原式是否可按下述方法作:例.證明函數在x=0不可導.證:不存在,例.

設存在,求極限解:

原式機動目錄上頁下頁返回結束解:

因為1.設存在,且求所以機動目錄上頁下頁返回結束2012真題設函數A

BCD練習函數的可導性與連續性的關系定理1.證:設在點x

處可導,存在,因此必有其中故所以函數在點x

連續.注意:

函數在點x連續未必可導.反例:在

x=0處連續,

但不可導.即機動目錄上頁下頁返回結束在處連續,且存在，證明:在處可導.證：因為存在，則有又在處連續,所以即在處可導.設故機動目錄上頁下頁返回結束,問a

取何值時,在都存在,并求出解:故時此時在都存在,顯然該函數在x=0連續.機動目錄上頁下頁返回結束一、四則運算求導法則

定理1.的和、差、積、商(除分母為0的點外)都在點x

可導,且機動目錄上頁下頁返回結束二、初等函數的求導問題1.常數和基本初等函數的導數機動目錄上頁下頁返回結束三、反函數的求導法則

定理.y的某鄰域內單調可導,證:在

x

處給增量由反函數的單調性知且由反函數的連續性知因此機動目錄上頁下頁返回結束在點x

可導,四、復合函數求導法則定理.在點可導復合函數且在點x

可導,證:在點

u可導,故（當時)故有機動目錄上頁下頁返回結束例如,關鍵:

搞清復合函數結構,由外向內逐層求導.推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形.機動目錄上頁下頁返回結束例1.解:機動目錄上頁下頁返回結束例2.

求反三角函數及指數函數的導數.解:1)設則類似可求得利用,則機動目錄上頁下頁返回結束2)設則特別當時,小結:機動目錄上頁下頁返回結束例3.

求下列導數:解:(1)(2)(3)說明:

類似可得機動目錄上頁下頁返回結束例4.設求解:思考:

若存在,如何求的導數?這兩個記號含義不同練習:

設機動目錄上頁下頁返回結束例5.設解:記則(反雙曲正弦)的反函數機動目錄上頁下頁返回結束例6.求解:例8.設解:求機動目錄上頁下頁返回結束例8.求解:關鍵:

搞清復合函數結構由外向內逐層求導機動目錄上頁下頁返回結束例9.設求解:機動目錄上頁下頁返回結束五、隱函數的導數若由方程可確定y是

x

的函數,由表示的函數,稱為顯函數.例如,可確定顯函數可確定y是x

的函數,但此隱函數不能顯化.函數為隱函數

.則稱此隱函數求導方法:

兩邊對

x

求導(含導數的方程)機動目錄上頁下頁返回結束例1.

求由方程在x=0

處的導數解:

方程兩邊對

x

求導得因x=0時y=0,故確定的隱函數機動目錄上頁下頁返回結束例2.求的導數.解:兩邊取對數,化為隱式兩邊對x

求導機動目錄上頁下頁返回結束

1)對冪指函數可用對數求導法求導:說明:按指數函數求導公式按冪函數求導公式注意:機動目錄上頁下頁返回結束2)有些顯函數用對數求導法求導很方便.例如,兩邊取對數兩邊對

x求導機動目錄上頁下頁返回結束又如,

對x

求導兩邊取對數機動目錄上頁下頁返回結束六、由參數方程確定的函數的導數若參數方程可確定一個

y

與

x之間的函數可導,且則時,有時,有(此時看成x

是

y的函數)關系,機動目錄上頁下頁返回結束例.

設由方程確定函數求解:

方程組兩邊對t

求導,得故機動目錄上頁下頁返回結束高階導數的運算法則都有n

階導數,則(C為常數)萊布尼茲(Leibniz)公式及設函數推導目錄上頁下頁返回結束例.求解:

設則代入萊布尼茲公式,得機動目錄上頁下頁返回結束設求解:依次類推,例1.思考:

設問可得機動目錄上頁下頁返回結束例2.

設求解:特別有:解:規定0!=1思考:例3.設求機動目錄上頁下頁返回結束例4.

設求解:一般地,類似可證:機動目錄上頁下頁返回結束例5.

設求使存在的最高分析:但是不存在.2又階數機動目錄上頁下頁返回結束內容小結(1)逐階求導法(2)利用歸納法(3)間接法——利用已知的高階導數公式(4)利用萊布尼茲公式高階導數的求法如,機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習1.

