第七章平面彎曲桿件本章內容：第一節截面的幾何性質第二節平面彎曲桿件的內力第三節彎曲應力和強度第四節拉壓與彎曲組合變形桿件的應力和強度第一節截面的幾何性質一、截面的靜矩和形心位置dAxyOyxCxC

yC

靜矩(面積矩)：如果將微面積看作力,則ydA和xdA就相當于力矩,由合力矩定理知形心位置：靜矩也可表達為:Sx=A·yC,Sy=A·xC

靜矩也可表達為:Sx=A·yC,Sy=A·xC

⑴當坐標軸通過截面的形心時,則該軸稱為此截面的形心軸,此時,截面形心軸的靜矩為零；反之,若截面對某軸的靜矩為零,則該軸必為截面的形心軸。⑵有對稱軸的截面，對稱軸一定是截面的形心軸。⑶組合截面（由若干個簡單圖形組合而成的截面）對某軸的靜矩等于其所有組成部分對該軸靜矩的代數和:

Sx=∑Sxi=∑Ai·yCi，Sy=∑Syi=∑Ai·xCi組合截面形心位置：例7-1計算半徑為r的半圓形對其直徑軸x的靜矩及其形心坐標yC。解：平行于x軸取一窄長條作為微面積dA,其面積為dyyr則:形心坐標：yCC例7-2計算圖示截面的形心位置。解：由對稱性可知,xC=0(即形心一定在y軸上,只需求yC)。方法一：將此圖形看成是由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分組成。A1=A2=30×300=9000mm2

A3=30×250=7500mm2

yC1=yC2=150mmyC3=300mm+15mm=315mm例7-2計算圖示截面的形心位置。解：由對稱性可知,xC=0(即形心一定在y軸上,只需求yC)。

方法二：將此圖形看成是由一個250×330的矩形Ⅰ減去一個190×300的矩形Ⅱ組成。A1=250×330=82500mm2

A2=190×300=57000mm2

yC1=165mmyC2=150mm二、截面的慣性矩、慣性積和慣性半徑dAxyOyx慣性矩：慣性積：在有些問題中,為了應用的方便,將截面的慣性矩表示為截面面積A與慣性半徑平方的乘積,即：慣性半徑：例7-3計算圖示矩形截面對x軸和y軸的慣性矩和慣性積。因為x、y軸均為對稱軸，所以：Ixy=0慣性矩：慣性積：二、截面的慣性矩、慣性積和慣性半徑三、平行移軸公式和組合截面的慣性矩兩個坐標系內的坐標有以下關系：可得：同理,可得：組合截面對某坐標軸的慣性矩等于所有組成部分對該軸慣性矩之和,即:例7-4計算圖示截面對形心軸的慣性矩。解：⑴計算形心位置。⑵計算對形心軸的慣性矩。⑵計算對形心軸的慣性矩。第二節平面彎曲桿件的內力一、彎曲的概念與梁的計算簡圖外力作用線與桿軸線垂直,桿軸線將由直線變成曲線,這種變形稱為彎曲。AB對稱軸縱向對稱面梁變形后的軸線與外力在同一平面內梁的軸線FByF1F2FAy平面彎曲梁的計算簡圖梁的計算簡圖就是梁的力學模型的簡化。由于所研究的是等截面直梁,且外力均作用在梁的縱向對稱平面內,所以通常可以用梁的軸線來代替梁,將荷載和支座直接加在軸線上,構成梁的計算簡圖。靜定梁

—僅用靜力平衡方程即可求出全部未知量的梁。超靜定梁

—僅用靜力平衡方程不能求出全部未知量的梁?？缍?/p>

—梁在兩支座之間的長度。單跨梁

—只有一跨的梁。多跨梁

—兩跨及兩跨以上的梁。本章僅討論單跨靜定梁。二、梁的彎曲內力—剪力與彎矩（截面法）求支座反力：求m-m截面的內力：二、梁的彎曲內力—剪力與彎矩（截面法）求支座反力：內力的符號規定

剪力符號:FSdxmmFS++使dx

微段有左端向上而右端向下的相對錯動時,橫截面m-m上的剪力為正。即使dx微段有順時針轉動趨勢的剪力為正。dxmmFSFS--使dx微段有左端向下而右端向上的相對錯動時,橫截面m-m上的剪力為負。即使dx微段有逆時針轉動趨勢的剪力為負。內力的符號規定

彎矩符號:mm+（受拉）MM+當dx

微段的彎曲下凸（即該段的下半部受拉）時,橫截面m-m上的彎矩為正；mm（受壓）MM--當dx

微段的彎曲上凸（即該段的下半部受壓）時,橫截面m-m上的彎矩為負.例7-5計算圖示簡支梁1-1和2-2截面上的剪力和彎矩。FAFB11.5kNFS1M1解:⑴求支座反力;

