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文檔簡介

2023年高考數學模擬試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.執行如圖所示的程序框圖若輸入,則輸出的的值為()A. B. C. D.2.設復數滿足,則()A.1 B.-1 C. D.3.《易·系辭上》有“河出圖,洛出書”之說,河圖、洛書是中華文化,陰陽術數之源,其中河圖的排列結構是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中,如圖,白圈為陽數,黑點為陰數,若從陰數和陽數中各取一數,則其差的絕對值為5的概率為A. B. C. D.4.△ABC的內角A,B,C的對邊分別為,已知,則為()A. B. C.或 D.或5.歷史上有不少數學家都對圓周率作過研究,第一個用科學方法尋求圓周率數值的人是阿基米德,他用圓內接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界,開創了圓周率計算的幾何方法,而中國數學家劉徽只用圓內接正多邊形就求得的近似值,他的方法被后人稱為割圓術.近代無窮乘積式、無窮連分數、無窮級數等各種值的表達式紛紛出現,使得值的計算精度也迅速增加.華理斯在1655年求出一個公式:,根據該公式繪制出了估計圓周率的近似值的程序框圖,如下圖所示,執行該程序框圖,已知輸出的,若判斷框內填入的條件為,則正整數的最小值是A. B. C. D.6.已知橢圓:的左,右焦點分別為,,過的直線交橢圓于,兩點,若,且的三邊長,,成等差數列,則的離心率為()A. B. C. D.7.已知復數滿足(其中為的共軛復數),則的值為()A.1 B.2 C. D.8.已知雙曲線的一條漸近線經過圓的圓心,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.29.若直線與曲線相切,則()A.3 B. C.2 D.10.為比較甲、乙兩名高中學生的數學素養,對課程標準中規定的數學六大素養進行指標測驗(指標值滿分為100分,分值高者為優),根據測驗情況繪制了如圖所示的六大素養指標雷達圖,則下面敘述不正確的是()A.甲的數據分析素養優于乙 B.乙的數據分析素養優于數學建模素養C.甲的六大素養整體水平優于乙 D.甲的六大素養中數學運算最強11.方程的實數根叫作函數的“新駐點”,如果函數的“新駐點”為,那么滿足()A. B. C. D.12.執行下面的程序框圖,如果輸入,,則計算機輸出的數是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.雙曲線的左右頂點為,以為直徑作圓,為雙曲線右支上不同于頂點的任一點,連接交圓于點,設直線的斜率分別為,若,則_____.14.已知雙曲線的左、右焦點和點為某個等腰三角形的三個頂點,則雙曲線C的離心率為________.15.戊戌年結束,己亥年伊始,小康,小梁,小譚,小楊,小劉,小林六人分成四組,其中兩個組各2人,另兩個組各1人,分別奔赴四所不同的學校參加演講,則不同的分配方案有_________種(用數字作答),16.的二項展開式中,含項的系數為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設數列的前列項和為,已知.(1)求數列的通項公式;(2)求證:.18.(12分)如圖,已知橢圓經過點,且離心率,過右焦點且不與坐標軸垂直的直線與橢圓相交于兩點.(1)求橢圓的標準方程;(2)設橢圓的右頂點為,線段的中點為,記直線的斜率分別為,求證:為定值.19.(12分)某職稱晉級評定機構對參加某次專業技術考試的100人的成績進行了統計,繪制了頻率分布直方圖(如圖所示),規定80分及以上者晉級成功,否則晉級失敗.晉級成功晉級失敗合計男16女50合計(1)求圖中的值;(2)根據已知條件完成下面列聯表,并判斷能否有的把握認為“晉級成功”與性別有關?(3)將頻率視為概率,從本次考試的所有人員中,隨機抽取4人進行約談,記這4人中晉級失敗的人數為,求的分布列與數學期望.(參考公式:,其中)0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.02420.(12分)在直角坐標系中,曲線的參數方程為(為參數).以為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為(),將曲線向左平移2個單位長度得到曲線.(1)求曲線的普通方程和極坐標方程;(2)設直線與曲線交于兩點,求的取值范圍.21.(12分)如圖是圓的直徑,垂直于圓所在的平面,為圓周上不同于的任意一點(1)求證:平面平面;(2)設為的中點,為上的動點(不與重合)求二面角的正切值的最小值22.(10分)如圖在直角中,為直角,,,分別為,的中點,將沿折起,使點到達點的位置,連接,,為的中點.(Ⅰ)證明:面;(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由程序語言依次計算,直到時輸出即可【詳解】程序的運行過程為當n=2時,時,,此時輸出.故選:C【點睛】本題考查由程序框圖計算輸出結果,屬于基礎題2、B【解析】