如何求下列函數的

n

階導數?解:解:機動目錄上頁下頁返回結束(3)提示:

令原式原式機動目錄上頁下頁返回結束解:機動目錄上頁下頁返回結束微分運算法則設u(x),v(x)均可微,則(C

為常數)分別可微,的微分為微分形式不變5.復合函數的微分則復合函數機動目錄上頁下頁返回結束例1.求解:機動目錄上頁下頁返回結束方程兩邊求微分,得已知求解：2.習題課目錄上頁下頁返回結束3.已知求解：因為所以機動目錄上頁下頁返回結束應用切線，法線；單調性；凸凹性，拐點；極值，最值；漸近線；曲率一、函數單調性的判定法若定理1.

設函數則在I

內單調遞增(遞減).證:

無妨設任取由拉格朗日中值定理得故這說明在I

內單調遞增.在開區間I

內可導,機動目錄上頁下頁返回結束證畢例1.問曲線哪一點有垂直切線?哪一點處的切線與直線平行?寫出其切線方程.解:令得對應則在點(1,1),(–1,–1)處與直線平行的切線方程分別為即故在原點(0,0)有垂直切線機動目錄上頁下頁返回結束例1.

確定函數的單調區間.解:令得故的單調增區間為的單調減區間為機動目錄上頁下頁返回結束定義.

設函數在區間I上連續,(1)若恒有則稱圖形是凹的;(2)若恒有則稱連續曲線上有切線的凹凸分界點稱為拐點

.圖形是凸的.二、曲線的凹凸與拐點機動目錄上頁下頁返回結束例2.求曲線的拐點.解:不存在因此點(0,0)

為曲線的拐點.凹凸機動目錄上頁下頁返回結束例3.求曲線的凹凸區間及拐點.解:1)求2)求拐點可疑點坐標令得對應3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(0,1)

及均為拐點.凹凹凸機動目錄上頁下頁返回結束三、函數的極值及其求法定義:在其中當時,(1)則稱為的極大點

,稱為函數的極大值

;(2)則稱為的極小點

,稱為函數的極小值

.極大點與極小點統稱為極值點

.機動目錄上頁下頁返回結束注意:為極大點為極小點不是極值點2)對常見函數,極值可能出現在導數為

0

或

不存在的點.1)函數的極值是函數的局部性質.例如為極大點,是極大值是極小值為極小點,機動目錄上頁下頁返回結束定理1

(極值第一判別法)且在空心鄰域內有導數,(1)“左正右負”,(2)“左負右正”,(自證)機動目錄上頁下頁返回結束點擊圖中任意處動畫播放\暫停例1.求函數的極值.解:1)求導數2)求極值可疑點令得令得3)列表判別是極大點，其極大值為是極小點，其極小值為機動目錄上頁下頁返回結束定理2(極值第二判別法)二階導數,且則在點取極大值;則在點取極小值.證:(1)存在由第一判別法知(2)類似可證.機動目錄上頁下頁返回結束例2.求函數的極值.解:

1)求導數2)求駐點令得駐點3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.機動目錄上頁下頁返回結束四、最大值與最小值問題則其最值只能在極值點或端點處達到.求函數最值的方法:(1)求在內的極值可疑點(2)

最大值最小值機動目錄上頁下頁返回結束特別:

當在內只有一個極值可疑點時,

當在上單調時,最值必在端點處達到.若在此點取極大值,則也是最大值.(小)

對應用問題,有時可根據實際意義判別求出的可疑點是否為最大值點或最小值點.(小)機動目錄上頁下頁返回結束例3.求函數在閉區間上的最大值和最小值.解:

顯然且故函數在取最小值0;在及取最大值5.機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習1.設則在點a

處().的導數存在,取得極大值;取得極小值;的導數不存在.B提示:

利用極限的保號性.機動目錄上頁下頁返回結束2.設在的某鄰域內連續,且則在點處(A)不可導;(B)可導,且(C)取得極大值;(D)取得極小值.D提示:

利用極限的保號性.機動目錄上頁下頁返回結束3.

設是方程的一個解,若且則在(A)取得極大值;(B)取得極小值;(C)在某鄰域內單調增加;(D)在某鄰域內單調減少.提示:A機動目錄上頁下頁返回結束試問為何值時,在時取得極值,還是極小.解:

由題意應有又取得極大值為備用題1.求出該極值,并指出它是極大機動目錄上頁下頁返回結束試求解:2.

