第五章非平穩序列的隨機分析本章結構單位根過程差分運算單位根檢驗ARIMA模型Auto-Regressive模型異方差的性質方差齊性變化條件異方差模型

單位根過程(unitRootProcess)平穩隨機過程的特點

1.不同時刻均值相同,圍繞常數均值波動,稱為均值回復(meanreversion).2.方差有界并且不隨時間變化,是常數.

稱為方差齊性平穩ARMA模型,可表示為此類模型的特點3.長期預測趨于無條件均值4.預測誤差的方差有界

序列分解預測誤差預測值5.t時刻的擾動帶來的影響隨著時間的增加趨于0.

假設t時刻改變一個單位,那么未來時刻t+s

時,改變多少?

非平穩過程多數經濟變量的時間序列都有隨著時間增加而增長的趨勢,不具有均值回復的特點.兩種刻畫:帶趨勢的平穩隨機過程(前面已講)單位根過程隨機趨勢過程有一類隨機過程,如果再t時刻擾動項發生變化,那么它的影響會一直存在下去,不會隨著時間t增大會立刻衰減到0.這樣過程成為隨機趨勢過程。隨機游動(走)帶常數項的隨機游動單位根過程隨機游走帶常數項的隨機游走單位根過程滿足下面表達式的過程成為單位根過程其中單位根過程對時間序列的增量進行刻畫，增量平穩，但水平變量不平穩。單整序列差分一次變為平穩過程，記為I(1)平穩過程記為I(0)如果差分n-1次不平穩，差分n次平穩，稱為n階單整的，記為I(n)趨勢平穩過程和單位根過程比較預測比較

零假設成立時,對立假設成立時,預測均方誤差的影響帶趨勢的平穩過程單位根過程動態乘子的比較趨勢平穩過程

動態乘子:

趨勢平穩過程滿足,所以平穩化比較對趨勢平穩過程進行差分,得到不可逆的MA模型,無法平穩化單位根去掉趨勢項仍然不平穩,隨機趨勢仍然存在兩種隨機過程比較帶趨勢的平穩過程只有確定趨勢;單位根過程具有隨機趨勢,有時也有確定趨勢趨勢平穩過程去掉趨勢項平穩;單位根過程差分后平穩趨勢平穩過程方差是常數,均值為時間函數;單位根過程方差是時間函數趨勢平穩過程對沖擊的反應是暫時的;而單位根過程對沖擊的反應是長久的5.2差分運算差分運算的實質差分方式的選擇過差分差分運算的實質差分方法是一種非常簡便、有效的確定性信息提取方法Cramer分解定理在理論上保證了適當階數的差分一定可以充分提取確定性信息差分運算的實質是使用自回歸的方式提取確定性信息

差分方式的選擇序列蘊含著顯著的線性趨勢，一階差分就可以實現趨勢平穩

序列蘊含著曲線趨勢，通常低階（二階或三階）差分就可以提取出曲線趨勢的影響

對于蘊含著固定周期的序列進行步長為周期長度的差分運算，通常可以較好地提取周期信息

差分的方式小結

對線性趨勢的序列，一階差分即可提取確定性信息，命令為D(X)；對曲線趨勢的序列，低階差分即可提取序列的確定性信息，命令為D(X,a)；對具有周期性特點的序列，k步差分即可提取序列的周期性信息，命令為D(X,0,k)。對既有長期趨勢又有周期性波動的序列，可以采用低階——k步差分的操作提取確定性信息，操作方法為D(X,a，k)。非平穩序列如果經過差分變成平穩序列，則我們稱這類序列為差分平穩序列，差分平穩序列可以使用ARIMA模型進行擬合。單位根檢驗對于單位根過程（差分平穩），每個隨機沖擊都具有長記憶性，方差趨于無窮大，其均值概念變得毫無意義；對于趨勢平穩過程，隨機沖擊只具有有限記憶能力，其影響會很快消失，由其引起的對趨勢的偏離只是暫時的。對退勢平穩序列，只要正確估計出其確定性趨勢，即可實現長期趨勢與平穩波動部分的分離。235.3單位根檢驗定義通過檢驗特征根是在單位圓內還是單位圓上（外），來檢驗序列的平穩性方法DF檢驗ADF檢驗PP檢驗DF檢驗模型中不包含常數和趨勢項模型中包括常數項模型中包含常數和趨勢項

