第五章數(shù)列第四節(jié)數(shù)列求和抓基礎(chǔ)明考向提能力教你一招我來演練

[備考方向要明了]考

什

么能利用等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其性質(zhì)求一些特殊數(shù)列的和.

怎

么

考1.數(shù)列求和主要考查分組求和、錯(cuò)位相減和裂項(xiàng)相消求

和，特別是錯(cuò)位相減出現(xiàn)的機(jī)率較高．2.題型上以解答題為主.一、公式法1．如果一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則求和時(shí)直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，注意等比數(shù)列公比q的取值情況要分q＝1或q≠1.2．一些常見數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：(1)1＋2＋3＋4＋

…

＋n＝(2)1＋3＋5＋7＋

…

＋2n－1＝(3)2＋4＋6＋8＋

…

＋2n＝

.n2n2＋n二、非等差、等比數(shù)列求和的常用方法1．倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列{an}，首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的．2．分組轉(zhuǎn)化求和法若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和而后相加減．3．錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的．4．裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和．答案：D答案：B3．?dāng)?shù)列a1＋2，…，ak＋2k，…，a10＋20共有十項(xiàng)，，且其和為240，則a1＋…＋ak＋…＋a10的值為()A．31B．120C答案：C答案：10064．?dāng)?shù)列{(－1)n·n}的前2012項(xiàng)和S2012為________．解析：S2012＝－1＋2－3＋4－…－2011＋2012＝1＋1＋…＋1＝1006.5．已知數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且an＝n·2n，則Sn＝______________.答案：(n－1)·2n＋1＋2數(shù)列求和和的方法法(1)一般的數(shù)數(shù)列求和和，應(yīng)從從通項(xiàng)入入手，若若無通項(xiàng)項(xiàng)，先求求通項(xiàng)，然后后通過對(duì)對(duì)通項(xiàng)變變形，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為與與特殊數(shù)數(shù)列有關(guān)關(guān)或具備備某種方方法適用用特點(diǎn)的的形式，，從而選選擇合適適的方法法求和．．(2)解決非等等差、等等比數(shù)列列的求和和，主要要有兩種種思路：：①轉(zhuǎn)化的的思想，，即將一一般數(shù)列列設(shè)法轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為等等差或等等比數(shù)列列，這一一思想方方法往往往通過通通項(xiàng)分解解或錯(cuò)位位相減來來完成．．②不能轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為等等差或等等比數(shù)列列的數(shù)列列，往往往通過裂裂項(xiàng)相消消法、錯(cuò)錯(cuò)位相減減法、倒倒序相加加法等來來求和．．[精析考題題][例1](2011·山東高考考)等比數(shù)列列{an}中，a1，a2，a3分別是下下表第一一、二、、三行中中的某一一個(gè)數(shù)，，且a1，a2，a3中的任何何兩個(gè)數(shù)數(shù)不在下下表的同同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足：bn＝an＋(－1)nlnan，求數(shù)列列{bn}的前2n項(xiàng)和S2n.[自主解答答](1)當(dāng)a1＝3時(shí)，不合合題意；；當(dāng)a1＝2時(shí)，當(dāng)且且僅當(dāng)a2＝6，a3＝18時(shí)，符合合題意；；當(dāng)a1＝10時(shí)，不合合題意．．因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比比q＝3，故an＝2·3n－1.[巧練模擬擬]————————(課堂突破破保分題題，分分分必保！！)答案：A2．(2011·北京東城城二模)已知{an}是首項(xiàng)為為19，公差為為－2的等差數(shù)數(shù)列，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．(1)求通項(xiàng)an及Sn；(2)設(shè){bn－an}是首項(xiàng)為為1，公比為為3的等比數(shù)數(shù)列，求求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公公式及其其前n項(xiàng)和Tn.[沖關(guān)錦囊囊]分組求和和常見類類型及方方法(1)an＝kn＋b，利用等等差數(shù)列列前n項(xiàng)和公式式直接求求解；(2)an＝a·qn－1，利用等等比數(shù)列列前n項(xiàng)和公式式直接求求解；(3)an＝bn±cn，數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)數(shù)列或等等差數(shù)列列，采用分組組求和法法求{an}的前n項(xiàng)和.在本例條條件不變變情況下下，求數(shù)數(shù)列{2n－1·an}的前n項(xiàng)和Sn.[沖關(guān)錦囊囊]用錯(cuò)位相相減法求求和時(shí)，，應(yīng)注意意(1)要善于識(shí)識(shí)別題目目類型，，特別是是等比數(shù)數(shù)列公比比為負(fù)數(shù)數(shù)的情形；；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式式時(shí)應(yīng)特特別注意意將兩式式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊齊”以便下一一步準(zhǔn)確確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式式.[巧練模擬擬]——————(課堂突破破保分題題，分分分必保！！)答案：A解：(1)證明：由由題意得得2bn＋1＝bn＋1，∴bn＋1＋1＝2bn＋2＝2(bn＋1)．又∵a1＝2b1＋1＝1，∴b1＝0，b1＋1＝1≠0.故數(shù)列{bn＋1}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比比數(shù)列．[沖關(guān)錦囊]1．利用裂項(xiàng)相相消法求和時(shí)時(shí)，應(yīng)注意抵抵消后并不一一定只剩下第一項(xiàng)和最最后一項(xiàng)，也也有可能前面面剩兩項(xiàng)，后后面也剩兩項(xiàng)項(xiàng)，再就是將將通項(xiàng)公式裂裂項(xiàng)后，有時(shí)時(shí)候需要調(diào)整整前面的系數(shù)數(shù)，使裂開的的兩項(xiàng)之差和和系數(shù)之積與與原通項(xiàng)公式式相等．?dāng)?shù)學(xué)思想分類討論思想想在數(shù)列求和和中的應(yīng)用[考題范例](12分)(2010·四川高考)已知等差數(shù)列列{an}的前3項(xiàng)和為6，前8項(xiàng)和為－4.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；；(2)設(shè)bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求數(shù)列{b