第三章資金時間價值及等值計算第一節資金的時間價值、利息與利率第二節現金流量與資金等值計算第三節資金等值計算公式及其應用一次性支付的復利計算等額支付等差支付系列型等比支付序列型重點：（1）資金的時間價值的基本概念（2）利息、利率、名義利率、實際利率（3）現金流量與資金等值計算的基本方法（4）資金等值計算公式（一次支付、等額、等差支付）第一節資金的時間價值一、基本概念（1）資金在擴大再生產及其循環周轉過程中，隨著時間變化而產生的增值，是時間的函數。可從兩個方面理解：1）從投資者的角度看：資金的時間價值指資金在生產和交換活動中給投資者帶來的利潤（收益）。2）從消費者的角度看：資金的時間價值指消費者放棄現期消費所獲得的必要補償（利息）

（2）不同時間發生的等額資金在價值上存在的差別。例：某人年初存入銀行100元，若年利率為10％，年末可從銀行取出本息110元，出現了10元的增值。注意：一般的貨幣并不會增值，資金的時間價值不是貨幣本身產生的，也不是時間產生的，而是在資金運動中產生的。即：資金只有運動才能增值。二、影響因素1）投資收益率：單位投資取得的收益(不考慮時間因素)；投資收益率＝投資收益／投資成本×100％

2）通貨膨脹率：貨幣貶值可能帶來損失的補償；3）風險因素：對風險可能帶來的損失的補償。三、資金時間價值的度量——利息、利率

1、基本概念：利息——衡量資金時間價值的絕對尺度：

放棄資金使用權所得的報酬或占用資金所付出的代價，亦稱子金。

占有資金者獲得的凈收益（利潤）的一種再分配。利率（收益率）——衡量資金時間價值的相對尺度：

單位本金在單位時間內（一個計息周期）獲得的利息。有年、月、日利率等，記作i。

i越大，表明資金增值越快。

投資者角度：生產產生的凈收益與投資額之比。消費者角度：導致節余的誘導物，具有推遲消費的吸引力2、利息計算方法——單利和復利單利（SimpleInterest）：利息的計算是按本金乘以利率來計算和支付，利息本身不再計息。第n期末的本利和：本利和=本金（1+期數*利率）

F=P（1+n·i）注意：居民存款和國債均按單利計算例：借款10000元，期限4年，每年按單利計息，年利率i＝20％，求整個借款利息的總額和第4年末的本利和。n支付利息本利和0---100001200012000220001400032000160004200018000復利（CompoundInterest）：

利息的計算是按本金加上上期利息之和乘以利率來計算和支付。俗稱“利滾利”注意：居民貸款和項目投資均按復利計算。例：借款10000元，期限4年，每年按復利計息，年利率i＝20％，求整個借款利息的總額和第4年末的本利和。n支付利息本利和0---100001200012000224001440032880172804345620736復利計息比較符合資金在社會再生產過程中運動的實際狀況間斷復利和連續復利間斷復利：當計息周期為一定時間區間，按復利計息，稱為間斷復利；

按期（年、半年、月、周、日）計算復利的方法連續復利：當計息周期無限縮短，則稱為連續復利；按瞬時計算復利的方法稱為連續復利。連續復利較符合資金的運用規則，但計算太復雜四、名義利率與實際利率1、基本概念：(1)名義利率（Nominalinterestrate）：

利率的時間單位與計息期的時間單位不一致的年利率。用r表示——表面上或形式上的利率(2)實際利率（EffectiveInterestRate）：

利率的時間單位與計息期的時間單位相一致時的利率；(3)計息期實際利率：按計息期實際計算利息時所用的利率。(4)年實際利率i：與計息期實際利率等效的年利率2、名義利率與實際利率的關系（1）名義利率與計息期實際利率：計息期實際利率=名義利率/計息期的期數=r/m

（2）名義利率與年實際利率按單利計算：名義利率r=年實際利率i

按復利計算：名義利率r<年實際利率i，計息期的期數m越大，差額（i-r）越大當m→∞，即一年之中無限多次計息，稱為連續復利計息，連續復利計息的年實際利率：

例：若本金1000元，年利率12%，每月計息一次，則按復利計算的名義利率、計息期實際利率、年實際利率及一年后本利和分別為多少？答：由題目可知，r=12%，m=12，p=4%，故：名義利率=12%；計息期實際利率=r/m=12%/12=1%

間斷復利的年實際利率則：連續復利的年實際利率則：

本利和：F=P（1+i）=1000*（1+12.68%）=1126.83元計息周期一年計息周期數(m)年名義利率(r)%期利率(r/m)%年實際利率(i)%年112.00(已知)12.0012.000半年212.00(已知)6.0012.360季度412.00(已知)3.0012.551月1212.00(已知)1.0012.683周5212.00(已知)0.230812.736日36512.00(已知)0.0328812.748連續計息∞12.00(已知)→012.750第二節現金流量與資金等值計算一、現金流量（CashFlow）的概念指某一系統（如某投資項目或方案），在某一定時期內（如一年），向該系統流入或由該系統流出的貨幣數量。包括：

