義

使導數

點（穩定點定理1明：可導函數的極值點必定是駐點。討

論1、函數的駐點一定是極值點嗎？函數的導數不存在的點可能是極值點嗎？觀察1，極大值點與極小值點左右兩側的函數的導數符號如何變化？注

意駐點不一定是極值點如函數f

的駐點x不是極值點定理1表明對可導函數而言求極值點應先找出駐點，然后對駐點進行判斷，哪些是極值點哪些不是極值點．根據極值的定義及函數單調性的判定法不難知道：如果在駐點兩側函數導數的符號相反，則駐點必然是使函數單調性改變的點，從而一定是函數的極值點．由此我們得到下面的定理定理2（值的第一充分條件）設函數f處連續，且在0點

的某一鄰U

（點

可除外具有導數于U

0（1）若

x

00時，

x

，

0是函數

0（2）若

時，f

，

0是函數

0

0（3）在

兩側，f

0

0值．分

析：顯然）與）的證明是類似的．由于證明極值是比較0

處的函數值與其鄰域內的其它點處的函數值，而拉格朗日（Lagrange）中值定理就是討論函數值之差與自變量之差之間的關系的，因此應用拉格朗日（Lagrange）中值定理可證明．3xxxxx．xxxxxx．xxx證

明：僅證⑴，設U

內任意一點，根據拉格朗日0（Lagrange）中值定理得f

之間．0由（1）的條件可知：

0

0當

時，ffff

0；當x0

0

，

000對0，都有

．根據極值的定義知f

00（2的證明是類似的，建議學生出．定理2表明：如果在點x側的導數符號相反，x一定是0

0極值點，如果在點

x

兩側的導數符號相同，則

x

就一定不是極值

點．問題：根據定理2否尋求到求函數極值的方法？求極值步驟：求出導數f

求出f可導點；根據定理2確定這些點是不是極值點，如果是極值點，進一步確定是極大值點還是極小值點；求出各極值點處的函數值,就得到函數f應用舉：例1函數f

x

x的極值．解該函數的定義域f

3x

令

x

x

．駐點將定義域分成三部分，1

2現列表討論如下：4xxxxxxxxxx

-1

3

f

+

0

-

0

+f

↗

極大值

↘

極小值

↗數f為f取得

極小值，極小值為

f

．上述有關極值的充分條件和必要條件都是對可導函數而言的，在此條件下，極值點一定是駐點，因此只要求出函數的駐點，再由定理考察各個駐點是否為極值點就行了．但是如果函數有不可導點，就不能肯定極值點一定是駐點了，因為在導數不存在的點處，函數也可能取得極值。請看下例：例2求函數f

的極值．解該函數的定義域當x2時，f

23

；當x2時，f

當x2，f

，f

處連續，所以x2是函數f極大值為注意：上是利用函數的一階導數來討論函數的極值，當函數在駐點處的二階導數存在且不為零時，也可以利用下面的定理用二階導數來判斷函數在駐點處是取得極大值還是極小值．定理3﹙極值的第二充分條件﹚設函數

處具有二階導數，且

，f

則

0（1）當f

0

處取得極大值；00（2）當f處取得極小值．0證明只證情形⑴，情形⑵的證明是類似的．由導數的定義及f

和f

，得f

0flimxx5

f0xxfxxxx3xfxxxx3x21xx2根據函數極限的局部保號性定理，對于U

，有．0x因此，當

時，f

，

f

00根據定理2，函數取得極大值．0x理3數f0定是函數f

數0注意：如果f

0，就不能用定理3來判斷

是否為極值0點．事實上，當f000值，也可能有極小，也可沒有極．例如f，

三個函數就分別屬于這三情況。所以，當函數在駐點處的二階導數為零時，只能用定理來判斷，即：由駐點左右兩側一階導數的符號來判斷．應舉：例3求函數f的極值．解：f

2

．令

x

x

．f

．

2

3因極小值，極小值為f又f

定理2來判斷．當，f在沒有極值．同理，f有極值．三、鞏練習習題．1、求下列函數的極值（1）y2xx

（2）1x612a為何值時，函數fsin3x在