測量誤差產生的原因測量誤差是不可避免的，但是由于各種測量誤差的產生都有其原因和影響測量結果的規律，因此測量誤差是可以控制的。要提高測量精確度，就必須減小測量誤差。要減小和控制測量誤差，就必須對測量誤差產生的原因進行了解和研究。產生測量誤差的原因很多，主要有以下幾個方面：基準件誤差、測量儀器的誤差、調整誤差、方法誤差、測量力誤差、環境誤差、人為誤差等。2.8測量誤差和數據處理測量儀器誤差

測量儀器誤差是指由于測量儀器本身存在的誤差而引起的測量誤差。具體地說，是由于測量儀器本身的設計、制造以及裝配、調整不準確而引起的誤差，一般表現在測量儀器的示值誤差和重復精度上。

設計計量器具時，因結構不符合理論要求，或在理論上采用了某種近似都會產生誤差。例如，在光學比較儀的設計中，采用了當α為無窮小量時，sinα≈α的近似而產生的誤差；若將標尺的不等分刻線用等分刻線代替，就存在計量器具設計時的原理誤差。

制造以及裝配、調整不準確而引起的誤差，如測量儀器測量頭的直線位移與測量儀器指針的角位移不成比例、測量儀器的刻度盤安裝偏心、刻度尺的刻線不準確等等。以上這些誤差使測量儀器所指示的數值并不完全符合被測幾何量變化的實際情況，這種誤差叫做示值誤差。當然，這種誤差是很小的，每一種儀器都規定了相應的示值誤差允許范圍。基準件誤差所有基準件或基準量具，雖然制作得非常精確，但是都不可避免地存在誤差。基準件誤差就是指作為標準量的基準件本身存在的誤差。例如，量塊的制造誤差等。基準件誤差直接影響測得值。在相對測量中，基準件誤差包含在測量誤差內，因為在測量時用來與被測幾何量進行比較的基準件（如量塊）誤差將直接反映到測量結果中，引起測量誤差。例如，在光學比較儀上用2級量塊作為基準件將儀器調零，測量20mm的零件時，僅僅由2級量塊就可能產生±0.60μm的測量誤差。在測量中，要合理選擇基準件的精度，一般地，基準件的誤差應不超過總測量誤差的1/3~1/5。方法誤差方法誤差是指選擇的測量方法和定位方法不完善所引起的誤差。例如：測量方法選擇不當、工件安裝不合理、計算公式不精確、采用近似的測量方法或間接測量法等造成的誤差。環境誤差環境誤差是指由于環境因素與要求的標準狀態不一致所引起的測量誤差。影響測量結果的環境因素有溫度、濕度、振動和灰塵等。其中溫度影響最大，這是由于各種材料幾乎對溫度都非常敏感，都具有熱脹冷縮的現象。因此，在長度計量中規定標準溫度為20℃。人員誤差及讀數誤差

人員誤差是指由于人的主觀和客觀原因所引起的測量誤差。如由于測量人員的視力分辨能力，測量技術的熟練程度，測量儀器調整的不正確、測量習慣的好壞以及疏忽大意等因素引起的測量誤差

讀數誤差是人員誤差的一種。它是指當測量儀器指針處在表盤上相鄰兩刻線之間時，需要測量者估讀而產生的誤差。除數字顯示的測量儀器外，這種測量誤差是不可避免的。測量力引起的變形誤差測量力引起的變形誤差是指使用測量儀器進行接觸測量時，測量力使零件與測量頭接觸的部分發生微小變形而產生的測量誤差。特別是當測量頭移動的速度較快時，由于沖擊或滑動而產生的動態測量力會形成較大的測量誤差。因而為了減小測量力的變化所造成的測量誤差，在操作時要輕放測量頭，并盡可能在調零時和測量時保持一致。一般測量儀器的測量力大都控制在200克之內，高精度量儀的測量力控制在幾十克甚至幾克之內。為了控制測量力對測量結果的影響，測量儀器一般應具有使測量力保持恒定的裝置。如：百分表和千分表上的彈簧，千分尺上的棘輪機構等。2.8測量誤差和數據處理2.相對誤差是指測量誤差除以被測量的真值：

