第二章統計2.2.2用樣本的數字特征估計總體的數字特征一、眾數、中位數、平均數1、眾數

在一組數據中，出現次數最多的數據叫做這一組數據的眾數。2、中位數將一組數據按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數據（或兩個數據的平均數）叫做這組數據的中位數。3、平均數

(1)x=1/n(x1+x2+……+xn)

練習:在一次中學生田徑運動會上，參加男子跳高的17名運動員的成績如下表所示：成績(單位：米)1.501.601.651.701.751.801.851.90人數23234111分別求這些運動員成績的眾數，中位數與平均數解：在17個數據中，1.75出現了4次，出現的次數最多，即這組數據的眾數是1.75．上面表里的17個數據可看成是按從小到大的順序排列的，其中第9個數據1.70是最中間的一個數據，即這組數據的中位數是1.70；

這組數據的平均數是

答：17名運動員成績的眾數、中位數、平均數依次是1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）.

二、眾數、中位數、平均數與頻率分布直方圖的關系1、眾數在樣本數據的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點的橫坐標。例如，在上一節調查的100位居民的月均用水量的問題中，從這些樣本數據的頻率分布直方圖可以看出，月均用水量的眾數是2.25t.如圖所示：頻率分布直方圖如下：月均用水量/t頻率組距0.100.200.300.400.500.511.522.533.544.5

2、在樣本中，有50％的個體小于或等于中位數，也有50％的個體大于或等于中位數，因此，在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積應該相等，由此可以估計中位數的值。下圖中虛線代表居民月均用水量的中位數的估計值，此數據值為2.02t.頻率分布直方圖如下：月均用水量/t頻率組距0.100.200.300.400.500.511.522.533.544.5說明:2.03這個中位數的估計值,與樣本的中位數值2.0不一樣,這是因為樣本數據的頻率分布直方圖,只是直觀地表明分布的形狀,但是從直方圖本身得不出原始的數據內容,所以由頻率分布直方圖得到的中位數估計值往往與樣本的實際中位數值不一致.

3.可以從頻率分布直方圖中估計平均數平均數的估計值=頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和三、眾數、中位數、平均數的簡單應用例1.某工廠人員及工資構成如下：人員經理管理人員高級技工工人學徒合計周工資2200250220200100人數16510123合計22001500110020001006900（1）指出這個問題中周工資的眾數、中位數、平均數（2）這個問題中，工資的平均數能客觀地反映該廠的工資水平嗎？為什么？分析：：（1）眾數為為200，中位位數為為220，平均均數為為300。（2）因平平均數數為300，由表表格中中所列列出的的數據據可見見，只只有經經理在在平均均數以以上，，其余余的人人都在在平均均數以以下，，故用用平均均數不不能客客觀真真實地地反映映該工工廠的的工資資水平平。四、標標準差差平均數數向我我們提提供了了樣本本數據據的重重要信信息，，但是是，平平均數數有時時也會會使我我們作作出對對總體體的片片面判判斷，，難以以概括括樣本本數據據的實實際狀狀態，，而數數據的的離散散程度度可以以用極差、、方差差或標標準差差來描述述。為了表表示樣樣本數數據的的單位位表示示的波波動幅幅度，，通常常要求求出樣本方方差或者它它的算術平平方根根.四、標標準差差（1）方差：設在在一組組數據據，x1，x2，…，xn中，各各數據據與它它們的的平均均數x的差的的平方方分別別是那么我我們用用它們們的平平均數數，即即來衡量量這組組數據據的波波動大大小，，并把把它叫叫做這這組數數據的的方差，一組組數據據方差差越大大，則則這組組數據據波動動越大大。（2）標準差差：我們們把數數據的的方差差的算算術平平方根根叫做做這組組數據據的標標準差差，它它也是是一個個用來來衡量量一組組數據據的波波動大大小的的重要要的量量。計算標標準差差的算算法：：S1算出樣本數據的平均數x；S2算出每個樣本數據與樣本平均數的差（i=1，2，……，n）；四、標標準差差S3算出（i=1，2，…，n）；S4算出（i=1，2，…，n）這n個數的平均數，即為樣本方差s2；S5算出方方差的的算術術平方方根，，即為為樣本本標準準差s。例2.計算數數據5，7，7，8，10，11的標準準差.解：S1x=———————=85+7+7+8+10+116數據xiS1xS2xi－xS3(xi－x)258－3978－1178－1188001082411839S4s2=———————=4；9+1+1+0+4+96S5.所以這這組數數據的的標準準差是是2.例3.從某燈燈泡廠廠生產產的一一批燈燈泡中中隨機機地抽抽取10只進行壽命命測試，，得數據據如下（（單位：：h）:1458，1395，1562，1614，1351，1490，1478，1382，1536，1496使用函數數型計算算器或計計算機的的Excel軟件求樣樣本的平平均數x和樣本的的標準差差。解：按鍵鍵MODE2(進入統計計算狀態)將計算器存儲器設置成初始狀態SHIFTScl=1458139515621614135114901478138215361496DTDTDTDTDTDTDTDTDTDT繼續按下下表按鍵鍵按鍵顯示結果1476.278.7309342SHIFTSHIFTxσn==x解2：打開Excel工作表，，在一列列輸入數數據，如如將10個數據輸輸入A1到A10單元格中中.（1）利用求求和∑計計算它們們的和；；（2）用函數數AVERAGE(A1:A10)求它們的的平均數數；（3）用函數數VARPA(A1:A10)求它們的的方差；；（4）用開方方函數Sqrt(方差)計算它們們的標準準差.解：（1）計算得x甲=7，x乙=7；

s甲=1.73，s乙=1.10.（2）由（1）知，甲甲、乙兩兩人平均均成績相相等，但但s乙<s甲，這表明明乙的成成績比甲甲的成績績穩定一些，從從成績的的穩定性性考慮，，可以選選乙參賽賽。（3）標準