4.4.2對數函數的圖象和性質高一數學必修第一冊第四章指數函數和對數函數學習目標

1.會用描點法畫對數函數的圖象；2.掌握對數函數的性質；3.能用對數函數的圖象性質比較對數的大小.4.核心素養：數學抽象、數學運算.一、回顧舊知1.對數函數的定義一般地,函數叫做對數函數.其中x是自變量,定義域是①列表②描點

③連線2.描點法作函數圖象的步驟二、探究新知與研究指數函數一樣,首先畫出其圖象,再借助圖象研究其性質,先用描點法畫函數的圖象.1.84201-10.5-20.25列表12321-1-21240yx3描點連線2.思考：我們知道底數互為倒數的兩個指數的圖象關于y軸對稱，對于底數互為倒數的兩個對數函數，如,它們的圖象是否也有某種對稱關系？可否利用其中一個函數圖象畫出另一個函數的圖象？(3)根據對稱性（關于x軸對稱)已知的圖象，你能畫出的圖象嗎？x1oy1當0<a<1時與a>1時的圖象又怎么畫呢?性質又如何？

為了得到對數函數的性質，我們還需要畫出更多具體對數函數的圖象進行觀察如圖象性質a＞10＜a＜1定義域:

值域:過定點在(0,+∞)上是在(0,+∞)上是當x>1時，當x=1時，當0<x<1時，(0,+∞)R(1,0),

即當x＝1時,y＝0增函數減函數y>0y=0y<0

當x>1時，當x=1時，當0<x<1時，y<0y=0y>0

3.對數函數的圖象和性質4.下列是6個對數函數的圖象,比較它們底數的大小

規律：在x=1的右邊看圖象,圖象越高底數越小.即圖高底小10

底數a>1時,底數越大,其圖象越接近x軸補充性質二

底數互為倒數的兩個對數函數的圖象關于x軸對稱補充性質一圖

形10.5y=logx0.1y=logx10y=logx2y=logx0xy

底數0<a<1時,底數越小,其圖象越接近x軸5.指數函數與對數函數互為反函數定義域與值域互換.1.例3.比較下列各組中，兩個值的大小：

(1)log23.4與log28.5log23.4log28.53.4108.5∴log23.4<log28.5解法1：畫圖找點比高低解法2：利用對數函數的單調性考察函數

y=log2x,∵a=2>1,∴函數在區間（0，+∞）上是增函數；∵3.4<8.5∴log23.4<log28.5三、鞏固新知解法2：考察函數

y=log0.3x,∵a=0.3<1,∴函數在區間（0，+∞）上是減函數；∵1.8<2.7

∴log0.31.8>log0.32.7

解法1：畫圖找點比高低1.例3.比較下列各組中，兩個值的大小：(2)log0.31.8與log0.32.7比較兩個同底對數值的大小時:1)觀察底數是大于1還是小于1(a>1時為增函數,0<a<1時為減函數)2)比較真數值的大小；3)根據單調性得出結果.注意：若底數不確定，那就要對底數進行分類討論即0<a<1

和

a>

1

比較下列各組中，兩個值的大小：

(3)

loga5.1與

loga5.9解:①若a>1則函數在區間（0，+∞）上是增函數；

∵5.1<5.9

∴loga5.1<loga5.9

②若0<a<1則函數在區間（0，+∞）上是減函數；

∵5.1<5.9

∴loga5.1>loga5.91.例3.你能口答嗎？變一變還能口答嗎？＜＞＞＜＜＞＞＜＜＜＜＜2.試一試：

比較下列各組中兩個值的大小:⑴log67,log76;⑵log3π,log20.8.

解:

⑴∵log67＞log66＝1

log76＜log77＝1

∴log67＞log76

⑵

∵log3π＞log31＝0

log20.8＜log21＝0

∴log3π＞log20.8注意:利用對數函數的增減性比較兩個對數的大小.當不能直接進行比較時,可在兩個對數中間插入一個已知數(如1或0等),間接比較上述兩個對數的大小.提示:

logaa＝1提示:

loga1＝0小技巧：判斷對數與0的大小是只要比較（a-1)(b-1)與0的大小3.變式:4.例4:

溶液酸堿度的測量

溶液酸堿度是通過PH計算的.PH的計算公式PH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升.

(1)根據對數函數性質及上述PH的計算公式，說明溶液酸堿度與溶液中氫離子的濃度之間的變化關系.

(2)已知純凈水中氫離子的濃度為[H+]

=10-7摩爾/升,計算純凈水的PH值.

解:(1)根據對數函數性質,有PH=-lg[H+]=lg[H+]-1=lg,[H+]在(0,+∞)上，隨著[H+]的增大,減小，相應地，[H+]lg也減小，即PH減小.所以隨著[H+]的增大,PH減小,[H+]即溶液中氫離子的濃度越大，溶液的酸