§1

一.基本概念:1.微分方程; 2.常微分方程; 3.偏微分方程; 4.微分方程的階; 5.微分方程的解; 6.微分方程的通解:如果微分方程的解中含有任意常數，并且任意常數的個數與微分方程的階數相等，則這樣的解就稱為此微分7.微分方程的初始條件與特解.8.微分方程的積分曲線:

P263．5．寫出由下列條件所確定的曲線所滿足的微分方程:

1．曲線在點處

,

的切線的斜率等于該點橫坐標的平方.

,則由題意得:

.--------這就是所需確定的曲線應滿足的微分方程．

2．曲線上點

,

,且線段

,且設曲線在點

1/

,

1/

/

/

．．．．．．．①

．．．．．．．．．．②

．．．．．．．．．．②

P

P

--------這就是所需確定的曲線應滿足的微分方程．§2．可分離變量的一階微分方程 F

,,

,

,

,

,

g

..

,

,

,

,

轉化求解法―――即首先將原一階齊次微分方程轉化為變量分離方程；然后再按變量分離方程的解法去求解即可！具體地說， du du

,

du

參見Ｐ271．例１．(

)

,

du

du

du

du

（i）.當

（ii）.當

278．例１）

e

p

e

p

..

n

n

dz

n

dz

p

-----這是一個一階線性非齊次方程!進而可由一階線性非齊次方程的通解公式求出其解,這樣也就求出原伯努利方程（＊）的解!

du

du

du

．．．．例２．Ｐ282.9.（3）解方程

u

eu

du

ueu

du

du

．．．．

n

,

,

d dp

p

dp

,

p

解法去求解．．．．．得其通解設為

p

(

,

)

p

,

(

,

)

,

,

d

dp dp

dp

p

p

p

dp

,

p

..

p

(,

)

,

,

,

d d dp

p

，則

p

p

p

e

e

e

e

p

e

(

)

．．．．

p

,

,

d dp

p

p

dp

dp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p)

．．．．．．（＊）的方程為二階線性微分方程．

（i）.當

..

（ii）.當

(

)

A

(

)

(

)

２．多個函數間的線性相關性與線性無關性的定義（參見教材Ｐ296

(

)

(

)

(

)

A

(

)

(

)

*

(

)

*

５．二階線性非齊次微分方程解的疊加原理（Ｐ297

*

(

)

(

)

(

)．）

P(

)(

)

(

)

(

)

P(

)(

)

(

)

(

)

A

(

)

(

)

(

)

(

)

A

(

)

(

)

７．例題分析Ｐ326.１．(4)．已知

,

．．．．（＊），則由定理３知：非齊次通解

＝齊次通解

＋非齊次特解

*

，現由題意知＂

非齊次特解

*

＂可取..

,

(

)

(

)

(

)

(

),

(

)

(

)

@

(

)

(

)

(

)

@

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

(

)

A

(

)

(

)

A

(

)

(

)(

)

(

)

．．．(４)

),

),

(

)

．．．．．（１）的兩個線性無關的特解，

W

．．．．（２）W

W

W

W

．．．．（１）之中，(i)．如果

p

),

p,q(ii)．如果

p,q

q

r,r..

r,r

(i)．若特征根r,r

r

r

(ii)．若特征根r,r

(

)r

(iii)．若特征根r,(iii)．若特征根r,r

r

i

e

(

)

的求解舉例：參見教材Ｐ304--305

例２;

p,q

(

)

．．．．．（１）的兩個線性無關的特解，

W

．．．．（２）W

W

W

W

例如Ｐ313.例２．求方程

rrr

r

,

W

e

e

e

W

W

e

e

e

e

e

e

e

d

e

d

e

e

三．本章雜例Ｐ327．7．設有可導函數

..

e

p

e

p

e

e

一.

①向量與自由向量;②單位向量與零向量;③向量的共線與共面;④向量的模,方向角,以及投影等.二.

三.向量的線性運算在空間直角坐標系下的表達

r

r r r r

r

b

Ab

,

,br

r r r r r

b

jr

b

b

jr

br

r r r r

r

b

Ab

,

,br

r,brrr r

r

r

[,

b,]A

(b)rrr,

b,

rrr

[,

b,]

rrr

rrr(i)

,

b,

(ii)

,

b,

一.

rrr

M(

,

,

)[,

b,]

F

,,

的解之間能構成一一對應,則稱這F

,,

..

建立曲面方程的一般方法:首先在所求曲面上任取一點

M

,,,然后利用該曲面的特征并將其等價地表M

,,的坐標應滿足的條件式即可!

:試求球心在點M

(

,

,

)

,半徑為

解:設解:設M

,,為所求球面上任意一點,則由

M

M

uuuuuur

M

M

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

二.

旋轉曲面的定義(參見

坐標平面內的平面曲面繞坐標軸旋轉所成旋轉曲面的方程及其特點:例如:

,

,

(

g

,

g

,

三.

1.柱面的定義(參見

2.四種常見的柱面:

g

(

,

)

;②橢圓柱面

;③拋物柱面

;④雙曲柱面

b

3.二元方程在空間直角坐標系中的幾何意義:

.例如:方程

,

,

四.

掌握運用對旋轉曲面伸縮變形來認識一般的二次曲面形狀的思想方法;

b

b

b

b

..

§4

一.

F

(

,,)

F

,,

,,

(

,,)

二.

二.

三.

四.

)

)

§5

r一.

M

(

,

,

)

{

,,

C}

(

)

(

)C

(

)

r二.

{

,,

C}

b

b

,

b,

四.

五.

P

(

,

,

)

d

d

一.

空間直線的一般方程(或稱交線式方程)：一.

空間直線的一般方程(或稱交線式方程)：

C

C

.. 二.

空間直線的點向式方程(或稱對稱式方程)：

m

p

二.

空間直線的點向式方程(或稱對稱式方程)：

m

p

三.

四.

m

p

mt

M

(

,

,

),M

(

,

,

)

五. 六.

七.

C

C

,

,

C

,

,

C

(

C

)(

C

)

rr

,

為待定系數！）．．．．．．．．（１）

/

設點

M

(

,

,

)

M

,,

uuuuuur

rM

M

M

(

,

,

)

d

..

L

(

,

,

)L

(

,

,

)

r rL

P

(

,

,

)L

(

,

,

)

r

r

r

rL

P

L

P