工程力學及其實驗第十三章壓桿穩定主要內容：

壓桿穩定的概念及失穩分析臨界力和臨界應力

歐拉公式的適用范圍

中、小柔度桿的臨界應力壓桿的穩定性計算提高壓桿穩定性的措施§13－1壓桿穩定的概念及失穩分析

壓桿穩定的概念

壓桿保持其原有直線平衡狀態的能力，稱為壓桿的穩定性；反之，壓桿喪失其原有直線平衡狀態而破壞的現象，稱為壓桿的失穩。條形鋼板的失穩

機械中的細長壓桿

壓桿失穩分析

壓桿的失穩過程

對于細長壓桿,其直線平衡狀態是否穩定,與軸向壓力F的大小有關。當壓力為某一數值FQ時,壓桿處于穩定的直線平衡狀態和不穩定的直線平衡狀態之間，這一狀態稱為臨界狀態壓桿處于臨界狀態的壓力值，稱為壓桿的臨界壓力，簡稱臨界力，用符號F1j表示壓桿的臨界力越大，穩定性越強§13－2臨界力和臨界應力

由于臨界力也認為是壓桿處于微彎平衡狀態，當撓度趨向于零時承受的壓力。因此，對一般截面形狀、載荷及支座情況不復雜的細長壓桿，可根據壓桿處于微彎平衡狀態下的撓曲線近似微分方程式進行求解，這一方法稱為靜力法。

理想壓桿的臨界力1.兩端鉸支壓桿的臨界力

EI——壓桿的抗彎剛度。

l——壓桿的長度，單位為mm。歐拉公式表明：1）壓桿的臨界力與其抗彎剛度成正比2）壓桿的臨界力與壓桿長度的平方成正比3）壓桿的臨界力與壓桿的支承情況有關，壓桿兩端的支承越牢固，壓桿抵抗彎曲變形的能力越強,臨界力越大。2.其他約束情況下壓桿的臨界力μ——壓桿的長度因數柱形鉸約束

焊接或鉚接螺母和絲杠連接對于與堅實的基礎固結成一體的柱腳，可簡化為固定端。

桿端約束情況的簡化§13－3歐拉公式的適用范圍中、小柔度桿的臨界應力臨界應力的歐拉公式

i——壓桿橫截面的慣性半徑，單位為mm；λ——壓桿的柔度,無量綱，柔度越大,則臨界應力越小,壓桿越容易失穩。

壓桿越細長、支承情況越不牢固、橫截面尺寸越小則柔度越大,臨界應力越小

歐拉公式的適用范圍

對于Q235鋼制成的壓桿,當其柔度λ≥100時，才能應用歐拉公式。λ

≥λp的壓桿稱為大柔度桿或細長桿,其臨界力或臨界應力可用歐拉公式計算。

λp為臨界應力等于材料比例極限時的柔度，是允許應用歐拉公式的最小柔度值例如：Q235鋼，其彈性模量E=200GPa，比例極限σp=200MPa，則λp值為

中、小柔度桿臨界應力的計算

λ

≤

λp的壓桿稱為小柔度桿或短粗桿小柔度桿的臨界應力按其制作材料不同分為兩種情況：

λs

≤λ

≤

λp的壓桿稱為中柔度桿中柔度桿臨界應力的計算，通常采用建立在實驗基礎上的經驗公式

對塑性材料

對脆性材料

歸納：（1）對于大柔度桿（λ≥λp

），用歐拉公式計算（3）對于小柔度桿（λ≤λp

），材料為塑性材料時，σcr=σs

材料為脆性材料時，σcr=σby

例13-1

如圖所示,用Q235鋼制成的三根壓桿,兩端均為鉸鏈支承,橫截面為圓形，直徑d=50mm，長度分別為l1=2m，l2=1m，l3=0.5m，材料的彈性模量E=200GPa，屈服點σs=235MPa，求三根壓桿的臨界應力和臨界力。

解(1)計算各壓桿的柔度因壓桿兩端為鉸鏈支承,查表得長度系數μ=1。圓形截面對y軸和z軸的慣性矩相等,均為故圓形截面的慣性半徑為

各壓桿的柔度分別為

(2)計算各壓桿的臨界應力和臨界力對于Q235鋼λ

p=100，λ

s=60。對于壓桿1,其柔度λ

1=160>λ

p，所以壓桿1為大柔度桿，臨界應力用歐拉公式計算。

壓桿2為中柔度桿，對于Q235鋼，a=310MPa,b=1.24MPa，臨界應力為

壓桿3為小柔度桿，因為Q235鋼為塑性材料，故其臨界應力為

臨界力為σcr臨界力為σcr臨界力為

例13-2

如圖所示,一長度l=750mm的壓桿,兩端固定,橫截面為矩形,尺寸如圖。壓桿的材料為Q235鋼,其彈性模量E=200GPa，計算壓桿的臨界應力和臨界力解(1)計算壓桿的柔度壓桿兩端固定，查表得長度系數μ=0.5。矩形截面對y軸和z軸的慣性矩分別為Iy<Iz,所以壓桿的橫截面必定繞著y軸轉動而失穩截面對y軸的慣性半徑為得壓桿的柔度為(2)計算臨界應力和臨界力對于Q235鋼λ

p=100，則λ

>λ

p，故臨界應力用歐拉公式計算。

臨界力為

σcr§13－4壓桿的穩定性計算

壓桿穩定計算，通常采用安全系數法。為了保證壓桿不失穩，并具有一定的穩定儲備，壓桿的穩定條件可表示為

n=Fcr/F=σcr/σ≥[nW]Fcr—壓桿的臨界壓力F—壓桿的工作壓力N—壓桿工作安全系數σcr—壓桿的臨界應力σ—壓桿的工作壓應力[nW]—規定的穩定安全系數,它表示要求受壓桿件必須達到的穩定儲備程度。幾種常用零件穩定安全系數的參考值壓桿的臨界壓力取決于整個桿件的彎曲剛度。但在工程實際中,壓桿局部有截面削弱的情況,在確定臨界壓力或臨界應力時，此時可以不考慮桿件局部截面削弱的影響,仍按未削弱的截面面積、最小慣性矩和慣性半徑等進行計算。但對這類桿件,還需對削弱的截面進行強度校核。例13-3如圖所示為一根Q235A鋼制成的矩形截面壓桿AB，A、B兩端用柱銷聯接。設聯接部分配合精密。已知l=2300mm，b=40mm，h=60mm，E=206GPa，λp=100，規定穩定安全因數[nW]=4，試確定該壓桿的許用壓力F。

解(1)計算柔度λ。在xy平面，壓桿兩端可簡化為鉸支μxy=l，則在xz平面，壓桿兩端可簡化為固定端,μxz=0.5，則

(2)計算臨界力Fcr。因為λz>λp，故壓桿最先在xy面內失穩。按λz計算臨界應力，因λz>λp，即壓桿在xy面內是細長壓桿，可用歐拉公式計算其臨界壓力，得(3)確定該壓桿的許用壓力F。由穩定條件可得壓桿的許用壓力F為§13－5提高壓桿穩定性的措施

合理選擇材料對于大柔度桿，宜選用普通鋼材。對于中柔度桿，選用高強度鋼。合理選擇截面形狀應該選擇Iz=