機動目錄上頁下頁返回結束故所求最大值為1.水平與鉛直漸近線若則曲線有水平漸近線若則曲線有垂直漸近線例1.

求曲線的漸近線.解:為水平漸近線;為垂直漸近線.機動目錄上頁下頁返回結束2.斜漸近線斜漸近線若機動目錄上頁下頁返回結束例2.

求曲線的漸近線.解:所以有鉛直漸近線及又因為曲線的斜漸近線.機動目錄上頁下頁返回結束五、函數圖形的描繪步驟:1.確定函數的定義域,期性;2.求并求出及3.列表判別增減及凹凸區間,求出極值和拐點;4.求漸近線;5.確定某些特殊點,描繪函數圖形.為0和不存在的點;并考察其對稱性及周機動目錄上頁下頁返回結束例.描繪方程的圖形.解:1)定義域為2)求關鍵點機動目錄上頁下頁返回結束3)判別曲線形態(極大)(極小)4)求漸近線為鉛直漸近線無定義機動目錄上頁下頁返回結束又因即5)求特殊點為斜漸近線機動目錄上頁下頁返回結束6）繪圖(極大)(極小)斜漸近線鉛直漸近線特殊點機動目錄上頁下頁返回結束無定義思考與練習

1.曲線(A)沒有漸近線；(B)僅有水平漸近線；(C)僅有鉛直漸近線；(D)既有水平漸近線又有鉛直漸近線.提示:機動目錄上頁下頁返回結束公式①稱為的n

階泰勒公式

.公式②稱為n

階泰勒公式的拉格朗日余項

.泰勒中值定理:階的導數,時,有①其中②則當泰勒目錄上頁下頁返回結束公式③稱為n

階泰勒公式的佩亞諾(Peano)余項

.在不需要余項的精確表達式時,泰勒公式可寫為注意到③④*可以證明:④式成立機動目錄上頁下頁返回結束稱為麥克勞林（Maclaurin

）公式.則有在泰勒公式中若取則有誤差估計式若在公式成立的區間上麥克勞林目錄上頁下頁返回結束由此得近似公式二、幾個初等函數的麥克勞林公式其中機動目錄上頁下頁返回結束其中機動目錄上頁下頁返回結束類似可得其中機動目錄上頁下頁返回結束其中機動目錄上頁下頁返回結束已知其中類似可得機動目錄上頁下頁返回結束2.利用泰勒公式求極限例3.

求解:由于用洛必塔法則不方便

!用泰勒公式將分子展到項,機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習

計算解:原式第四節目錄上頁下頁返回結束3.利用泰勒公式證明不等式例4.

證明證:機動目錄上頁下頁返回結束由題設對證:備用題

1.有且機動目錄上頁下頁返回結束下式減上式,得令機動目錄上頁下頁返回結束羅爾（Rolle

）定理滿足:(1)在區間[a,b]上連續(2)在區間(a,b)內可導(3)

f(a)=f(b)使證:故在[a,b]上取得最大值

M

和最小值m.若M=

m,則因此在(a,b)內至少存在一點機動目錄上頁下頁返回結束若M>

m,則M和m

中至少有一個與端點值不等,不妨設則至少存在一點使注意:1)定理條件條件不全具備,結論不一定成立.例如,則由費馬引理得機動目錄上頁下頁返回結束使2)定理條件只是充分的.本定理可推廣為在(a,b)內可導,且在(a,b)內至少存在一點證明提示:

設證

F(x)在[a,b]上滿足羅爾定理.

機動目錄上頁下頁返回結束例1.

證明方程有且僅有一個小于1的正實根.證:1)存在性.則在[0,1]連續,且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假設另有為端點的區間滿足羅爾定理條件,至少存在一點但矛盾,故假設不真!設機動目錄上頁下頁返回結束二、拉格朗日中值定理(1)在區間[a,b]上連續滿足:(2)在區間(a,b)內可導至少存在一點使思路:利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數作輔助函數顯然,在[a,b]上連續,在(a,b)內可導,且證:問題轉化為證由羅爾定理知至少存在一點即定理結論成立.拉氏目錄上頁下頁返回結束證畢例2.

證明等式證:

設由推論可知

(常數)令x=0,得又故所證等式在定義域上成立.自證:經驗:欲證時只需證在

I

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