第4章自動控制系統的時域分析主講教師：朱高偉自動控制原理第4章

自動控制系統的時域分析主要內容自動控制系統的時域指標一階系統的階躍響應二階系統的階躍響應高階系統的階躍響應自動控制系統的代數穩定判據穩態誤差小結學習重點了解典型信號和自動控制系統時域指標的定義；

掌握一階和二階系統分析與暫態性能指標計算方法；

建立系統參數與系統暫態響應之間的對應關系；了解系統參數對系統暫態性能指標的影響，能夠定性分析高階系統的暫態響應過程；理解和掌握線性控制系統穩定的充要條件，會用勞斯判據判斷系統的穩定性；理解穩態誤差的概念，了解系統參數對系統誤差的影響，熟練掌握誤差傳遞函數和穩態誤差的計算方法。第4章

自動控制系統的時域分析第4章

自動控制系統的時域分析1.分析方法

時域、頻域2.時域分析的目的

設法從微分方程判斷出系統運動的主要特征而不必準確地把微分方程解出來，從工程角度分析系統運動規律。4.1自動控制系統的時域指標1.對控制性能的要求(1)系統應是穩定的；(2)系統達到穩定時，應滿足給定的穩態誤差的要求；(3)系統在暫態過程中應滿足暫態品質的要求。4.1自動控制系統的時域指標2.自動控制系統的典型輸入信號（1）階躍函數A=1時稱為單位階躍函數，

4.1自動控制系統的時域指標（2）斜坡函數A=1時稱為單位斜坡函數4.1自動控制系統的時域指標（3）拋物函數當A=1/2時，稱為單位拋物線函數

4.1自動控制系統的時域指標（4）脈沖函數當A=1時，稱為單位脈沖函數（t）4.1自動控制系統的時域指標（5）正弦函數

用正弦函數作輸入信號，可以求得系統對不同頻率的正弦輸入函數的穩態響應，由此可以間接判斷系統的性能。4.1自動控制系統的時域指標本章主要以單位階躍函數作為系統的輸入量來分析系統的暫態響應。在工程上，許多高階系統常常具有近似一、二階系統的時間響應。因此，深入研究一、二階系統的性能指標，有著廣泛的實際意義。4.2一階系統的階躍響應

1.一階系統的數學模型4.2一階系統的階躍響應

2.一階系統的單位階躍響應4.2一階系統的階躍響應

ts=3T(s)，

（對應5%誤差帶）

ts=4T(s)，

（對應2%誤差帶）系統的時間常數T越小，調節時間ts越小，響應過程的快速性也越好。4.2一階系統的階躍響應

例3-1一階系統的結構如下圖所示。試求該系統單位階躍響應的調節時間ts；如果要求ts(5%)0.1(秒)，試問系統的反饋系數應取何值？4.2一階系統的階躍響應

解：（1）首先由系統結構圖寫出閉環傳遞函數得T=0.1（s）因此得調節時間

ts=3T=0.3(s)，（取5%誤差帶）

4.2一階系統的階躍響應

(2)求滿足ts

(5%)

0.1（s）的反饋系數值。假設反饋系數Kt(Kt>0)，那么同樣可由結構圖寫出閉環傳遞函數由閉環傳遞函數可得T=0.01/Kt根據題意要求ts

(5%)

0.1（s）則ts

=3T=0.03/Kt0.1(s)所以Kt0.34.3二階系統的階躍響應1.典型二階系統的暫態特性

假設初始條件為零，當輸入量為單位階躍函數時，輸出量的拉氏變換為

4.3二階系統的階躍響應系統的特征方程為

系統的特征根為過阻尼4.3二階系統的階躍響應輸出量的拉氏變換：

4.3二階系統的階躍響應輸出量的時間函數：結論：后一項的衰減指數遠比前一項大得多。這時，二階系統的暫態響應就類似于一階系統的響應。

4.3二階系統的階躍響應系統的特征根為輸出量的拉氏變換：（2）臨界阻尼4.3二階系統的階躍響應輸出量的時間函數：4.3二階系統的階躍響應（3）欠阻尼（）系統的特征根為4.3二階系統的階躍響應輸出量的拉氏變換：式中：阻尼振蕩角頻率，或振蕩角頻率

