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文檔簡介
導數常用一些技巧和論（年國新課標··）已知f
2x
x
.（）論f
的單調性；（）若
有兩個零點，求a的值范圍解析）'若0
，則
恒成立，所以f
在上遞減；若，令
，
ln
.當x
時，f'
，所以
在
上遞減；當x
時，f'
，所以
1在,a
上遞增綜上，當0
時，f
在R上遞減；當0
時，f
在
1上遞減，在,a
上遞增（）f
有兩個零點，必須滿足
fmin
，即且f
x
min
f
10a
.構造函數
gx.易g
x
，以
單調遞減又因為
g
，所以
100aa
.下面只要證明當
0時f
有兩個零點即可，為此我們先證明當x時，
.事實上，構造函數
h易'
x
，∴
hmin
.當
時，
f
e2e
2
，3flnalnlna
，其中
ln
，lna
，所以
在
13和a
上各有一個零點故a
的取值范圍是注意：點過程用到了常用放縮技巧。一方面：
ae2xaexaex
ln
；另一方面：0
時，
（目測的）xx，xxxxx，xxxxx2第一組：對數放縮（放縮成一次函數）lnxx
，
，ln（放縮成雙撇函數）lnx
11
，1lnx，lnxxx
，（放縮成二次函數）xx
，ln
1x，ln22（放縮成類反比例函數）ln
x
2，xx，ln0xx
，
，ln1第二組：指數放縮（放縮成一次函數）e
x
e
x
e
x
，（放縮成類反比例函數）
x，ex
，（放縮成二次函數）
1x2x，exx6
3
，第三組：指對放縮
ln
第四組：三角函數放縮xxtanxx
1x2，xcos2
2
x
.第五組：以直線y
為切線的函數yln，
x
，
2
，y
x
，y
.221feaaa223221feaaa223經模型一
lnx或.xlnx【例1】討論函數f
的零點個數（）
時，無零點f'
x
，f
ln
.（）
時，個點.f
x
，f
.（）0
時，個零點.f
（目測
f
1
a1011f.
，其中
.（縮）f
1ln
，其中
2
.（到了ln
）（）時，個點f'
x
，單調遞增
f
，1
a
1a
11aae
.【變式過元和等價變形之后均可以轉化到例：f
討論f
的零點個數（令x
，
m2
a討論f
的零點個數（令
1m
a討論
xmx的零點個數（考慮g
fx
討論f
ln
mx
的零點個數考慮g
，令
32，m2討論f
2
的零點個數令
tx
，2
討論f
x
的零點個數（令
e
）經模型二
exex或y【例2】討論函數f（）a0時，個點.
x
的零點個數f
，f
單調遞增.且
f
1
，所以在
上有一個零點；（）a時無零點f
恒成立；（）
時，無零點f
f
；（）a時2個零.f
1a
，
，fa
.【變式過元和等價變形之后均可以轉化到例題：f
x
討論
2
的零點個數（令2x
，
m2
a討論f
x
的零點個數去分母后與1等討論
的零點個數（移項平方后與1等討論
2
的零點個數（移項開方后換元與1等價討論f
的零點個數（乘以系數e，令a討論
x
lnx
的點個數（令
t
，轉化成2）討論f
x
mx
的零點個數令x
m，e2minmin經模型三y
x【例】討論函數f（）a時1個點
x
的零點個數f'
x，flnx
單調遞增fx（）a時1個點）0（）時，無零點
，
1
.f
xx2
，fmin（）時，個零.x0
.
1fflne（）
時，2個點.f
1a
，
f
，f
，【變式過元和等價變形之后均可以轉化到例題：f
x
討f
x
1x
ln
的零點個數；討論f討論f
ae
的零點個數（考慮xx的零點個數令e
f
，令x
討論
x
x
ax
的零點
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