⑵求1-1截面的內力:10.5kNFS1例7-5計算圖示簡支梁1-1和2-2截面上的剪力和彎矩。FAFB解:⑴求支座反力;

⑶求2-2截面的內力:M2三、梁的剪力圖與彎矩圖用函數關系表示沿梁軸線各橫截面上剪力和彎矩的變化規律，分別稱作剪力方程和彎矩方程.剪力方程：FS=FS(x)彎矩方程：M=M(x)以平行于梁軸的橫坐標x表示橫截面的位置,以縱坐標表示相應截面上的剪力和彎矩.分別稱為剪力圖和彎矩圖xFS(x)FS

圖的坐標系OM

圖的坐標系xOM(x)剪力圖為正值畫在x

軸上側,負值畫在x

軸下側彎矩圖為正值畫在x

軸上側,負值畫在x

軸下側例7-6作圖示簡支梁在均布荷載q作用下的剪力圖和彎矩圖。解:⑴求支座反力由對稱性知:⑵列剪力方程和彎矩方程⑶作剪力圖和彎矩圖例7-7作圖示懸臂梁的剪力圖和彎矩圖。解:⑴建立剪力方程和彎矩方程⑵作剪力圖和彎矩圖例7-8作圖示簡支梁的剪力圖和彎矩圖。解:⑴求支座反力⑵列剪力方程和彎矩方程例7-8作圖示簡支梁的剪力圖和彎矩圖。⑵列剪力方程和彎矩方程

例7-9用疊加法作圖示梁的彎矩圖。

疊加法：即梁在多個荷載作用下所產生的內力,可以由各個荷載單獨作用下所產生的內力疊加而得到。解:⑴

先作出由集中力F單獨作用下所產生的彎矩圖。

⑵再作出由均布荷載q單獨作用下所產生的彎矩圖。

⑶然后由上面兩個圖的縱坐標疊加得最終彎矩圖。

注意：這里所說的兩個彎矩圖疊加不是簡單地將兩個圖形拼在一起，而是將兩個圖形中相同截面處的縱坐標相疊加。四、剪力、彎矩與荷載集度的微分關系公式的幾何意義:

⑴

剪力圖上某點處的切線斜率等于該點處荷載集度的大小;

⑵

彎矩圖上某點處的切線斜率等于該點處剪力的大小;⑶可以根據q(x)＞0或q(x)＜0來判斷彎矩圖的凹凸性。四、剪力、彎矩與荷載集度的微分關系⒈

梁上有向下的均布荷載,即q(x)<0：

FS(x)圖為一向右下方傾斜的直線；

M(x)圖為一向上凸的二次拋物線。xFS(x)OxOM(x)四、剪力、彎矩與荷載集度的微分關系⒉梁上無荷載區段，q(x)=0

：

FS(x)圖為一條水平直線；

M(x)圖為一斜直線。xFS(x)OxOM(x)FS(x)<0FS(x)>0OM(x)x四、剪力、彎矩與荷載集度的微分關系⒊

在集中力作用處剪力圖有突變,其突變值等于集中力的值。彎矩圖有轉折。⒋

在集中力偶作用處彎矩圖有突變，其突變值等于集中力偶的值，但剪力圖無變化。⒌

最大剪力可能發生在集中力所在截面的一側;或分布載荷發生變化的區段上。

梁上最大彎矩Mmax可能發生在FS(x)=0

的截面上;或發生在集中力所在的截面上;或集中力偶作用處的一側。例7-10作圖示外伸梁的內力圖。解:⑴求支座反力⑵判斷各段FS、M圖形狀:CA和BD段:q=0,FS為水平線,M為斜直線;AB段:q<0,FS為向右下斜直線,M為下凸拋物線。例7-10作圖示外伸梁的內力圖。CA和BD段:q=0,FS為水平線,M為斜直線;AB段:q<0,FS為向右下斜直線,M為下凸拋物線。⑶作剪力圖CA段只需一個控制點:AB段需兩個控制點:BD段只需一個控制點:例7-10作圖示外伸梁的內力圖。CA和BD段:q=0,FS為水平線,M為斜直線;AB段:q<0,FS為向右下斜直線,M為下凸拋物線。⑷作彎矩圖CA段兩個控制點:(上拉)AB段需三個控制點:BD段需一個控制點:第三節彎曲應力和強度彎曲構件橫截面上的應力：當梁上有橫向外力作用時，一般情況下，梁的橫截面上既又彎矩M，又有剪力FS。mmFSMmmFSmmM只有與切應力有關的切向內力元素dFS=dA