阻尼角

4.3二階系統的階躍響應輸出量的時間函數：4.3二階系統的階躍響應結論：在的情況下，二階系統的暫態響應的暫態分量為一按指數衰減的簡諧振動時間函數；振蕩程度與

有關：

越小，振蕩越劇烈。

4.3二階系統的階躍響應（4）無阻尼（

=0）

系統的特征根為

輸出量的拉氏變換為

二階系統的暫態響應為

4.3二階系統的階躍響應綜上所述，在不同的阻尼比時，二階系統的暫態響應有很大的區別，因此阻尼比

是二階系統的重要參量。當

=0時，系統不能正常工作，而在

=1時，系統暫態響應進行的又太慢。所以，對二階系統來說，欠阻尼情況（）是最有實際意義的。

4.3二階系統的階躍響應2.二階系統暫態特性指標當時，典型二階系統的輸出響應為快速性指標：上升時間tr

，調節時間ts平穩性指標：最大超調量

%，振蕩次數

4.3二階系統的階躍響應2.二階系統暫態特性指標（1）上升時間tr：

系統的輸出第一次達到穩態值的時間。令t=tr時，xc（t）=1得4.3二階系統的階躍響應結論：當n一定時，阻尼比越大，則上升時間tr越長；當一定時，n越大，則tr越短。

4.3二階系統的階躍響應（2）最大超調量

%

輸出最大值相對于輸出穩態值的誤差。用公式表示為最大超調量發生在第一個周期中t=tm

時刻。令

得4.3二階系統的階躍響應因此即因為在n=1時出現最大超調量，所以有。峰值時間為

4.3二階系統的階躍響應將代入得最大值為因為所以4.3二階系統的階躍響應根據超調量的定義在單位階躍輸入下，穩態值，因此得最大超調量為結論：二階系統的最大超調量與值有密切的關系，阻尼比越小，超調量越大。

4.3二階系統的階躍響應（3）調節時間ts與穩態值之間的偏差達到允許范圍（一般取5%～2%）而不再超出的暫態過程時間。在暫態過程中的偏差為

4.3二階系統的階躍響應當或0.02時，得忽略正弦函數的影響，認為指數項衰減到0.05或0.02時，過渡過程即進行完畢。這樣得到

4.3二階系統的階躍響應由此求得調節時間為結論：調節時間ts

近似與成反比關系。

4.3二階系統的階躍響應（4）振蕩次數

在調節時間ts內，波動的次數。式中：

為阻尼振蕩的周期時間。

4.3二階系統的階躍響應3.二階系統特征參數與暫態性能指標之間的關系4.3二階系統的階躍響應結論：（1）阻尼比是二階系統的一個重要參量，由值的大小可以間接判斷一個二階系統的暫態品質。在過阻尼（）情況下，暫態特性為單調變化曲線，沒有超調和振蕩，但調節時間較長，系統反應遲緩。當，輸出量作等幅振蕩或發散振蕩，系統不能穩定工作。（2）一般情況下，系統在欠阻尼（）情況下工作。但是過小，則超調量大，振蕩次數多，調節時間長，暫態特性品質差。應注意到，最大超調量只和阻尼比這一特征參數有關。因此，通常可以根據允許的超調量來選擇阻尼比。（3）調節時間與系統阻尼比和自然振蕩角頻率這兩個特征參數的乘積成反比。在阻尼比一定時，可以通過改變自然振蕩角頻率來改變暫態響應的持續時間。越大，系統的調節時間越短。（4）為了限制超調量，并使調節時間較短，阻尼比一般應在0.4～0.8之間，這時階躍響應的超調量將在1.5%～25%之間。4.3二階系統的階躍響應4.3二階系統的階躍響應4.二階工程最佳參數令4.3二階系統的階躍響應例3-2有一位置隨動系統，其結構圖如下圖所示，其中Kk

