第2章單因子試驗的設計與分析2.1單因子試驗2.2單因子方差分析2.3多重比較2.4效應模型2.5正態性檢驗2.6方差齊性檢驗2.1單因子試驗指標：葉酸含量，因子：綠茶，水平：產地平衡設計與不平衡設計例2.1.1

茶是世界上最為廣泛的一種飲料，任一種茶葉都含有葉酸(folacin),它是一種維他命B.如今已有測定茶葉中葉酸含量的方法.研究各產地綠茶的葉酸含量是否有顯著差異.

重復數相等的設計稱平衡設計，重復數不等的設稱不平衡設計完全隨機設計全部試驗的試驗次序隨機安排2.1單因子試驗例2.1.1的試驗安排隨機化

將1~24隨機排列，根據隨機次序安排試驗2.1單因子試驗數據的打點圖(dotplot)從均值看：A1,A2葉酸含量較高從極差看：A4較小2.1單因子試驗單因子試驗的數據結構在一個試驗中只考察一個因子A及其r個水平A1，A2，…，Ar．在水平Ai下重復mi次試驗，總試驗次數n=m1+m2+…+mr．記yij是第i個水平下的第j次重復試驗的結果，經過隨機化后，所得的n個試驗結果列于下表表2.2.1單因子試驗的數據2.1單因子試驗單因子試驗的基本假定正態性：yij是來自正態總體的樣本方差齊性：r個正態總體的方差相等隨機性：所有數據yij是都相互獨立相同試驗環境隨機化2.1單因子試驗單因子試驗的研究對象

r個水平的均值是否相等?若各均值不全等相等,哪些均值間的差異是重要的？單因子試驗模型第i水平下第j次試驗結果第i水平均值，是待估計參數第i水平下第j次試驗誤差相互獨立2.1單因子試驗各水平均值的估計采用使Q達最小的最小二乘估計2.2單因子方差分析檢驗假設不全相等偏差平方和及其自由度偏差平方和自由度f平方和中獨立偏差的個數2.2單因子方差分析定理2.2.1

若y1,y2,…,yk是來自正態總體N(μ,

σ2)的一個樣本，則有

偏差平方和的性質2、每個數據加上同一個常數c,偏差平方和不變3、每個數據乘以同一個常數c,偏差平方和變為原來的c2倍2.2單因子方差分析總平方和的分解公式組內平方和(誤差平方和)組間平方和(因子平方和)2.2單因子方差分析各平方和的計算使用T與Ti計算各平方和不會出現舍入誤差，可以提高計算精度2.2單因子方差分析各平方和的期望定理2.2.2

在單因子方差分析的三個基本假定下有均方和MSe是σ2的無偏估計MSA是σ2的有偏估計,偏差大小取決于各水平均值間的差異2.2單因子方差分析方差分析表拒絕域為：來源

平方和

自由度

均方和

F比

因子

A

?=-=riiiAyymS12)(

1-=rfA

1-=rSMSAA

eAMSMSF=

誤差

e

??==-=rimjiijeiyyS112)(

rnfe-=

rnSMSee-=

——

和

T

??==-=rimjijTiyyS112)(

1-=nfT

——

——

2.2單因子方差分析諸水平均值的估計點估計區間估計2.2單因子方差分析例2.2.1

例2.1.2中茶葉葉酸含量在各水平下的是否有顯著差異例2.2.2

計算5個數98，100，101，103，108的偏差平方和例2.2.3

比較四種不同牌號的鐵銹防護劑的防銹能力.2.3多重比較多重比較問題同時比較任意兩個水平均值之間有無顯著差異的問題稱為多重比較問題同時同時檢驗如下假設：個)重復數相等情況的T法(Turkey,1953)

考慮r個水平,各水平的重復數均為m拒絕域的形式為：2.3多重比較重復數相等情況的T法(Turkey,1953)

檢驗統計量：t化極差統計量,可查表獲得分位數2.3多重比較重復數相等情況的T法(Turkey,1953)

顯著水平為α的臨界值：拒絕域：例2.3.1

在顯著水平0.05下對例2.2.5做多重比較2.3多重比較重復數不等情況的S法(Scheffe,1953)

成立時，有檢驗統計量：2.3多重比較重復數不等情況的S法(Scheffe,1953)

拒絕域若則拒絕2.4效應模型效應模型及其分類

效應模型固定效應模型隨機效應模型r個水平是特定的r個水平是從諸多水平中隨機挑選出來的2.4效應模型固定效應模型數據結構固定效應模型方差分析檢驗假設不全為0與單因子方差分析等價2.4效應模型固定效應模型參數估計估計總均值μ與諸效應ai,采用最小二乘估計,使在ai的約束條件下達最小，可得2、ai的區間估計為：2.4效應模型固定效應模型參數估計3、μi-μj的區間估計為：例2.4.1

對綠茶葉酸含量問題，求各水平效應的點估計與區間估計2.4效應模型隨機效應模型數據結構隨機效應模型方差分析檢驗假設εij與ai相互獨立與單因子方差分析與固定效應模型一致方差分量模型2.4效應模型隨機效應模型方差分量的估計定理2.4.1

