第一章單自由度系統(tǒng)的自由振動

單自由度系統(tǒng) 最簡單、最基本的振動系統(tǒng) 線性系統(tǒng)：動力學方程為常系數(shù)線性微分方程非線性系統(tǒng):動力學方程為非線性微分方程自由振動 自由振動是指系統(tǒng)受初始擾動后，僅靠系統(tǒng)自身恢復力維持的振動。無阻尼自由振動有阻尼自由振動或ch1單自由度系統(tǒng)的自由振動—討論的內容單自由度系統(tǒng)自由振動的運動方程單自由度系統(tǒng)自由振動運動方程的解 解的一般形式自由振動的頻率 影響自由振動參數(shù)的因素單自由度系統(tǒng)自由振動的運動規(guī)律對初始條件的響應求解無阻尼單度系統(tǒng)自由振動問題的能量法

無阻尼系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，其機械能守恒，即動能T與勢能V之和保持不變。 動能為零時勢能達到最大值。將動能取最大值時的勢能取作零，則有

簡諧振動及其表示方法三角函數(shù)表示法旋轉矢量表示法旋轉矢量投影法

復數(shù)表示法三角函數(shù)表示法物體作簡諧振動時，其位移可表示為諧波函數(shù)

或周期：振動一次所需的時間T,單位：秒（s

）角頻率（圓頻率）ω:振動矢量每秒轉過的角度（弧度），單位:弧度／秒（rad/s）

頻率：每秒振動的次數(shù)f，單位：赫茲（Hz）（s-1）三角函數(shù)表示法（續(xù)）簡諧振動的速度

簡諧振動的加速度

作簡諧振動的線性系統(tǒng)，其位移、速度、加速度均為同頻率簡諧函數(shù)；

相位角：速度超前位移π/2

；加速度超前位移π，超前速度π/2

簡諧振動的三要素：頻率、振幅、初始相位

旋轉矢量表示法—旋轉矢量投影法

長度為A的矢量以勻角速度ω在平面上繞定點O逆時針旋轉，該矢量在直角坐標軸上的投影均可表示簡諧運動。

頻率：ω； 幅值：A； 初始相位：t=0時矢量與坐標軸的夾角。

1．兩個（或兩個以上）同頻率簡諧振動的合成。2．直觀表示簡諧振動位移．速度．及加速度之間的相對關系。

OxyAφω旋轉矢量表示法—旋轉矢量投影法

1．兩個（或兩個以上）同頻率簡諧振動的合成。2．直觀表示簡諧振動位移．速度．及加速度之間的相對關系。OxyAφωωAωA2復數(shù)表示法

長度為A的矢量以勻角速度ω在復平面上繞定點O逆時針旋轉，該矢量在實軸及虛軸上的投影與矢量端點處復數(shù)z的實部和虛部相對應。復數(shù)z的實部及虛部均可表示簡諧運動。

特點：利用復數(shù)（求導）運算的特點可方便地表示速度和加速度。

無阻尼自由振動

單自由度系統(tǒng)自由振動方程單自由度系統(tǒng)自由振動方程的解無阻尼自由振動是以平衡位置為中心的簡諧振動

振動角頻率ω0是系統(tǒng)的固有特性，與初始條件無關固有頻率及固有周期說明什么？固有頻率ω0稱作無阻尼系統(tǒng)的固有（角）頻率，單位為

rad/s固有頻率及固有周期固有頻率和周期與初始條件無關，表現(xiàn)出線性系統(tǒng)自由振動的等時性。

質量愈大，彈簧愈軟，則固有頻率愈低，周期愈長；反之，質量愈小，彈簧愈硬，則固有頻率愈高，周期愈短。

單自由度系統(tǒng)對初始條件的響應初始條件對初始條件的響應能量法保守系統(tǒng) 無阻尼系統(tǒng)在自由振動中任一時刻的機械能保持常值—機械能守恒計算單自由度保守系統(tǒng)固有頻率的能量法

