第七章導數及其應用導數的綜合應用第44講與利潤及其成本有關的最值問題本題主要是考查學生運用導數知識解決實際問題的意識，思想方法以及能力．問題關鍵在于建立數學模型和目標函數．本題難點是如何把實際問題中所涉及的幾個變量轉化成函數關系式．根據題設條件作出圖形，分析各已知條件之間的關系，借助圖形的特征，構造相應的函數關系．點評【變式練習1】某工廠生產某種產品，已知該產品的月產量x(噸)與每噸產品的價格P(元/噸)之間的函數關系為P＝24200－1/5x2，且生產x噸該產品的成本為R＝50000＋200x元，問該廠每月生產多少噸產品才能使利潤達到最大？最大利潤是多少？(利潤＝收入－成本)．

因為f(x)在[0，＋∞)內只有有一個個極值值點x＝200，故它它就是是最大大值點點，于于是f(x)的最大大值為為f(200)＝－1/5×2003＋24000×200－50000＝3150000(元)．答：每每月生生產200噸產品品時，，利潤潤達到到最大大，最最大利利潤為為315萬元．．效率最最值問問題【例2】如圖，，某地地有三三家工工廠，，分別別位于于矩形形ABCD的兩個個頂點點A，B及CD的中點點P處．已已知AB＝20km，BC＝10km.為了處處理這這三家家工廠廠的污污水，，現要在在該矩矩形區區域上上(含邊界界)且與A，B等距的的一點點O處，建建造一一個污污水處處理廠廠，并并鋪設設三條條排污污管道道AO，BO，PO.記鋪設設管道道的總總長度度為ykm.(1)設∠BAO＝θ(rad)，將y表示成成θ的函數數；(2)請你確確定污污水處處理廠廠的位位置，，使鋪鋪設的的污水水管道道的總總長度度最短短．解決實實際應應用問問題的的關鍵鍵在于于建立立數學學模型型和目目標函函數．．本題題求解解的切切入點點在于于根據據圖形形，分分析各各已知知條件件之間間的關關系，，借助助圖形形的特特征，，合理理選擇擇這些些條件件間的的聯系系方式式，適適當選選定變變元，，構造造相應應的函函數關關系，，通過過求導導的方方法求求出函函數的的最小小值，，便可可確定定點C的位置置．點評【變式練練習2】如圖，，用寬寬為a、長為為b的三塊塊木板板，做做成一一個斷斷面為為梯形形的水水槽．．問斜斜角為為多大大時，，水槽槽的流流量最最大？？最大大流量量是多多少？？幾何模模型的的最優優化問問題【例3】從邊長長為2a的正方方形鐵鐵片的的四個個角各各截去去一個個邊長長為x的正方方形，，再將將四邊邊向上上折起起，做做成一一個無無蓋長長方體體鐵盒盒，要要求長長方體體的高高度與與底面面邊長長的比比值不不超過過常數數t(t>0)．試問問當x取何值值時，，容積積V有最大大值？？利用導導數解解決生生活中中的優優化問問題，，關鍵鍵是要要建立立恰當當的數數學模模型，，把問問題中中所涉涉及的的幾個個變量量轉化化為函函數關關系式式，這這需要要通過過分析析、聯聯想、、抽象象和轉轉化完完成．．函數數的最最值要要由極極值和和端點點的函函數值值確定定．當當函數數定義義域是是開區區間且且在區區間上上只有有一個個極值值時，，這個個極值值就是是它的的最值值．點評1.質量為為5kg的物體體運動動的速速度為為v＝(18t－3t2)m/s，在時時間t＝2s時所受受外力力為________N.【解析】因為v'＝18－6t，所以以v'|t＝2＝18－6×2＝6.所以，，當t＝2時，物物體所所受外外力F為6×5＝30(N)．302.有一邊邊長分分別為為8與5的長方方形，，在各各角剪剪去相相同的的小正正方形形，把把四邊邊折起起作成成一個個無蓋蓋小盒盒．要要使紙紙盒的的容積積最大大，則則剪去去的小小正方方形的的邊長長應為為_______.13.內接于于半徑徑為R的半圓圓的周周長最最大的的矩形形的邊邊長分分別是是_____________.1．利用用導數數解決決優化化問題題，關關鍵在在于建建立目目標函函數，