=4。求該系統的：1）自然振蕩角頻率；2）系統的阻尼比；3）超調量和調節時間；4）如果要求，應怎樣改變系統參數Kk值。4.3二階系統的階躍響應解

系統的閉環傳遞函數為寫成標準形式由此得（1）自然振蕩角頻率

4.3二階系統的階躍響應（2）阻尼比（4）當要求時，（3）超調量調節時間4.3二階系統的階躍響應例3-3為了改善例3-2系統的暫態響應性能，滿足單位階躍輸入下系統超調量的要求，今加入微分負反饋，如下圖所示。求微分時間常數。4.3二階系統的階躍響應解

系統的開環傳遞函數為

系統閉環傳遞函數為

4.3二階系統的階躍響應為了使，令。由可求得并由此求得開環放大系數為4.3二階系統的階躍響應例3-3說明：當系統加入局部微分負反饋時，相當于增加了系統的阻尼比，提高了系統的平穩性，但同時也降低了系統的開環放大系數。4.3二階系統的階躍響應5.零、極點對二階系統暫態性能的影響(1)具有零點的二階系統的暫態特性分析

具有零點的二階系統的閉環傳遞函數為

式中：——時間常數。

4.3二階系統的階躍響應令，則將系統的結構圖等效成下圖所示的結構。

4.3二階系統的階躍響應由之得在初始條件為零時，取拉氏反變換為4.3二階系統的階躍響應得即式中，l為極點與零點間的距離，可由系統閉環傳遞函數的零點和極點在復平面上所在的位置確定。

4.3二階系統的階躍響應零極點在s平面上的分布如下圖所示由左圖知4.3二階系統的階躍響應所以式中4.3二階系統的階躍響應令，為閉環傳遞函數的復數極點的實部與零點的實部之比，則得所以結論：由于閉環傳遞函數零點的存在，振蕩性增強。4.3二階系統的階躍響應(2)二階系統加極點的暫態響應系統傳遞函數當時，特征方程式的三個根為

4.3二階系統的階躍響應因此得上式中各項的待定系數為

式中是負實數極點與共軛復數極點的負實部之比4.3二階系統的階躍響應三階系統的極點分布如下圖所示4.3二階系統的階躍響應輸出量的暫態響應為或

式中

4.3二階系統的階躍響應，以為參變量時三階系統的單位階躍響應如下圖所示結論：具有負實數極點的三階系統，振蕩性減弱，而上升時間和調節時間增長，超調量減小，也就是相當于系統的慣性增強了。4.4高階系統的暫態響應高階系統的閉環傳遞函數形式：將分子和分母分解成因式：

4.4高階系統的暫態響應如果系統是穩定的，且全部的極點和零點都互不相同，而極點中包含有共軛復數極點，則當輸入為單位階躍函數時，輸出量的拉氏變換為式中：；q為實數極點的個數，r為共軛極點的對數。4.4高階系統的暫態響應用部分分式展開得單位階躍響應為4.4高階系統的暫態響應結論（1）高階系統暫態響應各分量衰減得快慢，系統閉環極點的實部越小，即在S平面左側離虛軸越近，則相應的分量衰減越慢，對暫態影響越大。（2）高階系統暫態響應各分量的系數不僅和極點在S平面中的位置有關，并且與零點的位置有關。4.4高階系統的暫態響應如果某極點-pj靠近一個閉環零點，遠離原點及其它極點，則相應項的系數Aj比較小，該暫態分量的影響也就越小。如果極點和零點靠得很近（稱為偶極子），則該極點對暫態響應幾乎沒有影響。如果某極點-pj遠離閉環零點，但與原點相距較近，則相應的系數Aj將比較大。因此離原點很近并且附近沒有閉環零點的極點，其暫態分量項不僅幅值大，而且衰減慢，對系統暫態響應的影響很大。4.4高階系統的暫態響應（3）主導極點：如果高階系統中距離虛軸最近的極點，其實部小于其它極點的實部的1/5，并且附近不存在零點，可以認為系統的暫態響應主要由這一極點決定。如果找到一對共軛復數主導極點，那么，高階系統就可以近似地當作二階系統來分析，并可以用二階系統的暫態性能指標來估計系統的暫態特性。

