5.3.3古典概型【教學目標】1.理解古典概型及其概率計算公式，會判斷古典概型．2．會用列舉法求古典概型的概率．3．應用古典概型的概率計算公式求復雜事件的概率．【教學重點】會用列舉法求古典概型的概率．【教學難點】會判斷古典概型，能應用古典概型的概率計算公式求復雜事件的概率．【課時安排】1課時【教學過程】新知初探1．古典概型的概念一般地，如果隨機試驗的樣本空間所包含的樣本點個數是有限的(簡稱為有限性)，而且可以認為每個只包含一個樣本點的事件(即基本事件)發生的可能性大小都相等(簡稱為等可能性)，則稱這樣的隨機試驗為古典概率模型，簡稱為古典概型．2．古典概型的特征(1)有限性：在一次試驗中，可能出現的結果只有有限個，即只有有限個不同的基本事件；(2)等可能性：每個基本事件發生的可能性是均等的．3．古典概型中事件的概率在樣本空間含有n個樣本點的古典概型中，(1)每個基本事件發生的概率均為eq\f(1,n)；(2)如果隨機事件C包含m個樣本點，由互斥事件的概率加法公式可得P(C)＝eq\f(m,n).思考：從所有整數中任取一個數的試驗中“抽取一個整數”是古典概型嗎？[提示]不是．因為有無數個基本事件．4．古典概型中概率的性質假設古典概型對應的樣本空間含n個樣本點，事件A包含m個樣本點，則：(1)由0≤m≤n與P(A)＝eq\f(m,n)可知0≤P(A)≤1；(2)因為eq\o(A,\s\up12(－))中所含的樣本點個數為n－m，所以P(eq\o(A,\s\up12(－)))＝eq\f(n－m,n)＝1－eq\f(m,n)＝1－P(A)，即P(A)＋P(eq\o(A,\s\up12(－)))＝1；(3)若事件B包含有k個樣本點，而且A與B互斥，則容易知道A＋B包含m＋k個樣本點，從而P(A＋B)＝eq\f(m＋k,n)＝eq\f(m,n)＋eq\f(k,n)＝P(A)＋P(B)．小試牛刀1.下列試驗中是古典概型的是()A.在適宜的條件下，種下一粒種子，觀察它是否發芽B.口袋里有2個白球和2個黑球，這4個球除顏色外完全相同，從中任取一球C.向一個圓面內隨機地投一個點，該點落在圓內任意一點都是等可能的D.射擊運動員向一靶心進行射擊，試驗結果為命中10環，命中9環，…，命中0環解析：對于A，發芽與不發芽概率不同；對于B，任取一球的概率相同，均為eq\f(1,4)；對于C，基本事件有無限個；對于D，由于受射擊運動員水平的影響，命中10環，命中9環，…，命中0環的概率不等．因而選B.答案：B2．北京冬奧會將要在某高校的8名懂外文的志愿者中選1名，其中有3人懂日文，則選到懂日文的志愿者的概率為()A.eq\f(3,8)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,8)D.eq\f(1,5)A[8名懂外文的志愿者中隨機選1名其樣本空間包含8個樣本點，“選到懂日文的志愿者”包含3個樣本點，因此所求概率為eq\f(3,8).]3.從2名男同學和3名女同學中任選2人參加社會服務，則選中的2人都是女同學的概率為()A．0.6 B．0.5C．0.4 D．0.3解析：選D.將2名男同學分別記為x，y，3名女同學分別記為a，b，c.設“選中的2人都是女同學”為事件A，則從5名同學中任選2人參加社區服務的樣本空間為{(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)}，共10個樣本點，其中事件A包含的樣本點有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3個，故P(A)＝eq\f(3,10)＝0.3.故選D.4.從甲、乙、丙三人中任選兩人參加某項活動，其中“甲被選中”這一事件所含的樣本點有________個．解析：(甲，乙)，(甲，丙)，共2個．答案：2例題講解古典概型的判斷【例1】判斷下列試驗是不是古典概型：(1)口袋中有2個紅球、2個白球，每次從中任取一球，觀察顏色后放回，直到取出紅球；(2)從甲、乙、丙、丁、戊5名同學中任意抽取1名擔任學生代表；(3)射擊運動員向一靶子射擊5次，脫靶的次數．【解】(1)每次摸出1個球后，放回袋中，再摸1個球．顯然，這是有放回抽樣，依次摸出的球可以重復，且摸球可無限地進行下去，即所有可能結果有無限個，因此該試驗不是古典概型．(2)從5名同學中任意抽取1名，有5種等可能發生的結果：抽到學生甲，抽到學生乙，抽到學生丙，抽到學生丁，抽到學生戊．因此該試驗是古典概型．(3)射擊的結果：脫靶0次，脫靶1次，脫靶2次，…，脫靶5次．這都是樣本點，但不是等可能事件．因此該試驗不是古典概型．方法總結古典概型的判斷方法一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征，即有限性和等可能性，因而并不是所有的試驗都是古典概型．