利用復數的四則運算即可求解.【詳解】由.故選:B【點睛】本題考查了復數的四則運算,需掌握復數的運算法則,屬于基礎題.3、A【解析】

陽數:,陰數:,然后分析陰數和陽數差的絕對值為5的情況數,最后計算相應概率.【詳解】因為陽數:,陰數:,所以從陰數和陽數中各取一數差的絕對值有:個,滿足差的絕對值為5的有:共個,則.故選:A.【點睛】本題考查實際背景下古典概型的計算,難度一般.古典概型的概率計算公式:.4、D【解析】

由正弦定理可求得,再由角A的范圍可求得角A.【詳解】由正弦定理可知,所以,解得,又,且,所以或。故選:D.【點睛】本題主要考查正弦定理,注意角的范圍,是否有兩解的情況,屬于基礎題.5、B【解析】

初始:,,第一次循環:,,繼續循環;第二次循環:,,此時,滿足條件,結束循環,所以判斷框內填入的條件可以是,所以正整數的最小值是3,故選B.6、C【解析】

根據等差數列的性質設出,,,利用勾股定理列方程,結合橢圓的定義,求得.再利用勾股定理建立的關系式,化簡后求得離心率.【詳解】由已知,,成等差數列,設,,.由于,據勾股定理有,即,化簡得;由橢圓定義知的周長為,有,所以,所以;在直角中,由勾股定理,,∴離心率.故選:C【點睛】本小題主要考查橢圓離心率的求法,考查橢圓的定義,考查等差數列的性質,屬于中檔題.7、D【解析】

按照復數的運算法則先求出,再寫出,進而求出.【詳解】,,.故選:D【點睛】本題考查復數的四則運算、共軛復數及復數的模,考查基本運算能力,屬于基礎題.8、B【解析】

求出圓心,代入漸近線方程,找到的關系,即可求解.【詳解】解:,一條漸近線,故選:B【點睛】利用的關系求雙曲線的離心率,是基礎題.9、A【解析】

設切點為,對求導,得到,從而得到切線的斜率,結合直線方程的點斜式化簡得切線方程,聯立方程組,求得結果.【詳解】設切點為,∵,∴由①得,代入②得,則,,故選A.【點睛】該題考查的是有關直線與曲線相切求參數的問題,涉及到的知識點有導數的幾何意義,直線方程的點斜式,屬于簡單題目.10、D【解析】

根據所給的雷達圖逐個選項分析即可.【詳解】對于A,甲的數據分析素養為100分,乙的數據分析素養為80分,故甲的數據分析素養優于乙,故A正確;對于B,乙的數據分析素養為80分,數學建模素養為60分,故乙的數據分析素養優于數學建模素養,故B正確;對于C,甲的六大素養整體水平平均得分為,乙的六大素養整體水平均得分為,故C正確;對于D,甲的六大素養中數學運算為80分,不是最強的,故D錯誤;故選:D【點睛】本題考查了樣本數據的特征、平均數的計算,考查了學生的數據處理能力,屬于基礎題.11、D【解析】

由題設中所給的定義,方程的實數根叫做函數的“新駐點”,根據零點存在定理即可求出的大致范圍【詳解】解:由題意方程的實數根叫做函數的“新駐點”,對于函數,由于,,設,該函數在為增函數,,,在上有零點,故函數的“新駐點”為,那么故選:.【點睛】本題是一個新定義的題,理解定義,分別建立方程解出存在范圍是解題的關鍵,本題考查了推理判斷的能力,屬于基礎題..12、B【解析】

先明確該程序框圖的功能是計算兩個數的最大公約數,再利用輾轉相除法計算即可.【詳解】本程序框圖的功能是計算,中的最大公約數,所以,,,故當輸入,,則計算機輸出的數是57.故選:B.【點睛】本題考查程序框圖的功能,做此類題一定要注意明確程序框圖的功能是什么,本題是一道基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據雙曲線上的點的坐標關系得,交圓于點,所以,建立等式,兩式作商即可得解.【詳解】設,交圓于點,所以易知:即.故答案為:【點睛】此題考查根據雙曲線上的點的坐標關系求解斜率關系,涉及雙曲線中的部分定值結論,若能熟記常見二級結論,此題可以簡化計算.14、【解析】