DF檢驗(Dickey-Fullertest)假設條件原假設：序列非平穩備擇假設：序列平穩檢驗統計量時時DF統計量時時，為區分傳統的t分布，記DF檢驗的等價表達等價假設檢驗統計量

的臨界值零假設下,不服從t分布,需要使用蒙特卡羅法估計臨界值.例如隨機產生100個隨機數,在零假設

下可以計算

估計模型,得到一個估計值.重復很多次,例如5000次,得到5000個的值.如果這5000個值,有95%的值大于-1.95,則臨界值為-1.95.小于此值,拒絕三種情況的的臨界值是不一樣的進行單位根檢驗必須選擇合適的回歸模型.一個簡單的原則,如果數據沒有明顯的趨勢,則在回歸模型中包括常數項;如果有明顯的趨勢,則在回歸模型中既要包含常數項和時間趨勢項四個問題數據生成過程未知,有可能包括滑動平均部分可能包括不止一個滯后項,如果實際數據生成過程是AR(p)模型,估計量和標準差是錯誤的DF檢驗只考慮了一個單位根,可以考慮多與一個單位根的情況很難判斷合適包括常數項,何時包括時間趨勢用（1）式檢驗單位根等價于先驗認定被檢驗過程

xt

是一個零均值、無趨勢項的AR(1)過程。因為只有當一個含有單位根的隨機過程中不含有確定性變量，那么該過程的均值完全由初始值決定，所以x0=0。可見，只有在一個過程的均值為零時，使用（1）式檢驗單位根才是正確的。32如果被檢驗的過程的均值非零，就應該首先減去這個均值，然后再用（1）式檢驗單位根。但實際中，被檢驗過程的均值一般是不知道的。所以，當不知被檢驗過程的均值是否為零，或不知其初始值x0是否為零時，應該用(2)式檢驗單位根33估計（2）式得到的

和DF的分布都不受

x0取值的影響。這一點太重要了。否則必須先知道x0的值和DF分布才能進行單位根檢驗。34當真實的隨機過程如（2）式時，就不能用（2）式檢驗單位根了。因為當

=0時，xt是一個隨機趨勢非平穩過程。根據

c的符號（正或負）分別呈向上或向下的固定趨勢變化。當

0時，xt是一個以c

/(-

)為均值的平穩過程，不含有趨勢分量。所以這種條件下，用（2）式檢驗單位根就沒有辦法包括零假設和備擇假設所有可能結果,即不能包括退勢平穩過程,就考慮(3)式35數據由=1的（1）式生成，而DF檢驗式是（1）、（2）、（3）的DF分布的蒙特卡羅模擬結果見下圖36可以看出檢驗式中隨著和t項的加入，相應的DF分布或臨界值逐漸向左移，即臨界值相應變小。（3）式中的

和DF的分布不受x0和c值的影響37針對第四個問題,Perron提出1.如果拒絕零假設,那么檢驗過程停止,該過程是平穩過程.不能拒絕,說明存在單位根,過程非平穩,那么回歸模型中的時間趨勢項是不是多余的參數呢?如果是,會導致檢驗的勢降低,進入步驟2.2.

