指數函數的圖象和性質1．判斷下列說法是否正確(正確的打“√”，錯誤的打“×”)．(1)函數y＝21－x是減函數．(√)(2)若ax－1>a0，則x>1.(×)(3)若>，則a>b.(×)(4)函數y＝4x是非奇非偶函數．(√)2．已知函數f(x)＝ax(0<a<1)，對于下列命題：①若x>0，則0<f(x)<1；②若x<1，則f(x)>a；③若f(x1)>f(x2)，則x1<x2.其中正確命題的個數為(D)A．0個 B．1個C．2個 D．3個解析：因為0<a<1，所以函數f(x)＝ax為減函數可得③正確；x>0時，0<f(x)<a0＝1，可得①正確；x<1時，f(x)>a1＝a，可得②正確．即①②③都正確，故選D.題型1指數函數的圖象及應用3．若a>1，－1<b<0，則函數y＝ax＋b的圖象一定在(A)A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限解析：因為a>1，且－1<b<0，故其圖象如圖所示．由圖得函數的圖象一定在第一、二、三象限．4．函數f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的圖象一定經過點(A)A．(1,3) B．(0,3)C．(1,2) D．(0,1)解析：對于任意a>0且a≠1，由x－1＝0可得x＝1，當x＝1時，f(1)＝a0＋2＝3，所以函數f(x)＝ax－1＋2的圖象一定經過點(1,3)．5．函數f(x)＝－3|x|＋1的圖象大致是(A)解析：因為函數f(x)＝－3|x|＋1，所以f(－x)＝－3|－x|＋1＝－3|x|＋1＝f(x)，即函數為偶函數，其圖象關于y軸對稱，故排除B，D.當x＝0時，f(0)＝－30＋1＝0，即函數圖象過原點，故排除C.題型2指數型函數的定義域與值域6．函數y＝eq\f(1,2x－1)的值域是(D)A．(－∞，1) B．(－∞，0)∪(0，＋∞)C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)解析：由y＝eq\f(1,2x－1)可得2x＝1＋eq\f(1,y)>0，即y(y＋1)>0，解之得y<－1或y>0.7．當x>0時，函數f(x)＝(a2－1)x的值域為(1，＋∞)，則實數a的取值范圍是(D)A．(－eq\r(2)，－1)∪(1，eq\r(2))B．(－1,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)解析：當x>0時，函數f(x)＝(a2－1)x的值總大于1，則底數a2－1>1，a2>2，所以|a|>eq\r(2)，所以實數a的取值范圍是(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)．8．若函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,x＋1)－1，x≥0，,4×2x－\f(1,2)，x<0))的值域為A，則A為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(7,2))).解析：x≥0時，x＋1≥1,0<eq\f(1,x＋1)≤1，所以－1<eq\f(3,x＋1)－1≤2；x<0時，0<2x<1，－eq\f(1,2)<4×2x－eq\f(1,2)<eq\f(7,2).綜上，函數的值域為eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(y))－1<y<eq\f(7,2)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(7,2))).題型3指數函數的性質及應用9．若0<x<1，則2x，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x,之間的大小關系為(D)A．2x<<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x B．2x<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x<\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x<<2x D．<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x<2x解析：可用特殊值法．當x＝eq\f(1,2)時，2x＝eq\r(2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(1,2)＝eq\r(\f(1,2))，＝\f(1,2)＝eq\r(\f(1,5))，所以<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x<2x.10．設a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關系是(C)A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．b<c<a解析：因為0<<1，所以指數函數y＝是減函數，又<，所以0<又，所以b<a<c.11．不等式3x－1≤92x的解集是eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x≥－eq\f(1,3).解析：由3x－1≤92x得3x－1≤34x，由于y＝3x在R上單調遞增，所以x－1≤4x，解得x≥－eq\f(1,3)，所以原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x≥－eq\f(1,3).易錯點1用錯函數的類型致錯12．若a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\f(2,3)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\f(1,3)，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\f(2,3)，則(C)A．c<a<b B．c<b<aC．a<c<b D．b<a<c解析：因為指數函數y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x為減函數，eq\f(1,3)<eq\f(2,3)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\f(1,3)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\f(2,3)，即b>c.