2．2.2反證法1．認識間接證明的一種基本方法——反證法，認識反證法的思慮過程、特點．2．掌握反證法證題的步驟以及哪些種類的題目宜用反證法證明．基礎梳理反證法的定義：一般地，假設原命題不成立(即在原命題的條件下，結論不成立)，經過正確的推理，最后得出矛盾，所以說明假設錯誤，從而證了然原命題成立，這樣的證明方法稱為反證法．基礎自測1．命題“關于x的方程ax＝b(a≠0)有獨一解”的結論的否定是(D)A．無解B．兩解C．最少兩解D．無解或最少兩解分析：易知此命題結論的否定是：無解或最少兩解．應選D.2．已知α∩β＝l，a?α，b?β，若a，b為異面直線，則(B)A．a，b都與l訂交B．a，b最少有一條與l訂交C．a，b至多有一條與l訂交D．a，b都與l不訂交分析：若a，b都與l不訂交，則a∥l，b∥l，∴a∥b，這與a，b為異面直線矛盾．∴a，b最少有一條與l訂交．應選B.3．用反證法證明“已知a3＋b3＝2，求證a＋b≤2”時的反設為______，得出的矛盾為______．分析：假設a＋b＞2，則a＞2－b，∴a3＞(2－b)3＝8－12b＋6b2－b3，又a3b3＝2，∴6b2－12b＋6＜0，即6(b－1)2＜0，由此得出矛盾．答案：a＋b＞26(b－1)2＜04．“自然數a，b，c中恰有一個偶數”的否定應是________________________________________________________________________．分析：“自然數a，b，c中恰有一個偶數”的否定應是a，b，c中都是奇數或最少有兩個偶數．答案：a，b，c中都是奇數或最少有兩個偶數(一)用反證法證明數學命題的一般步驟反設——即先弄清命題的條件和結論，而后假設命題的結論不成立；歸謬——從反設出發，經過推理論證，得出矛盾；斷言——由矛盾得出反設不成立，從而判定原命題的結論成立．（二）反證法得出的矛盾反證法的要點是在正確的推理下得出矛盾，這些矛盾常常表現為以下幾個方面：1與已知條件矛盾；與假設矛盾；與數學公義、定理、公式或已被證了然的結論矛盾；與簡單的、明顯的事實矛盾．（三）注意事項一定先否定結論，即一定結論的反面，同時注意反設的正確性，特別當出現兩種以上狀況時應特別認真，一定排列出各種狀況，缺乏任何一種可能，反證法都是不完整的．一定從否定結論進行推理，即把結論的反面作為條件，而且一定依照這一條件進行推證，不然，只否定結論，不從結論的反面出發進行推理，就不是反證法．反證法常用于直接證明比較困難的命題，比方某些初始命題(包含部分基本定理)、必然性命題、存在性問題、獨一性問題、否定性問題、帶有“至多有一個”或“最少有一個”等字眼的問題．使用反證法證明問題時，正確地做出反設是正確運用反證法的前提，常有“反設詞”以下：原?x?x最少至多最少至多p或p＝＞＜不行且詞成立一個一個n個n個q立q反?x0?x0一個最少至多最少綈p且綈p或設≠≤≥不行都n－1n＋1成立兩個綈q綈q)詞立沒有個個1．反證法屬邏輯方法范圍，它的慎重表此刻它的原理上，即“否定之否定等于一定”，此中：第一個否定是指“否定結論(假設)”，第二個否定是指“邏輯推理結果否定了假設”．反證法屬“間接解題方法”，書寫格式易錯之處是“假設”易錯寫成“設”．2．適適用反證法證明的命題：(1)否定性命題；(2)獨一性命題；(3)至多、最少型命題；(4)明顯成立的問題；(5)直接證明有困難的命題．3．使用反證法證明問題時，正確地作出反設(即否定結論)是正確運用反證法的前提，常有的“結論詞”與“反設詞”列表以下：2常有的矛盾主要有：(1)與假設矛盾；(2)與公認的事實矛盾；(3)與數學公義、定理、公式、定義或已被證了然的結論矛盾．1．應用反證法推出矛盾的推導過程中要把以下哪些作為條件使用(C)①結論相反的判斷，即假設；②原命題的條件；③公義、定理、定義等；④原結論A．①②B．①②④C．①②③D．②③2．用反證法證明命題“一個三角形不可以有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟：A＋∠B＋∠C＝°＋°＋∠C＞°，這與三角形內角和為°①∠9090180180矛盾，所以∠A＝∠B＝°不成立；②所以一個三角形中不可以有兩個直角；③假90設∠A，∠B，∠C中有兩個直角，不如設∠A＝∠B＝90°.此中序次正確的選項是(C)A．①②③B．①③②C．③①②D．③②①分析：依據反證法的步驟，簡單知道選C.3．在用反證法證明數學命題時，假如原命題的否定項不只一個時，一定將結論的否定狀況逐個辯駁，才能一定原命題的結論是正確的．比方：在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC內一點，∠APB＞∠APC，求證：∠BAP＜∠CAP.用反證法證明時應分：假設________和________兩類．分析：由于小于的否定是不小于，所以應填∠BAP＝∠CAP和BAP＞∠CAP.答案：∠BAP＝∠CAPBAP＞∠CAP．求證：假如ab，那么nanbn∈，且n．