在設計一個高階控制系統時，我們常常利用主導極點這一概念選擇系統參數，使系統具有一對共軛復數主導極點，這樣就可以近似地用一階或二階系統的指標來設計系統。4.5自動控制系統的代數穩定判據一個線性系統正常工作的首要條件，就是它必須是穩定的。用代數的方法判斷線性系統的穩定性，分析系統參數變化對穩定性的影響，是本節要介紹的內容。4.5自動控制系統的代數穩定判據1.線性系統穩定性的概念和穩定的充分必要條件

系統特征方程的根（即系統閉環傳遞函數的極點）全部負實數或具有負實部的共軛復數，也就是所有的閉環特征根分布在S平面虛軸的左側。

4.5自動控制系統的代數穩定判據2.勞斯判據系統的特征方程式的標準形式：列勞斯表4.5自動控制系統的代數穩定判據勞斯判據：

系統特征方程的全部根都在S左半平面的充分必要條件是勞斯表的第一列系數全部是正數。

方程在右半平面根的個數等于勞斯表中第一列各元改變符號的次數。4.5自動控制系統的代數穩定判據例3-4系統的特征方程如下，試用勞斯判據判斷系統的穩定性。解：列勞斯表系統不穩定，有2個根在S右半平面

4.5自動控制系統的代數穩定判據建立勞斯表過程中的兩種特殊情況把“0”用一個小的正數代替，繼續計算。若上下符號相同，則處于臨界穩定狀態。（1）勞斯表中第一列出現“0”4.5自動控制系統的代數穩定判據例3-5系統的特征方程如下,試用勞斯判據判斷系統的穩定性。解：列勞斯表第1列各元中的上面和下面的系數符號不變，故有一對虛根。系統處于臨界穩定狀態。將特征方程式分解，有解得根為4.5自動控制系統的代數穩定判據例3-6系統的特征方程如下,試用勞斯判據判斷系統的穩定性。解：列勞斯表系統不穩定，有兩個根具有正實部。4.5自動控制系統的代數穩定判據（2）勞斯表的某一行中，所有元都等于零這表明方程有一些大小相等且對稱于原點的根。在這種情況下，可利用全0行的上一行各元構造一個輔助多項式（稱為輔助方程），式中均為偶次。以輔助方程的導函數的系數代替勞斯表中的這個全0行，然后繼續計算。

若第一列無變號則系統只有虛根，臨界穩定；若第一列有變號則系統右側有根，不穩定；4.5自動控制系統的代數穩定判據例3-7系統的特征方程如下,試用勞斯判據判斷系統的穩定性。解：列勞斯表由上表可以看出，s3行的各項全部為零。為了求出s3～s0各項，用s4行的各元構成輔助方程式

4.5自動控制系統的代數穩定判據結論：在新得到的勞斯表中第1列沒有變號，因此可以確定在S右半平面沒有特征根。另外，由于行的各元均為零，這表示有共軛虛根。系統處于臨界穩定狀態。

它的導函數為用導函數的系數4和12代替行相應的元繼續算下去，得勞斯表為4.5自動控制系統的代數穩定判據這些虛根可由輔助方程式求出。本例的輔助方程式是由輔助方程求得虛根為4.5自動控制系統的代數穩定判據3.胡爾維茨判據系統的特征方程式的標準形式：構造胡爾維茨行列式D