保守系統(tǒng)振動中動能與勢能之和為常數(shù)動能為零時勢能達到最大值，將動能取最大值（平衡位置）時的勢能取作零，則有

能量法（續(xù)1）無阻尼單度系統(tǒng)系統(tǒng)動能系統(tǒng)最大動能系統(tǒng)勢能系統(tǒng)最大勢能能量守恒→能量法（續(xù)2）瑞利法—計算固有頻率的近似計算方法（計算系統(tǒng)的最低固有頻率）先對具有分布質量的彈性元件假定一種振動形式

（假設振型：通常按靜變形曲線假設）根據(jù)無阻尼自由振動的簡諧規(guī)律計算系統(tǒng)動能和勢能寫為標準形式利用得到系統(tǒng)的（最低階）固有頻率ω0能量法（等效參數(shù)法）所有單自由度黏性阻尼系統(tǒng)都可簡化為質量-彈簧-阻尼系統(tǒng)選取x為廣義坐標線性系統(tǒng)的動能可表示為線性系統(tǒng)的勢能可表示為任意兩個位置x1和x2間由粘性阻尼力所作的功可表示為系統(tǒng)的固有頻率能量法練習題扭轉振動用角位移作為獨立座標來表達振動狀態(tài)的角振動問題

轉動方程式

式中J是轉動物體對于轉動軸的轉動慣量，M為施加于轉動物體上的力矩，它的方向與角位移一致時為正

扭振運動方程及其振動解課堂練習習題1.8不計質量的等截面懸臂梁長為L，抗彎剛度為EI，自由端有集中質量m1和m2。梁靜止時突然釋放質量m1。試求m2的自由振動。課堂練習單度系統(tǒng)無阻尼自由振動練習題單度系統(tǒng)無阻尼自由振動練習題參考解答作業(yè)題單自由度系統(tǒng)對初始條件的響應單自由度系統(tǒng)振動方程的解為滿足初始條件或自由振動的振幅初相角

單自由度系統(tǒng)對初始條件的響應設在初始時刻，質點的位移和速度分別為

代入得〓單自由度系統(tǒng)自由振動方程質量—彈簧系統(tǒng)

由一個可視為質點的物體和彈簧組成。設質點的質量為m，彈簧的質量不計，無擾動時彈簧不變形，質點處于平衡狀態(tài)。以平衡位置O為原點建立坐標軸x，當質點因初始擾動而偏離平衡位置時，彈簧產生與位移x成正比，方向與位移相反的恢復力F=-kx作用于質點，比例系數(shù)k稱作彈簧的剛度系數(shù)，單位為N/m。單自由度系統(tǒng)自由振動方程(廣義)坐標選取x坐標原點：靜平衡位置

根據(jù)牛頓定律列寫質點的自由振動方程

引入參數(shù)單自由度系統(tǒng)自由振動方程標準形式〓單自由度系統(tǒng)自由振動方程的解運動微分方程令代入上面方程

本征方程（特征方程）

相應的本征值

線性無關特解

方程的通解為

單自由度系統(tǒng)自由振動方程的解（續(xù)）歐拉公式單自由度系統(tǒng)自由振動方程的通解為

其中C1、C2（或A、θ）為待定常數(shù)，由初始條件決定。

〓或等效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動例1.1-2以質量塊m的水平位移為坐標，試計算彈簧的等效質量。假定彈簧的變形與離固定點的距離ξ成正比，彈簧端點的位移為x。微元長度dξ的質量彈簧距端點ξ截面的變形（位移）彈簧距端點ξ截面的速度解設彈簧的長度為l，單位長度的質量為ρl，微元長度dξ的動能等效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動微元長度dξ的動能將微元長度dξ的動能在整個彈簧范圍內積分，計算彈簧的動能T1為彈簧質量令彈簧質量的1/3為彈簧的等效質量，則考慮彈簧質量的系統(tǒng)總動能為

彈簧的勢能與彈簧質量無關仍利用能量守恒公式導出考慮彈簧質量的系統(tǒng)固有頻率為等效參數(shù)法法求解單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動例1.1-3以梁端橫向位移為坐標，試計算懸臂梁的等效質量