4>>0>(N>1)nnnnb，或nn證明：假設a不大于b，則a＝a＜bn當a＝b時，則有a＝b.這與a＞b＞0相矛盾．3n當a＜b時，則有a＜b，這也與a＞b相矛盾．n所以a＞b.1．“實數a，b，c不全為0”的意思為(D)A．a，b，c均不為0B．a，b，c中至多有一個為0C．a，b，c中最少有一個為0D．a，b，c中最少有一個不為02．以下命題中錯誤的選項是(D)A．三角形中最少有一個內角不小于60°B．四周體的三組對棱都是異面直線C．區間(a，b)上單調函數f(x)至多有一個零點D．設a，b∈Z，若a＋b是奇數，則a，b中為奇數的一個也沒有3．用反證法證明命題“假如a＞b，則3a＞3b”時，假設內容應是(D)A.3a3b3a＜3b＝B.C.3333bD.3333a＝b且a＜a＝b或a＜b分析：簡單知道，“3333b或33a＞b”的否定是“a＜a＝b”，所以選D.4．假如兩個實數之和為正數，則這兩個數(A)A．最少有一個是正數B．兩個都是正數C．一個是正數，一個是負數D．兩個都是負數分析：假設兩個都是負數，其和必為負數，矛盾，所以選A.1115．a＞0，b＞0，c＞0，則三個數a＋b，b＋c，c＋a(D)A．都大于2B．都小于2C．最少有一個數不大于2D．最少有一個數不小于21111＋b＋1＋c＋1≥＋＋＝若三個數分析：6.bcaabc222111D.2bca6x2y2a＞b＞的離心率為1Fc，，方程ax6．設橢圓a＋b＝1(0)2，x2(0)2＋bx－c＝0的兩個實根分別為x1和x2，則點Px1()(C)422A．必在圓x＋y＝2上22B．必在圓x＋y＝2外22C．必在圓x＋y＝2內D．以上三種情況都有可能1分析：∵e＝a＝2，∴a＝2c.∴b2＝a2－c2＝3c2.假設點P(x1，x2)不在圓x2＋y2＝2內，22222b2則x1＋x2≥2，但x1＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2＝－a＋盾．∴假設不成立．

2c3c22c7＝4c2＋2c＝4＜2，矛∴點P必在圓x2＋y2＝2內．應選C.7．命題“在△ABC中，A＞B則a＞b”，用反證法證明是，假設是________．分析：命題的結論是a＞b，假設應是“a≤b”．答案：a≤b8．用反證法證明命題：“a，b∈N，ab可以被5整除，那么a，b中最少有一個能被5整除．”那么假設的內容是____________________．分析：“最少有n個”的否定是“最多有n－1個”．答案：a，b中沒有一個能被5整除9．命題“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，則a＝b＝1”用反證法證明時應假設為________．答案：a≠1，或b≠110．若以下方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0最少有一個方程實根，務實數a的取值范圍．分析：設三個方程均無實根，則有16a2－4（－4a＋3）＜0，＝（a－1）2－4a2＜0，4a2－4（－2a）＜0，1－2＜a＜2，解得a＜－1，或a＞1，3－2＜a＜0，3所以－2＜a＜－1.3所以當a≥－1，或a≤－2時，三個方程最少有一個方程有實根．11．假如非零實數a，b，c兩兩不相等，且2b＝a＋c，211證明：b＝a＋c不成立．52112a＋c2b證明：假設b＝a＋c成立，則b＝ac＋ac，∴b2＝ac.b＝a＋c＋2＝ac，即a2＋c2＝ac，又∵222即(a－c)2＝0.∴a＝c，這與a，b，c兩兩不相等矛盾．211∴b＝a＋c不成立．xx－212．已知f(x)＝a＋x＋1(a＞1)，證明方程f(x)＝0沒有負數根．證明：假設x0是f(x)＝0的負數根，則x0＜0且x0≠－1且axo＝－x0－2，x0－2x0＋1∴＜axo＜＜－1x0＜，這與x0＜0矛盾，故方程fx)01?0x0＋1＜1，解得2＜2(＝0沒有負數根．?品嘗高考1．(2014·山東卷)用反證法證明命題“設a，b為實數，則方程x3＋ax＋b＝0最少有一個實根”時，要做的假設是(A)A．方程B．方程C．方程D．方程

x3＋ax＋b＝0沒有實根3x＋ax＋b＝0至多有一個實根3x＋ax＋b＝0至多有兩個實根3x＋ax＋b＝0恰有兩個實根分析：由于“方程x3＋ax＋b＝0最少有一個實根”等價于“方程x3＋ax＋b0的實根大于或等于1”，所以要做的假設是“方程x3＋ax＋b＝0沒有實根”．2．以以下圖，已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一面內，M，N分別為AB，DF的中點．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的長；用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線．分析：(1)如圖，取CD的中點G，連接MG，NG，∵ABCD，DCEF為正方形，且邊長為2，∴MG⊥CD，MG＝2，