4.5自動控制系統的代數穩定判據胡爾維茨穩定判據：特征方程式的全部根都在左半復平面的充分必要條件是上述行列式D的各階主子式均大于0，即

與勞斯表中第1列的系數比較，存在如下關系：

若均為正，則D1，D2，…，Dn自然也都為正，反之亦然?？梢妱谒狗€定判據和胡爾維茨穩定判據實質是一致的。當n較大時，胡爾維茨判據計算量急劇增加，所以它通常只用于的系統。

4.5自動控制系統的代數穩定判據4.謝緒愷判據系統的特征方程式：上式根全部具有負實部的必要條件為其根全部具有負實部的充分條件為1976年中國學者聶義勇進一步證明，可將此充分條件放寬為此判據被稱為謝緒愷判據。謝緒愷判據完全避免了除法，且節省了計算量。

4.5自動控制系統的代數穩定判據5.參數對穩定性的影響例3-8系統的閉環傳遞函數為

式中，Kk為系統的開環放大系數。解：系統特征方程為

4.5自動控制系統的代數穩定判據解：列勞斯表若要系統穩定，應有4.5自動控制系統的代數穩定判據由此可見，將各時間常數的數值錯開，可以允許較大的開環放大系數。當時，若要系統穩定，則當時，若要系統穩定，則4.5自動控制系統的代數穩定判據6.相對穩定性和穩定裕量

應用代數判據只能給出系統是穩定還是不穩定，即只解決了絕對穩定性的問題。在處理實際問題時，只判斷系統是否穩定是不夠的。因為，對于實際的系統，所得到參數值往往是近似的，并且有的參數隨著條件的變化而變化，這樣就給得到的結論帶來了誤差。為了考慮這些因素，往往希望知道系統距離穩定邊界有多少余量，這就是相對穩定性或穩定裕量的問題。4.5自動控制系統的代數穩定判據方法：

利用代數判據，以代入系統特征方程式，寫出z

的多項式，然后用代數判據判定z

的多項式的根是否都在新的虛軸的左側。4.5自動控制系統的代數穩定判據例3-9系統特征方程式為列勞斯表第一列中各項符號沒有改變，所以沒有根在S平面的右側，系統是穩定的。4.5自動控制系統的代數穩定判據檢查上述系統是否有裕量。將代入原特征方程式，得新的特征方程為第一列無變號，說明系統至少有

的穩定裕量。

列出勞斯表4.6穩

態

誤

差

穩態誤差

在穩態條件下，輸出量的期望值與穩態值之間的差值。擾動穩態誤差由外擾而引起的，常用這一誤差來衡量恒值系統的穩態品質。因為對于恒值系統，給定量是不變的。給定穩態誤差衡量隨動系統穩態品質的指標。因為對于隨動系統，給定量是變化的，要求輸出量以一定的精度跟隨給定量的變化。

4.6穩

態

誤

差

1.

擾動穩態誤差

擾動誤差的拉氏變換：

擾動誤差的傳遞函數：

4.6穩

態

誤

差

根據拉氏變換的終值定理，擾動作用下的穩態誤差為4.6穩

態

誤

差

例3-10速度負反饋系統

4.6穩

態

誤

差

在負載電流作用下轉速誤差的拉氏變換為

式中：——系統開環放大系數。

當負載為階躍函數時，。則轉速的穩態誤差為

由于這一系統在負載擾動下存在穩態誤差，所以稱為有差系統。

4.6穩

態

誤

差

則速度誤差的拉氏變換為式中若將上述調速系統中的比例調節器換成積分調節器4.6穩

態

誤

差

該系統為無差系統。在開環傳遞函數中，串聯積分環節，可以消除階躍擾動的穩定誤差。

當負載電流作階躍變化時，有4.6穩

態

誤

差

2.給定穩定誤差和誤差系數

誤差定義為

這個誤差是可以量測的，但是這個誤差并不一定反映輸出量的實際值與期望值之間的偏差。另一種定義誤差的方法是取系統輸出量的實際值與期望值的差，但這一誤差在實際系統中有時無法測量。

