第4章平面向量、數系的擴充與復數的引入第1課時平面向量的概念及其線性運算

考點探究·挑戰高考考向瞭望·把脈高考溫故夯基·面對高考第1課時平面向量的概念及其線性運算1．向量的有關概念(1)向量：既有____又有____的量，向量的大小叫做向量的____

(或模)．(2)零向量：長度為__的向量，其方向是____的．(3)單位向量：長度等于_____________的向量．(4)平行向量：方向____或____的____向量．(5)相等向量：長度____且方向____的向量．(6)相反向量：長度____且方向____的向量．大小方向長度0任意1個單位長度相同相反非零相等相同相等相反溫故夯基·面對高考2．向量的加法與減法(1)加法①法則：服從三角形法則和平行四邊形法則．②性質：a＋b＝b＋a(交換律)；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(結合律)；a＋0＝0

＋

a＝a.(2)減法：減法與加法互為逆運算，服從三角形法則．3．實數與向量的積(1)|λa|＝____(2)當______時，λa與a的方向相同；當_______時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0.(3)運算律：設λ，μ∈R，則：①λ(μa)＝__________；②(λ＋μ)a＝___________；③λ(a＋b)＝____________.λ＞0|λ||a|λ＜0(λμ)aλa＋μ

aλa＋λb思考感悟如何用向量法證明三點A、B、C共線？b＝λa考點探究·挑戰高考考點突破考點一向量的有關概念(1)對向量概念的理解著重以下幾方面：①向量的模；②向量的方向；③向量的幾何表示；④向量的起點與終點．(2)在判定兩向量的關系時，要特別注意兩特殊情況：①零向量的方向及與其他向量的關系；②單位向量的長度及方向．例1A．1

B．2C．3D．0【解析】①不正確，向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段；②不正確，若a與b中有一個為零向量，零向量的方向是不確定的，故兩向量方向不一定相同或相反；③不正確，共線向量所在的直線可以重合，也可以平行；④不正確，如果b＝0時，則a與c不一定共線．所以應選D.【答案案】D【規律律小小結結】準確確理理解解向向量量的的基基本本概概念念是是解解決決這這類類題題目目的的關關鍵鍵．．共共線線向向量量即即為為平平行行向向量量，，非非零零向向量量平平行行具具有有傳傳遞遞性性，，兩兩個個向向量量方方向向相相同同或或相相反反就就是是共共線線向向量量，，與與向向量量長長度度無無關關，，兩兩個個向向量量方方向向相相同同且且長長度度相相等等，，才才是是相相等等向向量量．．共共線線向向量量和和相相等等向向量量均均與與向向量量起起點點無無關關．．考點二向量的線性運算用已已知知向向量量來來表表示示另另外外一一些些向向量量是是用用向向量量解解題題的的基基本本功功，，除除利利用用向向量量的的加加、、減減、、數數乘乘運運算算外外，，還還應應充充分分利利用用平平面面幾幾何何的的一一些些定定理理．．例2【規律律方方法法】解決決本本題題的的關關鍵鍵在在于于搞搞清清構構成成三三角角形形的的三三個個向向量量間間的的相相互互關關系系，，能能熟熟練練地地找找出出圖圖形形中中的的相相等等向向量量，，或或根根據據條條件件將將向向量量平平移移，，能能熟熟練練運運用用相相反反向向量量將將加加減減法法相相互互轉轉化化．．互動動探探究究考點三

向量的共線問題(1)向量量共共線線的的充充要要條條件件中中要要注注意意當當兩兩向向量量共共線線時時，，通通常常只只有有非非零零向向量量才才能能表表示示與與之之共共線線的的其其他他向向量量，，要要注注意意待待定定系系數數法法的的運運用用和和方方程程思思想想．．(2)證明三點共線線問題，可用用向量共線來來解決．但應應注意向量共共線與三點共共線的區別與與聯系，當兩兩向量共線且且有公共點時時，才能得出出三點共線．．例3【誤區警示】在本例的(1)中向量共線并并不能等同于于表示兩向量量的起點和終終點一定在同同一直線上，，還需確定有有一公共點．．在(2)中要合理應用用兩個向量共共線的條件．．方法感悟方法技巧1．向量的數乘乘運算(1)向量數乘的特特殊情況：當當λ＝0時，λa＝0；當a＝0時，也有λa＝0.(2)實數和向量可可以求積，但但不能求和、、求差．(3)熟練掌握向量量線性運算的的運算規律是是正確化簡向向量算式的關關鍵，要正確確區分向量數數量積與向量量數乘的運算算律．2．共線線定理理的作作用用向量量共線線定理理可以以證明明幾何何中的的三點點共線線和直直線平平行問問題．．但是是向量量平行行與直直線平平行是是有區區別的的，直直線平平行不不包括括重合合的情情況．．要證證明三三點共共線或或直線線平行行都是是先探探索有有關的的向量量滿足足向量量等式式b＝λa，再結結合條條件或或圖形形有無無公共共點說說明幾幾何位位置．．失誤防防范1．0與實數數0有區別別，0的模為為數0，它不不是沒沒有方方向，，而是是方向向不定定.0可以看看成與與任意意向量量平行行．2．由a∥b，b∥c不能得得到a∥c.取不共共線的的向量量a與c，顯然然有a∥0，c∥0(如例1)．3．兩個個向量量的和和與差差仍是是一個個向量量．4．使用用三角角形法法則時時要注注意““首尾尾相連連”．．考向瞭望·把脈高考考情分析平面向向量的的概念念及線線性運運算在在近幾幾年廣廣東高高考中中既是是熱點點又是是重點點，一一般以以選擇擇題、、填空空題形形式出出現，，有時時也出出現在在解答答題的的某一一步驟驟或某某一環環節，，對概概念一一般不不單獨獨考查查，對對線性性運算算和共共線向向量定定理的的考查查較頻頻繁，，常同同平面面幾何何、解解析幾幾何等等知識識結合合，考考查線線性運運算的的運算算法則則及其其幾何何意義義以及及兩個個向量量共線線的充充要條條件、、向量量的坐坐標運運算等等，具具有考考查形形式靈靈活，，題材材新穎穎，解解法多多樣等等特點點．預測2012年廣東東高考考仍將將以向向量的的線性性運算算、向向量的的基本本概念念為主主要考考點，，重點點考查查向量量加、、減的的三角角形法法則及及平行行四邊邊形法法則．．真題透析(2010年高考考廣東東卷)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，滿足條件件(8a－b)·c＝30，則x＝()A．6B．5C．4D．3【解析】∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3