1）現金流出（CashOutflow）：系統在某一時期內支付的費用；

2）現金流入（CashInflow）：系統在某一時期內取得的費用；

3）凈現金流量（NetCashFlow）：系統的現金流入與現金流出之差。例：對運輸項目的經濟評價來說：系統：指該運輸項目本身在評價時要對其計算期限從建設期、生產期直到壽命終了的各年經濟流量進行分析。現金流出：投資（包括固定資產投資和流動資金投資）、成本（經營成本）、稅金等；現金流入：銷售收入、期末時固定資產殘值回收、流動資金回收等；凈現金流量：將每一年現金流入與現金流出相抵。二、表示現金流量的工具1、現金流量圖（CashFlowDiagram）概念：表示某一特定經濟系統（項目）現金流入、流出與其發生時點對應關系的數軸圖形。三要素:50000123455000i=10%b500大小:表示現金的數額——

用長度表示流向:表示項目的現金流入或流出——用箭頭表示時間點:表示現金流入或流出所發生的時間現金流量圖的繪制：①先畫一橫軸表示時間軸，將橫軸分為n等份。自左向右時間遞增，表示時間的歷程。

每一等分代表一個時間單位，以計息期時間單位為準,可以是年、半年、季、月或天，一般以年為單位，用0，1，2，3，…，n表示。

注意：在分段點所定的時間通常表示該時點末（某年末），同時也表示為下一個時點初（下一年的年初）0123456….n-1n(年)②描述各時點上系統所發生的現金流量與橫軸垂直向下的箭頭代表現金流出(費用)，向上的箭頭則代表現金流入(收益)，線段的長短與金額的大小成比例。現金流入與現金流出所發生的具體時間定在期初（年初）或期末（年末）。假定項目的投資或支出定在年初發生,而將逐年所發生的經營成本（費用）、銷售收入（收益）均定在年末發生。+-收入支出0123456….n-1n(年)③利率標注于水平線上方。+－收入支出0123456….n-1n(年)i=?%注意：現金流量圖與選擇的對象有關。例：假設有某項貸款為5000元，償還期為5年，年利率為10%，償還方式有兩種：一是到期本利一次償還；二是每年付息，到期一次還本。就兩種方式畫現金流量圖。

以貸款者為對象，該系統現金流量圖：50000123458055i=10%a50000123455000i=10%b500

以借款者為對象，該系統現金流量圖：50000123458053i=10%a50000123455000i=10%b5002.現金流量表（CashFlowStatement）序號項目計算期合計123……n1現金流入1.12現金流出2.13凈現金流量三、資金的等值計算1、資金等值（EconomicEquivalence）的概念是指在考慮資金時間價值因素后，不同時點上數額不等的資金在一定利率條件下具有相等的價值。

不同時點上數額不等的資金如果等值，則它們在任何時點上也必然等值。

例：現在的100元與一年后的110元，其數額并不相等，但如果年利率為10％，則兩者是“等值”的。因為，現在的100元，在10％利率下，一年后的本金與資金時間價值兩者之和為110元。同樣，一年后的110元在年利率為10％的情況下等值于現在的100元。2、影響資金等值的因素（1）資金數額大小（2）利率大小（3）計息期數例：在上例中把100元的資金換成200元，年利率還是10%，則一年后的等值為220元，而不是110元；或者，其他條件不變，年利率降為5%，則一年后的等值為105元。同樣，100元二年后的等值則變為121元。1、相關概念現值（PresentValue）：指資金“現在”的價值。注意：“現值”是一個相對的概念。一般地說，將t＋k時點上發生的資金折現到第t個時點所得的等值金額就是第t＋k個時點上資金金額在t時點的現值，用符號P表示。終值（Futurevalue）：現值在未來時點上的等值資金，用符號F表示。等年值（Annualvalue）：指分期等額收支的資金值，用符號A表示。第三節資金等值計算公式及其應用二、復利計算公式分類①一次支付經濟活動：即在整個時期現金流入和流出分別只有一次的現金流量。②多次支付經濟活動：即在整個時期現金流入和流出各有多次的現金流量情況。根據每次支付是否相等及是否連續，又分為等額連續支付和不等額連續支付及等額不連續支付和不等額連續支付。③等差支付序列：即每相鄰兩期支付按一個定數增加或減少的現金流量數列。④等比支付序列：即每相鄰兩期支付按一個定比增加或減少的現金流量數列一次性支付(整付)型（SinglePayment）：支付系列中的現金流量，無論是流出或是流入，均在一個時點上一次性全部發生。①一次性支付終值公式（已知P求F）若現在存入銀行P元，年利率為i，n年后擁有本利和多少？