解設懸臂梁的長度為l

，單位長度的質量為ρl

，抗彎剛度為EI其中E和I分別為梁的彈性模量和截面二次矩。自由端集中質量m相對平衡位置的位移為x。利用材料力學知識，當自由端有靜撓度x時，距固定端距離為ξ的截面處的靜撓度為將梁的靜撓度曲線作為近似振型，計算梁的動能T1為梁的質量梁質量的33/140為梁的等效質量。系統(tǒng)的固有頻率為剛度系數(shù)為懸臂梁端點的抗彎剛度等效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動例1.1-4試計算串聯(lián)和并聯(lián)彈簧的等效剛度。

解討論彈簧剛度為k1，k2

的串聯(lián)彈簧。設A點的位移x，兩彈簧的伸長分別為x1和x2，則有

根據(jù)B點的靜力平衡條件列出可以解出彈性勢能為串聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù)等效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動對于并聯(lián)彈簧，兩彈簧的伸長均等于A點的位移x

并聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù)為如果A點處固定物體m，則動能為

不計彈簧的質量時，系統(tǒng)的固有頻率為等效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動圖示系統(tǒng)為一內燃機排氣閥系統(tǒng)簡圖。已知搖桿AB對支點O的轉動慣量為I0，氣閥BC的質量為Mv，閥簧質量為Ms，計算時可近似地將ms/3集中于B點，挺桿AD的質量為mt，求此系統(tǒng)簡化到閥門C點的等效質量。等效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動內燃機排氣閥系統(tǒng)等效質量廣義坐標：閥門C點的垂直位移xc系統(tǒng)動能：將系統(tǒng)動能表示為廣義坐標一階導數(shù)的二次函數(shù)等效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動內燃機排氣閥系統(tǒng)等效質量廣義坐標：閥門C點的垂直位移xc系統(tǒng)動能：此系統(tǒng)簡化到閥門C點的等效質量如果閥簧剛度系數(shù)為k此系統(tǒng)簡化到閥門C點的等效剛度為k此系統(tǒng)的固有頻率扭轉振動討論需要用角位移作為獨立座標來表達振動狀態(tài)的角振動問題。在這種情況下，運用牛頓運動定律得到轉動方程式

式中J是轉動物體對于轉動軸的轉動慣量，是角加速度，M為施加于轉動物體上的力矩，它的方向與角位移一致時為正。

以扭轉振動和復擺兩種情況為例扭轉振動

如圖所示的一根垂直軸，下端固定著一個水平圓盤，圓盤的轉動慣量為J。軸的扭轉剛度為K。其含義是使軸轉動一單位轉角所需施加的力矩，單位是N·m/rad。對于一根長度為，直徑為d的圓軸，根據(jù)材料力學，它的扭轉剛度為

G為材料的剪切彈性模量。軸本身質量忽略不計。

當系統(tǒng)受到某種干擾，如在圓盤平面上加一力偶，然后突然除去，系統(tǒng)便作扭轉自由振動。如果沒有阻尼，振動將永遠繼續(xù)下去。設為圓盤上任一半徑從它的靜平衡位置量起的角位移，按圖示方向為正。振動時圓盤上受到一個由圓軸作用的、與方向相反的彈性恢復力矩

扭轉振動扭轉振動得系統(tǒng)扭振的微分方程或式中與彈簧質量系統(tǒng)的運動微分方程相比較具有完全相似的微分方程式，可以直接寫出其通解

式中A與同樣是兩個待定常數(shù)，決定于扭轉振動的初始條件：

一個單自由度系統(tǒng)的扭振也是簡諧振動。它的固有頻率為扭轉振動復擺

一個剛體由于本身重力作用而繞某一軸作微擺動，稱為復擺（或稱物理擺）。轉動軸稱為擺的懸掛軸（或稱懸點）。設剛體質量為m，對懸點O的轉動慣量為I0，重心C至懸點O距離為a。

以表示擺在任意瞬時偏離垂直平衡位置的角位移，此時重心C作圓弧運動，重力的切向分