在隨機效應模型下,誤差平方和Se和因子A的平方和SA的數學期望分別為在等重復情況下有：σ2和σa2的無偏估計為重復數不等時重復數相等(可能小于0)2.4效應模型例2.4.2

綠茶的種類(產地)很多，將例2.1.1中所選的四種綠茶看作從諸多種類綠茶中隨機抽取，對其作方差分析,給出方差分量的估計.例2.4.3

紡織廠有很多紡機用來紡織纖維，希望各紡機的纖維強度波動小，一致性好。工程師推測，同一臺機器紡出的纖維強度間有差異，各臺紡機之間紡出纖維強度亦有差異，隨機選取四臺紡機，在每臺紡機生產的纖維中測定四個強度。這一試驗以隨機順序進行，所得數據如表。對該問題作方差分析。2.5正態性檢驗正態性的圖檢驗法正態概率紙一種的特殊的坐標紙，橫坐標等間隔，用來表示觀察值的大小，其縱坐標按標準正態分布函數

Φ(x)=P(X≤x)標示，表示觀察值不超過x的個數在全部觀察值中所占比例2.5正態性檢驗正態性的圖檢驗法在正態概率紙上任一正態分布函數呈上升直線狀任一右偏態分布函數呈上凸曲線狀任一左偏態分布函數呈下凸曲線狀任意兩個方差相等的正態分布函數呈平行直線狀2.5正態性檢驗正態性的圖檢驗法用正態概率紙檢驗正態性1.將樣本數據進行排序,,一般要求m≥82.在點y(j)處的累積概率用修正概率或

去估計，對j=1,2,…,m計算這些估計值3.將m個點逐一點在正態概率紙上4.用目測法去判斷：若m個點近似在一直線附近,則認為該樣本來自某正態總體若m個點明顯不在一直線附近,則認為該樣本來自非正態總體2.5正態性檢驗正態性的圖檢驗法殘差概率圖當各水平下重復數少于8時，經常會出現明顯波動，此時對重復數相等的情況，可用殘差把小樣本合并成為一個較大樣本，再診斷數據是否服從正態分布.三個基本假定下，有即：重復數相等時，諸殘差來自同一正態分布，對諸殘差按照前面所述方法使用正態概率紙即可。2.5正態性檢驗例2.5.2

合成纖維(對成品布)的抗拉強度進行試驗，工程師的經驗表明：某種合成纖維的抗拉強度與棉花在纖維中所占百分比有關?？紤]到成品布的其他質量特性，棉花含量在10%~40%之間為宜。對棉花含量這個因子工程師選定五個水平：

A1:15%A2:20%A3:25%A4:30%A5:35%并決定對每個水平各重復進行5次試驗，共做25次試驗。經過對試驗次序隨機化共獲得25個試驗結果如表，對數據作正態性檢驗并作方差分析.例2.5.3

在某種鐵銹防護劑的防銹能力的試驗中獲得容量為10的一個樣本，在顯著水平0.05下檢驗它是否來自正態分布。2.5正態性檢驗W檢驗設從總體X中隨機抽取容量為n的樣本x1,x2,…,xn,檢驗假設

H0:X服從正態分布在8≤n≤50時,Wilk與Shapiro提出如下W統計量：ai是特定系數（有表可查）,滿足：2.5正態性檢驗W檢驗

W可看作數對(ai,x(i))的相關系數的平方，H0為真時，W的值接近于1，拒絕域為：(Wα可查表獲得)數據的變換已知觀察值的分布

觀察值是計數數據，不少可認為是泊松分布，可用平方根變換

觀察值是分數表達的比例，其分子部分可能服從二項分布，可用反正弦變換

觀察值服從對數正態分布，可用對數變換2.5正態性檢驗未知觀察值的分布需要憑經驗尋找合適變換，常用變換有例2.5.4

從一批電子元件中隨機抽取10只進行壽命試驗，獲得10個壽命時間(單位：小時)。判斷該數據是否來自正態總體，若不是，選擇合適數據變換使之近似服從正態分布。2.5正態性檢驗Box-Cox變換這個變換能改變分布形狀,使之成為正態分布,至少是對稱分布;當y≥0時，這類變換能保持數據的大小次序;對變換結果可以有個很好的解釋;這個變換是λ的連續函數，對其選取帶來方便;當ymax/ymin>2時，使用該變換常有效，而ymax/ymin≤2時，使用該變換無效;2.5正態性檢驗Box-Cox變換λ的選取λ的極大似然估計是使達最小的估計可畫Q(λ)曲線讀出使其最小的值選出10~20個λ的值，分別計算Q(λ)值，選擇使其最小的λ2.6方差齊性檢驗方差齊性的假設H1:諸不全相等常用檢驗方法Bartlett檢驗，適用于樣本量不等或相等場合，但每個樣本量不得低于5修正的Bartlett檢驗，在樣本量較小或較大、相等或不等場合均可使用Hartley檢驗，僅適用于樣本量相等場合SPSS中使用的levene檢驗對非正態性數據適用，計算量大一般需要用統計軟件計算。2.6方差齊性檢驗Bartlett檢驗考慮各樣本方差，由幾何平均數不超過算術平均數有拒絕域的形式為

Bartlett證明了