初中數學賽：幾何的值與最值幾何中的定值問題是指變動的圖形中某些幾何元素的幾何量保持不變幾元素間的某些幾何性質或位置關系不變的一類問題幾何定值問題的基本方法是清題的定量及變量，運用特殊位置、極端位置，直接計算等方法，先探求出定值，再給出證明．幾何中的最值問題是指在一定的條件下面何圖形中某個確定的(如線段長度、角度大小、圖形面積等最大值或最小值，求幾何最值問題的基本方法有：．特殊位置與極端位置法；．幾何定理公理)法；．數形結合法等．注幾中的定值與最值近年廣泛出現于中考競賽中冷點變為熱點這是由于這類問題具有很強的探索(目標不明確題需要運用動態思維形合殊一般相結合、邏輯推理與合情想象相結合等思想方法．【題解【例1】如，已知AB=10是線段AB上任一點，在AB的同側分別以AP和PB為作等邊△APC和等邊，CD度的最小值為．思點如圖，作CC⊥AB于′⊥AB于D′⊥CC=DQ+CQ，DQ=

AB一常數，當CQ越，越，本例也可設AP=，x，代數角度探求CD的最小值．注從殊位置與極端位置的研究中易得到啟示能找到解題突破口特殊位置與極端位置是指：中點處、垂直位置關系等；端點處、臨界位置等．【例2】如，圓的半徑等于三角形的高，此圓在沿底邊AB滾動，切點為T，交⌒AC、BC于M、N，對于所有可的圓的位置而言，為的度數（）A．從30°到60°變動B．60°到90°動C．保持30°不變．持60°變12222思點先慮當圓心在正三角形的頂點C時弧數證一般形而出判斷．注：幾何定值與最值問題，一般是置于動態背景下，動與靜是相對的，我們可以研究問題中的變量當變化的元素運到特定的位置圖變為圖形時究的量取得定值與最值．【例】圖，已知平行四邊a

(>

b

)為邊上動點，直線DPCB的線于Q，AP+BQ的最值思點

設

x

，把、BQ分

的代數式表示，運用不等式ab

(當且僅當ab

時取等號求最小值．⌒【例4如圖知等ABC內于，劣AB上取于A、B點，設直線AC與BM交于K，直線CB與AM交點N證明：線段和的乘M點擇無關．思點即證一個定值，在圖形中ABC邊長是一個定值，明AB關，從圖知AB為△ABM△的共，一大的想而我們的證明目標更加明確．1注：只要探求出定值，那么解題目標明確，定值問題就轉化為一般的幾何證明問題．【例5】已△是角邊長為等腰直角三角，它的三個頂點分別在等腰eq\o\ac(△,Rt)的邊，求直角邊長的最大可能值．思點點在斜上或直角邊CA(CB)上，當頂點Z在斜AB上時取xy的中點，通過幾何不等關系求出直角邊的最大值，當頂點(AC或上時，設CX=

x

，CZ=y

，建立，的系式，運用代數的方法求直角邊的最大值．注：數形結合法解幾何最值問題，即適當地選取變量，建立幾何元素間的函數、方程、不等式等關系，再運用相應的代數知識方法求解．常見的解題途徑是：利用一元二次方程必定有解的代數模型，運用判別式求幾何最值；構造二次函數求幾何最值．專訓1．如圖，正方形ABCD的長為1，點邊BC任意一點（可與B點C點合別過B、C、D作線AP的線垂足分別是B′、C、D′，則BB′+CC′+DD′的最大值為，小值為．2．如圖，∠AOB=45°，角內有點，PO=10在角的兩邊上有兩點Q，R(均不同于點O)，則△的長的最小值為．1．如圖，兩點A在線MN外同側A到MN距離AC=8，B到MN的離BD=5，CD=4，P在線MN上運，則的大值等于．．如圖A點半圓上一個三等點B點弧AN的中P點是直徑MN上動點，⊙O的半徑為1，則AP+BP的小值(A．

22

C．2

D．5．如圖，圓柱的軸截面是長為4的正形動點P從A點出沿圓柱的側面移動到的中S的短距離()A．

2

B．

2

C．1

2

D．

26．如圖、已知矩形ABCD戶分別是DC上的點E分別是AP的點，當P在上從B向C移而R不動，那么下列結論成立的(A．線段EF的長漸增大B線段EF的長漸減小C．線段EF的長不改變D．線段EF的不能確定7．如圖，點C是段AB上任一(C點不點重合，分別以AC為邊在直線AB的同側作等邊三角形ACD和邊三角形BCE，AE與CD相交點M，BD與CE相于點N．(1)求證：；(2)若AB的長為l0cm當C在段AB上移時是存在這樣的一點C使線段MN的度最長若在，請確定C點的置并求出MN的；若不存在，請說明理由．(2002年南省中考題18．如圖，定長的弦T在一以AB為直的半圓上滑動ST的點P是S對AB作線的垂足，求證：不管ST滑到么位置，∠SPM是一定角．9．已知ABC是⊙的內接三角BT⊙的切B為切P為線AB上一點，過點P作BC的平線交直線BT于，交直線AC于點F．當點P在段AB上時(如圖)，求證PA·PB=PE·PF；當點P為段BA延長線上一點第1)的結論還成立?如果成立請證明如果不成立，請說明理由．10．圖，已知；邊長為4的方形截去一角成為五邊形ABCDE，中AF=2，在AB上的一點P，使矩形PNDM有最大積，則矩形PNDM的面積最大值是()AB．12C．

252

D．1411如圖是半的直徑段CA上AB于點段DB上AB于BAB=2AC=1BD=3，P是圓上的一個動點，則封閉形ACPDB的最大面積(A．

B．2

C．

D．3212．圖，在△ABC中，，AC=12，在邊AB、AC上分取點D、E，使線段DE將△分面積相等的兩部分，試求這樣線段的最小長度．1．如圖是個邊長為1的正方形U、V別是AB、CD上的，與DU相于點P，BV與CU相于點Q．四邊形PUQV面積的最大值．．利用兩個相同的噴水器，修建一個矩形花壇壇全部都能噴到水已每個噴水器的噴水區域是半徑為l0米的圓問如何設計求出兩噴水器之間的距離和矩形的長、)，才能使矩形花壇的面積最?15．住宅小區，為美化環境，高居民生活質量，要建一個八邊形居民廣(平面圖如圖所示)．其中，正方形MNPQ與個相同矩(中陰影部)的面積的和為800平方米．(1)設矩形的邊AB=(米)，AM=y(米，含x的代數式表示為．(2)現計劃在正方形區域上建雕塑和花壇均每平方米造價為2100元四個相同的矩形區域上鋪設花崗巖地坪平每方米造價為105元在四個三角形區域上鋪設草坪均每平方米造價為40元設該工程的總造價為元，關于的函數關系式．若該工程的銀行貸款為235000元，僅靠銀行貸款能否完成該工程的建設任?若能，請列出設計