當堂練習1下列試驗是古典概型的為________.(填序號)①從6名同學中選出4人參加數學競賽，每人被選中的可能性的大小；②同時擲兩枚骰子，點數和為7的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率．①②④[①②④是古典概型，因為符合古典概型的定義和特點．③不是古典概型，因為不符合等可能性，三天中是否降雨受多方面因素影響．]古典概型計算公式求解概率例2.從含有兩件正品和一件次品的3件產品中，按先后順序任意取出兩件產品，每次取出后不放回，求取出的兩件產品恰有一件次品的概率.解：按題意，取產品的過程可以用如圖樹形圖直觀表示：因此樣本空間可記為：共包含6個樣本點.用A表示“取出的兩件中，恰好有一件次品”，則A包含的樣本點個數為4，所以方法總結在求解概率問題時，常常遇到這樣的情況，即從一堆小球中抽取幾個小球，根據小球的顏色求解概率．解決此類問題時，首先要分清抽取的方式，即“有放回”與“無放回”．“有放回”是指抽取物體時，每一次抽取之后，都將被抽取的物體放回原處，這樣前后兩次抽取時，被抽取的物體的總數是一樣的．“無放回”是指抽取物體時，在每一次抽取后，被抽取的物體放到一邊，并不放回到原處，這樣，前后兩次抽取時，后一次被抽取的物體的總數較前一次被抽取的物體總數少1.這兩種情況下基本事件總數是不同的．當堂練習2如果把例3中的條件改為：“每次取出后不放回“換成”每次取出后放回”，其余不變，則所求事件發生的概率將有所變化.解：樣本空間應記為：共包含9個樣本點，而事件：A包含的樣本點個數為4，所以因為錘子贏剪刀，剪刀贏布，布贏錘子，因此若記事件A為“平局“，B為”甲贏“，則：（1）事件A包含3個樣本點（圖中的Δ），因此；（2）事件B包含3個樣本點（圖中的※），因此；（3）因為A+B表示“甲不輸”，且A，B互斥，因此所求概率為：【例4】先后擲兩個均勻的骰子，觀察朝上的面的點數，記A：點數之和為7，B：至少出現一個3點，求P(A)，P(eq\x\to(A))，P(B)，P(AB)．【解析】用數對(x，y)來表示拋擲結果，則樣本空間可記為Ω＝{(i，j)|i，j＝1,2,3,4,5,6}，而且樣本空間可用圖直觀表示．樣本空間中，共包含36個樣本點．不難看出，A＝{(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)}，A包含6個樣本點(即圖中虛線框中的點)，因此P(A)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).方法總結：當列舉基本事件涉及到分步或者需要考慮兩個要素是，可以采用表格直觀表示，并可以靈活使用概率的性質.例5.人的眼皮有單眼皮與雙眼皮之分，這是由對應的基因決定的.生物學上已經證明：決定眼皮單雙基因有兩種，一種是顯性基因（記為B），另一種是隱性基因（記為b）；基因總是成對出現（如BB，bB，Bb，bb），而成對的基因中，只要出現了顯性基因，那么這個人就一定是雙眼皮（也就是說，“單眼皮”的充要條件是“成對的基因是bb”）；如果不發生基因突變的話，成對的基因中，一個來自父親，另一個來自母親，但父母親提供基因時都是隨機的.有一對夫妻，兩人成對的基因都是Bb，不考慮基因突變，求他們的孩子是單眼皮的概率.解：我們用連著寫的兩個字母表示孩子的成對的基因，其中第一個字母表示父親提供的基因，第二個字母表示母親提供的基因.由下圖的樹形圖可知，樣本空間中共4個樣本點，即：孩子要是單眼皮，成對的基因只能是bb,因此所求的概率為.古典概型中基本事件的探求方法：(1)列舉法：適合給定的基本事件個數較少且易一一列舉出的．(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求，注意在確定基本事件時(x，y)可以看成是有序的．如(1,2)與(2,1)不同．有時也可以看成是無序的．如(1,2)與(2,1)相同．當堂練習3有A,B,C,D四位貴賓,應分別坐在a,b,c,d四個席位上,現在這四人均未留意,在四個席位上隨便就坐.(1)求這四人恰好都坐在自己席位上的概率.(2)求這四人恰好都沒坐在自己席位上的概率.(3)求這四人恰好有1位坐在自己席位上的概率.【解析】將A,B,C,D四位貴賓就座情況用下面圖形表示出來:如圖所示,本題中的等可能樣本點共有24個.(1)設事件A為“這四人恰好都坐在自己的席位上”,則事件A只包含1個樣本點,所以P(A)=.(2)設事件B為“這四人恰好都沒坐在自己席位上”,則事件B包含9個樣本點,所以P(B)=(3)設事件C為“這四人恰好有1位坐在自己席位上”,則事件C包含8個樣本點,所以P(C)=課堂小結1.古典概型中基本事件的探求方法：(1)列舉法：適合給定的基本事件個