使用統計量,檢驗零假設.F統計量

對于檢驗式（3），若

=0不能被拒絕，但F檢驗的零假設=

=0被拒絕，這意味著

0，則xt是一個確定趨勢加單位根過程。這時隨機單位根過程完全被確定性趨勢

t所主導，對應于的DF統計量漸近服從標準正態分布。這時應該查t分布或標準正態分布臨界值表。40上述兩種F檢驗的結論是拒絕零假設H0：c=

=0（對應（2）式），

=

=0（對應（3）式）時，分別為c

0，

=0；

0，

=0。被檢驗的真實過程和檢驗式具有了相同的形式（非平穩過程且含有確定性成分）。此時稱檢驗為準確檢驗（exacttest），而利用DF統計量臨界值的檢驗稱作近似檢驗（similartest，含義是可以用t統計量檢驗）。41如果拒絕零假設,這時檢驗,臨界值用t統計量,拒絕得出結論平穩,否則非平穩.檢驗過程停止.如果不能拒絕零假設,說明時間趨勢項是多余的,進入第三步3.如果拒絕零假設,檢驗過程停止.該過程是個平穩隨機過程.如果不能拒絕,說明存在單位根,過程非平穩,那么回歸模型常數項是否是多余參數呢.進入步驟4.4.使用統計量,如果不能拒絕,說明常數項是多余的,去掉采用情況1,進入步驟5;如果拒絕零假設,檢驗,采用t分布.拒絕表示平穩,不能拒絕表示非平穩.過程停止對于（2）式也可能發生類似情形。當

=0被接受，F檢驗的零假設c=

=0被拒絕，這意味著

c0，于是非平穩單位根過程被隨機趨勢主導。對應于的DF統計量漸近服從t分布。45上述兩種F檢驗的結論是拒絕零假設H0：c=

=0（對應（2）式），=

=0（對應（3）式）時，分別為c

0，

=0；

0，

=0。被檢驗的真實過程和檢驗式具有了相同的形式（非平穩過程且含有確定性成分）。此時稱檢驗為準確檢驗（exacttest），而利用DF統計量臨界值的檢驗稱作近似檢驗（similartest，含義是可以用t統計量檢驗）。465.不能拒絕,得出結論為非平穩,否則平穩.注意1.只有當待檢驗d.g.p.中有非零漂移項（或趨勢項），而相應DF（ADF）檢驗式中也含有漂移項（或趨勢項）時，DF（ADF）統計量才漸近服從t分布。比如d.g.p.中不含有趨勢項，而相應DF（ADF）檢驗式中含有趨勢項，這意味著應該使用DF分布的臨界值。因為一般不敢保證對DF（ADF）檢驗式的設定完全與d.g.p.形式吻合，所以在實際中使用DF分布的臨界值更安全些。482.Banerjee等認為，盡管當DF（ADF）檢驗式中含有漂移項或（和）趨勢項，樣本容量T→∞時，使用t分布臨界值要好些，但在有限樣本條件下，還是使用DF分布的臨界值做單位根檢驗更好些。493.當在檢驗式中不適當地多加一些確定項（如漂移項，趨勢項t等），盡管真實的過程是平穩的，DF檢驗仍將以更大的概率接受原假設（非平穩），導致DF檢驗功效降低。4.對于檢驗式（1）、（2）、（3），DF檢驗臨界值越來越向左移，說明檢驗式中增加確定項，使臨界值變得越來越小（絕對值變得越來越大）。盡管d.g.p.是平穩的，但檢驗結果卻很難拒絕原假設（非平穩）。505.盡管增加多余參數會降低檢出平穩序列的功效，當被檢驗過程的真實形式未知時，仍建議用（3）式（盡量多含確定性項）檢驗單位根。因為如果檢驗式中確定項（漂移項或趨勢項）不足，將不能把原假設和備擇假設的所有情形都包括在假設中。51

DF單位根檢驗式統計量說明1yt=+t+yt-1+utH0：

=0DF若拒絕H0，yt為平穩過程。檢驗止。若接受H0，進入下一步，做F檢驗。2yt=+t+yt-1+utH0：=

=0F若拒絕H0，意味著

0，yt含時間趨勢。繼續做3a式檢驗。若接受H0，進一步做3b式檢驗。3ayt=+t+yt-1+utH0：

=0t若拒絕H0，yt為退勢平穩過程。檢驗止。若接受H0，yt為趨勢非平穩過程。檢驗止。3byt=+yt-1+utH0：

=0DF若拒絕H0，yt為均值為的平穩過程。檢驗止。若接受H0：

=0，進入下一步檢驗。4yt=+yt-1+utH0：=

=0F若拒絕H0，意味著

0，yt為隨機趨勢非平穩過程。繼續做5a式檢驗。若接受H0：=

=0，進一步做5b式檢驗。5ayt=+yt-1+utH0：

=0t若拒絕H0，yt為平穩過程。檢驗止。若接受H0，yt為隨機趨勢非平穩過程。檢驗止。5byt=yt-1+utH0：

=0DF若拒絕H0，yt為平穩過程。檢驗止。若接受H0，yt為隨機游走過程。檢驗止。例6.2對1978年－2002年中國農村居民家庭人均純收入對數序列和生活消費支出對數序列進行檢驗

