第十章排列、組合、二項式定理和概率110.5等可能事件和互斥事件的概率第二課時題型4求互斥事件的概率

1.已知在6個電子元件中有2個次品，4個正品，每次任取1個進行測試，測試后不再放回，直到2個次品都找到為止，求經(jīng)過4次測試恰好將2個次品都找到的概率.2解:設(shè)A表示事件“前3次測試僅有一次取到次品,第4次測試恰好取到次品”;B表示事件“前4次測試都取到正品”.則

，.因為A、B互斥,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=.故經(jīng)過4次測試恰好將2個次品都找到的概率是.

3

點評：解決有關(guān)互斥事件的概率，關(guān)鍵是先將事件劃分為幾個互斥事件，然后求得各互斥事件的概率，最后求得各互斥事件的概率之和即為所求.4

袋中有紅、黃、白3種顏色的球各1只，從中每次任取1只，有放回地抽取3次，求3只顏色全相同的概率.

解：“3只顏色全相同”只可能是這樣三種情況：“3只全是紅球”(設(shè)為事件A)；“3只全是黃球”(設(shè)為事件B)；“3只全是白球”(設(shè)為事件C).

故“3只顏色全相同”這個事件為A+B+C.5

由于事件A、B、C不可能同時發(fā)生，因此它們是互斥事件.

從袋中有放回地抽取3次，每次取1只，共會出現(xiàn)3×3×3=27種等可能的結(jié)果，其中3只全是紅球的結(jié)果只有一種，故事件A的概率為P(A)=

.再由于紅、黃、白球個數(shù)一樣，故不難得P(B)=P(C)=P(A)=

.

所以P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=

.

所以3只球的顏色全相同的概率為

.6

2.甲、乙兩名跳高運動員一次試跳2米高度成功的概率分別是0.7，0.6，且每次試跳成功與否相互之間沒有影響，求：(1)甲試跳一次不成功的概率；(2)甲、乙兩人在一次試跳中至少有一人成功的概率.

解：記“甲試跳一次成功”為事件A，“乙試跳一次成功”為事件B，依題意得P(A)=0.7，P(B)=0.6，且A、B相互獨立.題型5求對立事件的概率7(1)“甲試跳一次不成功”的事件為

，則P()=1-P(A)=1-0.7=0.3.

答：甲試跳一次不成功的概率是0.3.(2)“甲、乙兩人在一次試跳中至少有一人成功”為事件C，則“甲、乙兩人在一次試跳中兩人都不成功”為事件，則=0.3×0.4=0.12，所以P(C)=1-0.12=0.88.

答：甲、乙兩人在一次試跳中至少有一人成功的概率為0.88.8

點評：互為對立的兩個事件的概率之和為1，這是求對立事件的概率的基礎(chǔ).從集合的觀點來看，對立事件之間互為補集，利用對立事件求概率體現(xiàn)了“正難則反”的解題思路.9有三個人，每個人都以相同的可能性被分配到四個房間中的每一間，求：(1)三個人都分配到同一個房間的概率;(2)至少兩個人分配到同一房間的概率.

拓展練習(xí)10解：(1)因為為三個人以以同樣的可可能性被分分配到每個個房間，而而三個人中中每個人都都可以分配配到四個房房間中的每每一間，共共有43種種方法，又又三個人分分配到同一一房間有4種分法，，故所求概率率為.(2)設(shè)““至少有兩兩個人分配配到同一房房間”為事事件A，則“三個個人分配到到三個不同同房間”為為事件.而，所以.113.在1，2，3，4，5五條線路的的公交車都都停靠的車車站上，張張先生等候候1，3，4路車，已知知每天2，3，4，5路車經(jīng)過該該站的平均均次數(shù)是相相等的，1路車經(jīng)過該該站的次數(shù)數(shù)是其他四四路車經(jīng)過過該站的次次數(shù)之和，，若任意兩兩路車不同同時到站，，求首先到到站的公交交車是張先先生所等候候的車的概概率.題型6用間接法求求組合問題題的方法數(shù)數(shù)12解：(1)設(shè)Ai表示事件““第i路車首先到到站”(i=1，2，3，4，5).由題設(shè)可知知P(A1)=P

P(A2)=P(A3)=P(A4)=P(A5)，②

P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)+P(A5)=1.③聯(lián)立①②③解得，P(A1)=，P(A3)=P(A4)=.13因為A1，A所以P(A1+A3+A4)=P(A1)+P(A3)+P(A4)=，故所求的概率為.

點評：利用互斥事件中的基本事件的概率之間的計算公式，通過方程思想反求基本事件的概率，這體現(xiàn)了知識與方法上的縱橫交匯.14甲、乙兩袋袋裝有大小小相同的紅紅球和白球球，甲袋裝裝有2個紅紅球，2個個白球；乙乙袋裝有2個紅球，，n個白球，現(xiàn)現(xiàn)從甲、乙乙兩袋中各各任取2個個球.(1)若n=3，求取取到的4個個球全是紅紅球的概率率；(2)若取取到的4個個球中至少少有2個紅紅球的概率率為，求n的值.解：(1)記““取到的4個球全是是紅球”為為事件A，則.15(2)記““取到的4個球中至至多有1個個紅球”為為事件B，“取到的的4個球中中只有1個個紅球”為為事件C，“取到的的4個球全全是白球””為事件D，則則，，因為為P(B)=P(C)+P(D)，所以以,即7n2-11n-6=0，所以以n=2或n=(舍去去)，故故n=2.161.若把一次試驗驗中所有可能能的結(jié)果組成成集合I，事件A，B包含的結(jié)果分分別為集合A，B，則事件A的概率就是；事件A與B互斥就是A∩B=，A與B對立就是A=IB，即A=B.172.求復(fù)雜雜的互斥事件件的概率,一一般有兩種方方法：(1)直接求求解法.將所所求事件的概概率分解成一一些彼此互斥斥的事件的概概率的和，分分解后的每個個事件的概率率的計算通常常為等可能性性事件的概率率計算，求m與n時要正確應(yīng)用用排列、組合合公式，其關(guān)關(guān)鍵在于確定定事件是否互互斥，是否完完備.(2)間接求求解法.先求