f＝δ/L2.8.1測量誤差的基本概念1.測量誤差（絕對誤差）是指測量結果減去被測量的真值之差，即：

δ＝ι-L

δ——測量誤差

L——被測量的真值ι——測量結果f

——相對誤差測量誤差δ的大小決定了測量的精確度，δ越大，則精確度越低；δ越小，則精確度越高。對于不同大小的同類幾何量，要比較測量精確度的高低，一般采用相對誤差的概念進行比較例如：

有兩個被測量的實際測得值X1=100mm，X2=10mm，δ1=0.02mm，δ2=0.01mm，則其相對誤差為：f1=δ1/L1×100%=0.02/100×100%=0.02%f2=δ2/L2×100%=0.01/10×100%=0.1%由上例可以看出，兩個不同大小的被測量，雖然前者絕對誤差大，但f1＜f2，表示前者的精確度比后者高。2.8.2誤差的分類1.隨機誤差單次測量無規律可循，大小和符號不可預知。多次測量服從統計規律，常用概率論和統計原理隊它進行處理。粗大誤差：測量中出現的差錯對測量結果產生明顯得歪曲。2.系統誤差測量結果與在重復條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值之差，稱為隨機誤差。隨機誤差主要由隨機因素（環境變化、對線數、讀等）引起。隨機誤差=誤差－系統誤差在重復條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值與被測量的真值之差，稱為系統誤差。通過修正值隊其只能有限程度的補償。(a)(b)(c)槍好，系統誤差小。打靶人技術不好，手抖，隨機誤差大。彈孔分散，平均值靠近靶心槍不好，系統誤差大打靶人技術好，隨機誤差小槍好，系統誤差小技術好，隨機誤差小下面以打靶為例，說明系統誤差和隨機誤差的關系：準確度高

彈孔集中，平均值遠離靶心

彈孔集中，平均值靠近靶心2.8.3隨機誤差1．隨機誤差的分布及其特征隨機誤差可用試驗方法來確定。實踐表明，大多數情況下，隨機誤差符合正態分布。為便于理解，現舉例說明。對工件的某一部位用同一方法進行200次重復測量，測得200個不同讀數，這一系列測量值稱為測量列。將其分組，每隔0.002為一組，共11組，見下表2-3。表2-3測量數據統計表尺寸分組區間（mm）組號區間中心值xi（mm）每組出現的次數（頻數ni）頻率（ni/N）19.990～19.99219.992～19.99419.994～19.99619.996～19.99819.998～20.00020.000～20.00220.002～20.00420.004～20.00620.006～20.00820.008～20.01020.010～20.012123456789101119.99119.99319.99519.99719.99920.00120.00320.00520.00720.00920.0112410243745392312310.010.020.050.120.1850.2250.1950.1150.060.0150.005若以橫坐標表示測得值Xi，縱坐標表示相對出現次數ni/N，其中ni為某一測得值出現的次數，N為測量總次數，則得如圖2-35(a)所示的圖形，稱為頻率直方圖。連接每個小方圖的上部中點，得一折線，稱為實際分布曲線。yO正態分布曲線δμ圖2-35頻率直方圖和正態分布曲線19.99120.0070.2250.120.01x=20.0

ni/N實際分布曲線xi19.99120.0070.2250.120.01x=20.0

ni/N實際分布曲線△x△x大，圖形高。讓圖形高低不受△x影響，可用代替——為概率論中的概率密度N∞，△x0Δ代替x得光滑曲線稱隨機誤差的正態分布曲線.