對于左圖所示單位反饋系統，上述兩種誤差定義是相同的。

4.6穩

態

誤

差

給定誤差的傳遞函數為

根據拉氏變換的終值定理，給定作用下的穩態誤差為4.6穩

態

誤

差

開環傳遞函數可以表示為式中：

N——開環傳遞函數中串聯的積分環節的階次4.6穩

態

誤

差

N=0，0型系統；N=1，Ⅰ型系統；N=2，Ⅱ型系統。N越高，系統的穩態精度越高，但系統的穩定性愈差。一般采用的是0型、Ⅰ型和Ⅱ型系統。

4.6穩

態

誤

差

（1）典型輸入情況下系統的給定穩態誤差分析0型系統：令，稱為位置穩態誤差系數Ⅰ型系統：Ⅱ型系統：①

單位階躍函數輸入4.6穩

態

誤

差

0型系統：令，稱為速度穩態誤差系數②單位斜坡函數輸入Ⅰ型系統：Ⅱ型系統：4.6穩

態

誤

差

0型系統：令，稱為加速度穩態誤差系數③單位拋物線函數輸入Ⅰ型系統：Ⅱ型系統：4.6穩

態

誤

差

④誤差系數與穩態誤差之間的關系1t系統0型00型00型004.6穩

態

誤

差

（2）動態誤差系數既可求出穩態值，又可以了解到進入穩態后，誤差隨時間變化的規律。

誤差傳遞函數為如果將分子和分母中的冪次相同的各項合并，則可寫成

4.6穩

態

誤

差

用分母多項式除分子多項式，可把上式寫為如下的s的升冪級數由此可得誤差的拉氏變換為

式中k0——動態位置誤差系數；k1——動態速度誤差系數；k2——動態加速度誤差系數。

4.6穩

態

誤

差

穩態誤差值進入穩態時的系統誤差為4.6穩

態

誤

差

例3-11有一單位反饋系統，其開環傳遞函數為試計算輸入量為和時系統的穩態誤差及其時間函數。解該系統為0型系統，系統的誤差傳遞函數為

展開成s的升冪級數，得

4.6穩

態

誤

差

故動態誤差系數為當給定量為階躍函數時穩態誤差為

穩態誤差的時間函數為

4.6穩

態

誤

差

因為，（不計時間等于零時的脈沖值），故得當給定量為單位斜坡函數時穩態誤差值為穩態誤差的時間函數為4.6穩

態

誤

差

例3-12一單位反饋系統的開環傳遞函數為試求輸入量為時，系統的穩態誤差時間函數和穩態誤差。解系統給定誤差的傳遞函數為

用分子多項式除以分母多項式，可得s的升冪級數

4.6穩

態

誤

差

故知。誤差的拉氏變換為已知給定輸入量為則4.6穩

態

誤

差

穩態誤差的時間函數為

系統穩態誤差為

4.6穩

態

誤

差

（3）減小穩態誤差的方法①增大系統的開環放大系數值不能任意增大，否則系統不穩定。②提高開環傳遞函數中的串聯積分環節的階次NN值一般不超過2。③采用補償的方法指作用于控制對象的控制信號中，除了偏差信號外，還引入與擾動或給定量有關的補償信號，以提高系統的控制精度，減小誤差。這種控制稱為復合控制或前饋控制。4.6穩

態

誤

差

復合控制系統結構圖一閉環傳遞函數為

4.6穩

態

誤

差

給定誤差的拉氏變換為

如果選補償校正裝置的傳遞函數為

系統補償后的誤差

閉環傳遞函數為

即

這種將誤差完全補償的作用稱為完全補償。式稱為按給定作用的不變性條件。

4.6穩

態