由等腰三角形及雙曲線的對稱性可知或,進而利用兩點間距離公式求解即可.【詳解】由題設雙曲線的左、右焦點分別為,,因為左、右焦點和點為某個等腰三角形的三個頂點,當時,,由可得,等式兩邊同除可得,解得(舍);當時,,由可得,等式兩邊同除可得,解得,故答案為:【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,考查雙曲線的幾何性質的應用,考查分類討論思想.15、1080【解析】

按照先分組,再分配的分式,先將六人分成四組,其中兩個組各2人,另兩個組各1人有種,再分別奔赴四所不同的學校參加演講有種,然后用分步計數原理求解.【詳解】將六人分成四組,其中兩個組各2人,另兩個組各1人有種,再分別奔赴四所不同的學校參加演講有種,則不同的分配方案有種.故答案為:1080【點睛】本題主要考查分組分配問題,還考查了理解辨析的能力,屬于中檔題.16、【解析】

寫出二項展開式的通項,然后取的指數為求得的值,則項的系數可求得.【詳解】,由,可得.含項的系數為.故答案為:【點睛】本題考查了二項式定理展開式、需熟記二項式展開式的通項公式,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)證明見解析【解析】

(1)由已知可得,構造等比數列即可求出通項公式;(2)當時,由,可求,時,由,可證,驗證時,不等式也成立,即可得證.【詳解】(1)由可得,,即,所以,解得,(2)當時,,,當時,,綜上,由可得遞增,,時;所以,綜上:故.【點睛】本題主要考查了遞推數列求通項公式,利用放縮法證明不等式,涉及等比數列的求和公式,屬于難題.18、(1);(2)詳見解析.【解析】

(1)由橢圓離心率、系數關系和已知點坐標構建方程組,求得,代入標準方程中即可;(2)依題意,直線的斜率存在,且不為0,設其為,則直線的方程為,設,,通過聯立直線方程與橢圓方程化簡整理和中點的坐標表示用含k的表達式表示,,進而表示;由韋達定理表示根與系數的關系進而表示用含k的表達式表示,最后做比即得證.【詳解】(1)設橢圓的焦距為,則,即,所以.依題意,,即,解得,所以,.所以橢圓的標準方程為.(2)證明:依題意,直線的斜率存在,且不為0,設其為,則直線的方程為,設,.與橢圓聯立整理得,故所以,,所以.又,所以為定值,得證.【點睛】本題考查由離心率求橢圓的標準方程,還考查了橢圓中的定值問題,屬于較難題.19、(1);(2)列聯表見解析,有超過的把握認為“晉級成功”與性別有關;(3)分布列見解析,=3【解析】

(1)由頻率和為1,列出方程求的值;(2)由頻率分布直方圖求出晉級成功的頻率,計算晉級成功的人數,填寫列聯表,計算觀測值,對照臨界值得出結論;(3)由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率,將頻率視為概率,知隨機變量服從二項分布,計算對應的概率值,寫出分布列,計算數學期望.【詳解】解:(1)由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1,可知,解得;(2)由頻率分布直方圖知,晉級成功的頻率為,所以晉級成功的人數為(人),填表如下:晉級成功晉級失敗合計男163450女94150合計2575100假設“晉級成功”與性別無關,根據上表數據代入公式可得,所以有超過的把握認為“晉級成功”與性別有關;(3)由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率為,將頻率視為概率,則從本次考試的所有人員中,隨機抽取1人進行約談,這人晉級失敗的概率為0.75,所以可視為服從二項分布,即,,故,,,,.所以的分布列為:01234數學期望為.或().【點睛】本題考查了頻率分布直方圖和離散型隨機變量的分布列、數學期望的應用問題,屬于中檔題.若離散型隨機變量,則.20、(1)的極坐標方程為,普通方程為;(2)【解析】

(1)根據三角函數恒等變換可得,,可得曲線的普通方程,再運用圖像的平移得依題意得曲線的普通方程為,利用極坐標與平面直角坐標互化的公式可得方程;(2)法一:將代入曲線的極坐標方程得,運用韋達定理可得,根據,可求得的范圍;法二:設直線的參數方程為(為參數,為直線的傾斜角),代入曲線的普通方程得,運用韋達定理可得,根據,可求得的范圍;【詳解】(1),,即曲線的普通方程為,依題意得曲線的普通方程為,令,得曲線的極坐標方程為;(2)法一:將代入曲線的極坐標方程得,則,,,異號,,,;法二:設直線的參數方程為(為參數,為直線的傾斜角),代入曲線的普通方程得,則,,,異號,,.【點睛】本題考查參數方程與普通方程,極坐標方程與平面直角坐標方程之間的轉化,求解幾何量的取值范圍,關鍵在于明確極坐標系中極徑和極角的

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