隨機誤差分布及其特點：對稱性：絕對值相等而符號相反的誤差出現的概率相同。

單峰性：絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的次數多。

有界性：在一定條件下，誤差的絕對值不會超過一定的界限。

抵償性：對同一量在同一條件下進行重復測量，隨測量次數不斷增加而趨于無窮時，隨機誤差的算術平均值趨于零。yO正態分布曲線δμ19.99120.0070.2250.120.01x=20.0

ni/N實際分布曲線△x其中y－概率密度

σ－標準偏差δ－隨機誤差e－自然對數的底=2.71828依據概率論原理正態分布曲線的數學表達式：y正態分布曲線δ2．評定隨機誤差的尺度——標準偏差公式與隨機誤差δ和標準偏差σ有關。隨機誤差指在沒有系統誤差的條件下，測得值與真值之差，即：δ＝ι－L公式分析：1）當δ＝0時，正態分布的概率密度最大。ymaxps21=esd222-=1y正態分布曲線δ從理論上講，正態分布中心位置的均值代表被測量的真值，標準偏差σ代表測得值的集中與分散程度。不同的σ對應不同形狀的正態分布曲線，σ越小，ymax值越大，曲線越陡，隨機誤差越集中，即測得值分布越集中，測量精密度越高；σ越大，ymax值越小，曲線越平坦，隨機誤差越分散，即測得值分布越分散，測量精密度越低。2）若σ1<σ2<σ3，則ymax1＞ymax2＞ymax30σ1σ2σ36σ16σ26σ3yδσ1<σ2<σ3測量列中相應各測得值與真值之差。式中σ測量列中單次測量的標準偏差；（2-10）

由上述分析可知，不存在系統誤差時，測量方法精密度的高低可用標準偏差σ的大小表示。根據誤差理論，等精度測量列中單次測量的標準偏差σ是各隨機誤差δ平方和的平均值的正平方根，即：依據概率論原理，正態分布曲線所包含的面積等于其相應區間確定的概率，即：p-￥=ò+￥espsd22221--￥ò+￥=ydδdδ=1p-δ=ò+δespsd22221--δò+δ=ydδdδ誤差落在(-∞，+∞)之間，概率P=1；我們研究誤差落在(-δ，+δ)之間的概率，上式改寫為:設t=δ/σ，則：dt=dδ/σ即：p-t=ò+tept2221-dt由于超出δ=3σ的概率已很小，故在實踐中常認為δ=3σ的概率P≈1。從而將δ=±3σ看作是單次測量的隨機誤差的極限值，稱為隨機誤差的極限，記作：所以誤差極限是單次測量標準偏差的3倍，是隨機誤差不會超過的限度。這時的置信概率P=99.73％。由正態分布的第四個特性可知，當測量次數n增大時，算術平均值愈趨近于真值。因此，用算術平均值作為測量結果比其它任一測量值作為測量結果更可靠。3．算術平均值在評定有限測量次數測量列的隨機誤差時，必須獲得真值，但真值是不知道的，因此只能從測量列中找到一個接近真值的數值加以代替，這就是測量列的算術平均值。若測量列為l1、、l2、…、li，則算術平均值為L式中：nL1=?=nl1iin1=（l1+l2+…+li）Llin——算術平均值——第i個測量值——測量次數4．由殘余誤差求標準偏差真值L不知，δ也不知，不用該式計算標準偏差σ。在實際應用中用殘余誤差計算標準偏差σ。=li

-L殘余誤差由符合正態分布曲線分布規律的隨機誤差的分布特性可知殘差具有下述兩個特性：1）當測量次數n足夠多時，殘差的代數和趨近于零，即≈0；2）殘差的平方和為最小即實際應用中，常用≈0來驗證數據處理中求得的與是否正確。即單次測量的標準偏差σ的估計值（用S表示）。S可用下式表示為：S=（2-16）貝賽爾公式實驗標準偏差σ