F＝P(1＋i)n

系數(1＋i)n稱為一次支付終值系數，記為(F/P,i,n)，其值可查附表。P已知0nF=？12②一次支付現值公式（已知F求P）已知n年后一筆資金F，在年利率i下，相當于現在多少錢？

系數稱為一次支付現值系數，記為(P/F,i,n)，其值可查附表。P=？0nF已知12查附表求：（F/P,5%,30）=？（P/F,5%,30）=？（F/P,15%,40）=？（P/F,15%,40）=？一次支付終值公式的逆運算思考：當i或n未知時該如何利用復利表等額支付型（UniformSeriesPayments）①等額支付終值公式（已知A求F）如果某人每年末存入資金A元,年利率為i，n年后資金的本利和（本息）為多少?

系數稱為等額支付終值系數，用（F/A,i,n）表示，其值可由附表查出。A已知01234n-2n-1nF=？注意：第一次等額支付位于第1年末，最后一次支付位于第n年末，終值位于第n年末例：某運輸企業為將來的技術改造籌集資金，每年年末用利潤留成存入銀行30萬元，欲連續積存5年，銀行復利利率為8%，問該公司5年末能用于技術改造的資金為多少？現金流量圖如下所示：A=30萬元012345F=？i=8%解：由題可知，A=30萬元，n=5年，i=8%

根據等額支付終值系數計算可得：∴5年末用于技術改造的資金為176.01萬元②等額支付償債基金公式（已知F求A）償債基金公式是等額支付終值公式的逆運算，即已知終值F，求與之等價的等額年值A。

系數為等額支付償債基金系數，用符號（A/F,i,n）表示，其值可查附表。A=？01234n-2n-1nF已知查附表求：（F/A,8%,15）=？（A/F,8%,15）=？注意事項：在使用等額支付終值公式和等額支付償債基金公式計算時，必須注意現金流量發生的時間點。如果出現如下圖所示現金流量，應對公式進行一定變換。區別：等額支付終值和償債基金公式中的A是從第1年末開始的，而左圖是從第1年初開始的AF01234n-2n-1ni③等額支付現值公式（已知A求P）從第1年末到第n年末有一個等額的現金流序列，每年的金額均為A，這一等額年金序列在利率為i的條件下，其現值是多少？

其中，系數為等額支付現值系數，記為(P/A,i,n)，值可查附表。01234n-2n-1nP=？A已知例：某運輸設備的經濟壽命為8年，預計年凈收益20萬元，殘值為0，若投資者要求的年收益率為20％，問投資者最多愿意出多少的價格購買該設備？

分析：該問題等同于在銀行利率為20％條件下，若存款者連續8年每年從銀行取出20萬元，則現在應存入銀行多少錢？即求等額支付現值。解：由題可知：A=20萬元，n=8年，i=20%，求P

根據等額支付現值公式得:

所以，投資者最多愿意出76.74萬元。④資本回收公式（已知P求A）銀行現提供貸款P元，年利率為i，要求在n年內等額分期回收全部貸款，問每年末應回收多少資金？這是已知現值P求年金A的問題。稱為等額支付資本回收系數，記為(A/P,i,n)，其值可查附表。P已知0123n-2n-1nA=？為等額支付現值的逆運算查附表求：（P/A,30%,10）=？（A/P,30%,10）=？實例：某人為購買商品房而向銀行貸款10萬元，年利率為12%，按月計息，貸款周期為5年，現有兩種還款方式:(1)等額本息還款；

(2)等額本金還款，求兩種方式每期應償還利息與本金各為多少？分析:(1)等額本息還款：是在還款期內，每月償還同等數額的貸款(包括本金和利息)，即前面所述的等額支付資金回收（已知P求A）。

(2)等額本金還款：是將本金每月等額償還，然后根據剩余本金計算利息。解：由題目可知，年利率為12%，月實際利率則為1%，5年還款期按月計算共60期，即n=60；P=10萬元第一種方式：根據資本回收公式可知（已知P求A）：期數應還本金應還利息月還款額貸款余額010000011224.441000.002224.4498775.5621236.69987.762224.4497538.8731249.06975.392224.4496289.8141261.55962.902224.4495028.26………2224.44…592180.6143.832224.442202.42602202.4222.022224.440.00合計10000033466.68133466.4月還款額相同，月還本金逐月遞增，而月還利息隨著貸款余額的減少而逐月減少。第二種方式：即每月歸還的本金相同

月還本金額

=貸款總額/貸款期數

=100000/60=1666.67元月還利息=月初剩余貸款*月利率=貸款總額×(1-(還款月數-1)÷還款次數)×月利率

月還款額=月還本金+月還利息這種還款方式屬于等差數列支付型期數應還本金應還利息月還款額貸款余額010000011666.671000.002666.6798333.3321666.67983.332650.0096666.6631666.67966.672633.3394999.9941666.67950.00261