例6.2時序圖例6.2輸入序列的DF檢驗例6.2輸出序列的DF檢驗ADF檢驗DF檢驗只適用于AR(1)過程的平穩性檢驗。為了使檢驗能適用于AR(p)過程的平穩性檢驗，人們對檢驗進行了一定的修正，得到增廣檢驗（AugmentedDickey－Fuller），簡記為ADF檢驗ADF檢驗的原理若AR(p)序列有單位根存在，則自回歸系數之和恰好等于1ADF檢驗等價假設檢驗統計量ADF檢驗的三種類型第一種類型第二種類型第三種類型依情況1為例,另一種寫法ADF檢驗例6.2續對1978年－2002年中國農村居民家庭人均純收入對數差分后序列和生活消費支出對數差分后序列進行檢驗

例6.2序列的ADF檢驗例6.2序列的ADF檢驗PP檢驗ADF檢驗主要適用于方差齊性場合，它對于異方差序列的平穩性檢驗效果不佳Phillips和Perron于1988年對ADF檢驗進行了非參數修正，提出了PP檢驗統計量。PP檢驗統計量適用于異方差場合的平穩性檢驗，且服從相應的ADF檢驗統計量的極限分布

PP檢驗統計量其中：例6.2續對1978年－2002年中國農村居民家庭人均純收入對數差分后序列和生活消費支出對數差分后序列進行PP檢驗

例6.2序列的pp檢驗例6.2序列的PP檢驗例6.2二階差分后序列的PP檢驗5.3

ARIMA模型ARIMA模型結構ARIMA模型性質ARIMA模型建模ARIMA模型預測疏系數模型季節模型ARIMA模型結構使用場合差分平穩序列擬合模型結構ARIMA模型族d=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)P=0ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)q=0ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)d=1,P=q=0ARIMA(P,d,q)=randomwalkmodel隨機游走模型(randomwalk)模型結構模型產生典故KarlPearson(1905)在《自然》雜志上提問：假如有個醉漢醉得非常嚴重，完全喪失方向感，把他放在荒郊野外，一段時間之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？ARIMA模型的平穩性ARIMA(p,d,q)模型共有p+d個特征根，其中p個在單位圓內，d個在單位圓上。所以當時ARIMA(p,d,q)模型非平穩。例5.5ARIMA(0,1,0)時序圖ARIMA模型的方差齊性時，原序列方差非齊性d階差分后，差分后序列方差齊性ARIMA模型建模步驟獲得觀察值序列平穩性檢驗差分運算YN白噪聲檢驗Y分析結束N擬合ARMA模型例5.7已知ARIMA(1,1,1)模型為

且求的95％的置信區間

預測值等價形式計算預測值計算置信區間Green函數值方差95％置信區間例5.6續：對中國農業實際國民收入指數序列做為期10年的預測

疏系數模型ARIMA(p,d,q)模型是指d階差分后自相關最高階數為p，移動平均最高階數為q的模型，通常它包含p+q個獨立的未知系數：如果該模型中有部分自相關系數或部分移動平滑系數為零，即原模型中有部分系數省缺了，那么該模型稱為疏系數模型。疏系數模型類型如果只是自相關部分有省缺系數，那么該疏系數模型可以簡記為

為非零自相關系數的階數如果只是移動平滑部分有省缺系數，那么該疏系數模型可以簡記為

為非零移動平均系數的階數如果自相關和移動平滑部分都有省缺，可以簡記為季節模型簡單季節模型乘