=（2-16）系統誤差與隨機誤差在性質上是不同的，它的出現具有一定的規律性，不能像隨機誤差那樣依靠統計的方法來處理，而只能采取具體問題具體分析的方法，通過仔細的校驗和精心的試驗才能發現與消除。2.8.4系統誤差在同一條件下，多次測量同一量值時，誤差的絕對值和符號保持恒定，或在條件改變時，按某一個確定的規律變化的誤差。誤差數值往往比較大，因而在測量結果中如何發現和消除它是提高測量準確度的一個重要問題。發現系統誤差的方法有多種，直觀的方法是“殘余誤差觀察法”——根據系列值的殘余誤差，列表或作圖進行觀察

殘余誤差觀察法

根據殘余誤差大小和符號變化規律，由殘余誤差數據或殘余誤差曲線來判斷有無系統誤差。1）若vi大體正負相間，無顯著變化規律，則可以認為不存在系統誤差。2）若vi有規律地遞增或遞減，則存在線性系統誤差。3）若vi有規律地逐漸由負變正或由正變負，則存在周期性系統誤差。(a)不存在變值系統誤差(b)存在線性系統誤差(c)存在周期性系統誤差5liL=li

-L消除系統誤差的方法從產生誤差根源上消除系統誤差要求測量人員對測量過程中可能產生系統誤差的各個環節作仔細的分析，并在測量前就將系統誤差從產生根源上加以消除。用誤差修正法消除系統誤差若發現系統誤差的存在，且誤差的大小、正負均已知道，則可將測量結果減去已知系統誤差值。從而獲得不含（或少含）系統誤差的測量結果。也可將已知系統誤差取相反的符號，變成修正值，并用代數法將此修正值與未修正測量結果相加，算出已修正的測量結果。（如游標卡尺磨損造成的誤差）若發現2）和3）的系統誤差存在，必須采取措施加以消除或減小到最低程度，然后作為隨機誤差處理。知道誤差大小和正負號可采用修正法；不知道誤差大小和正負號無法修正，可采用抵償法或分離法。用誤差抵償消除系統誤差

若知道系統誤差存在，但不知道誤差的大小和正負，則無法進行修正，但通過分析發現，在有的測量結果中，包含有系統誤差和另一個測量結果中包含的系統誤差其大小相等，而方向相反。因此，可用此兩測量結果相加取平均，可抵消其系統誤差。

用誤差分離消除系統誤差

就是采用反向測量或多步測量或多測頭測量等的測量方法，使之獲得較多的測量信息，然后通過某一種計算方法將其分離，從而或得準確的測量結果。在測量之前，應該盡可能預見到產生系統誤差的來源，設法消除之。或者使其影響減少到可以接收的程度。

系統誤差的來源一般可以歸納為以下幾個方面：由于測量設備、試驗裝置不完善，或安裝、調整，使用不得當而引起的誤差。由于外界環境因素的影響而引起的誤差。由于測量方法不正確，或者測量方法所賴以存在的理論本身不完善而引起的誤差。

2.8.5粗大誤差的處理粗大誤差也稱為疏忽誤差或過失誤差，指的是明顯歪曲測量結果的誤差，其數值通常較大。當懷疑測量序列中某些測得值可能含有粗大誤差時，應根據一定的判別準則對它們是否含有粗大誤差進行判斷，若是則應把含有粗大誤差的測得值從測量序列中剔除。最常用的粗大誤差判別準則是萊依達準則（3σ準則）：

對于某一無系統誤差的測量序列，若其中某一測得值的殘余誤差滿足則可以認為該測得值含有粗大誤差，應予以剔除。

其他判別準則：肖維勒準則、格羅布斯準則、羅曼諾夫斯基準則（t檢驗準則）、狄克松準則等。2.8.6函數誤差（間接測量誤差分析與處理）直接測量中，測量結果的總誤差要受測量器具誤差、測量方法誤差、溫度誤差、人員誤差的共同影響。間接測量中，測量結果的誤差受各間接量測量誤差的間接影響。設