才能合成剪力；只有與正應力有關的法向內力元素

dFN=dA

才能合成彎矩。所以，在梁的橫截面上一般既有正應力，又有切應力。一、純彎曲時梁橫截面上的正應力若梁在某段內各橫截面的彎矩為常量，剪力為零，則該段梁的彎曲就稱為純彎曲。FFaaCDAB++FFFS圖CADBFaM圖CADB簡支梁CD段任一橫截面上，剪力等于零，而彎矩為常量，所以該段梁的彎曲就是純彎曲變形現象：縱向線：各縱向線段彎成弧線,且靠近頂端的縱向線縮短,靠近底端的縱向線段伸長。橫向線：各橫向線仍保持為直線,相對轉過了一個角度,仍與變形后的縱向弧線垂直。提出假設：⑴平面假設：變形前為平面的橫截面變形后仍保持為平面且垂直于變形后的梁軸線。⑵單向受力假設：縱向纖維不相互擠壓,只受單向拉壓。提出假設：⑴平面假設：變形前為平面的橫截面變形后仍保持為平面且垂直于變形后的梁軸線。⑵單向受力假設：縱向纖維不相互擠壓，只受單向拉壓。推論：必有一層變形前后長度不變的纖維—中性層。中性軸

中性層橫截面對稱軸推論：必有一層變形前后長度不變的纖維—中性層。中性軸

中性層橫截面對稱軸中性層與橫截面的交線稱為中性軸,梁發生彎曲變形時,橫截面繞中性軸轉動。dx圖（b）yzxO圖（a）dx變形幾何關系：圖（c）yρzyxO’O’b’b’ybbOO應變分布規律：直梁純彎曲時縱向纖維的應變與它到中性層的距離成正比應變分布規律：直梁純彎曲時縱向纖維的應變與它到中性層的距離成正比由于梁的縱向纖維處于單向拉伸或壓縮，在彈性范圍內，由胡克定律可得正應力：物理關系：yzxOMdAzyσdA靜力關系：橫截面上內力系為垂直于橫截面的空間平行力系，這一力系簡化得到三個內力分量.FNMzMy內力與外力相平衡可得：=0(c)=0(d)=M(e)=0(c)=0(d)=M(e)將應力表達式代入(c)式,得:中性軸通過橫截面形心將應力表達式代入(d)式,得:自然滿足將應力表達式代入(e)式,得:得到純彎曲時橫截面上正應力的計算公式:M為梁橫截面上的彎矩；y為梁橫截面上任意一點到中性軸的距離；Iz

為梁橫截面對中性軸的慣性矩

⑴

應用公式時,一般將My

以絕對值代入.根據梁變形的情況直接判斷

的正負號。以中性軸為界,梁變形后凸出邊的應力為拉應力(

為正號);凹入邊的應力為壓應力(為負號)。

⑵最大正應力發生在橫截面上離中性軸最遠的點處：梁的彎曲正應力強度條件為：例7-11試校核圖示T形截面鑄鐵梁的正應力強度。解:⑴作出梁的彎矩圖,其最大值為⑵分別進行彎曲抗拉(梁截面的下邊緣)、抗壓強度(梁截面的上邊緣)校核由例7-4知:最大拉應力:滿足！最大壓應力:例7-11試校核圖示T形截面鑄鐵梁的正應力強度。解:⑴作出梁的彎矩圖,其最大值為⑵分別進行彎曲抗拉(梁截面的下邊緣)、抗壓強度(梁截面的上邊緣)校核由例7-4知:滿足！例7-12試校核圖示工字鋼梁(l=1m)的許用均布荷載[q]。已知:解:⑴作出梁的彎矩圖,其最大值為⑵根據正應力強度確定荷載[q]=2×8330N/m=16.66kN/m二、梁的切應力和強度⒈矩形截面梁Iz—整個橫截面對中性軸的慣性矩;b—矩型截面的寬度;Sz*—

距中性軸為y的橫線以外部分橫截面面積對中性軸的靜矩;Fs—橫截面上的剪力。式中，A=bh為矩形截面的面積。⒉工字形截面梁Iz—整個橫截面對中性軸的慣性矩;

d—腹板的厚度;Sz*—

距中性軸為y的橫線以外部分橫截面面積對中性軸的靜矩;Fs—橫截面上的剪力。⒊圓形截面梁薄壁圓環形截面：例7-13矩形截面梁,截面的高寬比h/b=3/2,確定梁的截面尺寸。解:⑴作剪力圖和彎矩圖⑵根據正應力強度確定截面例7-13矩形截面梁,截面的高寬比h/b=3/2,確定梁