因為冪函數y＝xeq\f(2,3)在區間(0，＋∞)上為增函數，eq\f(1,3)<eq\f(2,3)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\f(2,3)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\f(2,3)，即a<c.故a<c<b.[誤區警示]底數不同，指數相同，可考慮構造冪函數；底數相同，指數不同，可考慮構造指數函數．易錯點2忽略了對參數的討論致錯13．解關于x的不等式a2x2－3x＋2>a2x2＋2x－3(a>0，且a≠1)．解：當0<a<1時，原不等式可化為2x2－3x＋2<2x2＋2x－3，解得x>1，所以原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>1))；當a>1時，原不等式可化為2x2－3x＋2>2x2＋2x－3，解得x<1，所以原不等式的解集為{x|x<1}．綜上，當0<a<1時，不等式的解集為{x|x>1}；當a>1時，不等式的解集為{x|x<1}．[誤區警示]代數式中的分母影響到問題的結論時，要注意對字母的討論．(限時30分鐘)一、選擇題1．(多選題)已知集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|3x<1}，則(AB)A．A∩B＝{x|x<－1} B．A∪B＝{x|x<0}C．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝?解析：由已知B＝{x|x<0}，又A＝{x|x<－1}，則A∩B＝{x|x<－1}，故A正確，D錯誤；A∪B＝{x|x<0}，故B正確，C錯誤．2．已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－，b＝π0，c＝，則a，b，c的大小關系為(D)A．c<b<a B．c<a<bC．b<a<c D．b<c<a解析：由指數函數的性質可得，a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－＝>＝c>1＝π0＝b，即b<c<a.3．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x，則實數x的取值范圍是(B)A．(－∞，1) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析：因為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x為減函數，且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x，所以x<1－x，解得x<eq\f(1,2).4．已知三個數a＝，b＝，c＝，則三個數的大小關系是(D)A．a>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．a>c>b解析：因為指數函數y＝6x在R上為單調增函數，所以a＝＞60＝1.因為指數函數y＝在R上為單調減函數，所以b＝因為冪函數y＝在(0，＋∞)上為單調增函數，所以所以a＞c＞b.5．函數y＝ax，y＝x＋a在同一坐標系中的圖象可能是(D)解析：函數y＝x＋a單調遞增，故C不正確．由題意知a>0且a≠1.當0<a<1時，y＝ax單調遞減，直線y＝x＋a在y軸上的截距大于0且小于1，故B不正確．當a>1時，y＝ax單調遞增，直線y＝x＋a在y軸上的截距大于1，故A不正確，D正確．6．函數y＝ax在[0,1]上的最大值與最小值的和為eq\f(5,4)，則函數y＝3a2x－1在[0,1]上的最大值為(C)A．16 B．15C．12 D．eq\f(3,4)解析：因為函數y＝ax在定義域上是單調函數，且y＝ax在[0,1]上的最大值與最小值和為eq\f(5,4)，所以1＋a＝eq\f(5,4)，解得a＝eq\f(1,4)，所以函數y＝3a2x－1＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2x－1＝12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))x.因為函數y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))x在定義域上為減函數，所以y＝3a2x－1在[0,1]上的最大值為當x＝0時，函數值是12.二、填空題7．函數f(x)＝a2x－2＋3(a>0且a≠1)的圖象恒過定點__(1,4)__．解析：根據題意，在函數f(x)＝a2x－2＋3中，令2x－2＝0，解得x＝1，此時f(1)＝a2－2＋3＝4，即函數的圖象恒過定點(1,4)．8．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3x＋1>91－x，則x的取值范圍是__(－∞，－3)__．解析：由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3x＋1>91－x，得3－(3x＋1)>32(1－x)，所以－(3x＋1)>2(1－x)，解得x<－3.9．若指數函數y＝ax在[－1,1]上的最大值和最小值的差為1，則實數a＝eq\f(1＋\r(5),2)或eq\f(\r(5)－1,2).解析：當a>1時，y＝ax在[－1,1]上單調遞增，所以當x＝－1時，y取到最小值a－1，當x＝1時，y取到最大值a，所以a－a－1＝1，解得a＝eq\f(1＋\r(5),2)；當0<a<1時，y＝ax在[－1,1]上單調遞減，所以當x＝－1時，y取到最大值a－1，當x＝1時，y取到最小值a，所以a－1－a＝1，解得a＝eq\f(\r(5)－1,2).三、解答題10．比較下列各組數值的大?。?1)和；(2)和；(3)－和－3.解：(1)因為函數f(x)＝在R上是增函數，又>，所以因為函數g(x)＝在R上是減函數，又4>3，所以<.(3)因為－<＝1＝<－3，所以－<－3.11．已知函數f(x)＝eq\f(2x＋a,2x－1).(1)若f(x)為奇函數，求a的值；(2)在(1)的條件下，求函數f(x)的值域．解：(1)f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)．因為f(x)為奇函數，所以f(－x)＝－f(x)恒成立，所以eq\f(2－x＋a,2－x－1)＝－eq\f(2x＋a,2x－1)，整理得(a－1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－x＋2x－2))＝0，所以a＝1.(2)令y＝eq\f(2x＋1,2x－1)，