§2-6

剛體的定軸轉動12、剛體的運動剛體模型是為簡化問題引進的，是理想化的力學模型，絕對的剛體是不存在的。說明：一剛體的運動

無論在多大的外力作用下，形狀和大小都保持不變的物體．1、剛體

(

任意兩質點間距離保持不變的特殊質點組。)平動、轉動．2如果剛體內任何一條直線，在運動中始終保持它的方向不變，（1）平動

特點：各點運動狀態一樣，如：等都相同。或者說當剛體運動時剛體中所有點的運動軌跡都保持完全相同，這種運動稱為平動。

剛體平動質點運動3（2）轉動剛體上的各個質點在剛體運動中都繞同一直線作圓周運動，這種運動稱為轉動，該直線稱為轉軸。轉動又分定軸轉動和非定軸轉動.41）每一質點均作圓周運動，圓面為垂直于轉軸的轉動平面；定軸轉動特點轉動平面參考方向OPO轉軸2）任一質點運動均相同，但不一定相同；5（3）剛體一般運動+的合成平動6

角速度矢量規定：在轉軸上畫一有向線段，使其長度按一定比例代表角速度的大小線速度與角速度之間的關系：3.剛體轉動的角速度角加速度矢量：

,他的方向與剛體轉動方向之間的關系按右手螺旋定則來確定。7

2勻變速轉動公式

剛體繞定軸作勻變速轉動質點勻變速直線運動當剛體繞定軸轉動的角加速度為恒量時，剛體做勻變速轉動.剛體勻變速轉動與質點勻變速直線運動公式對比8飛輪30s

內轉過的角度例

一飛輪半徑為0.2m、轉速為150r·min-1，因受制動而均勻減速，經30s停止轉動.試求:（1）角加速度和在此時間內飛輪所轉的圈數；解（1）

t=30s

時，設.飛輪做勻減速運動時，

t=0s

轉過的圈數9（2）制動開始后t=6s

時飛輪的角速度；（3）t=6s時飛輪邊緣上一點的線速度、切向加速度和法向加速度.解:已知：.

求：解:10OP*二力矩、轉動定律剛體繞Oz

軸旋轉,力作用在剛體上點P,

且在轉動平面內,對轉軸z的力矩大小

1、力矩1、力矩作用線和轉軸之間的垂直距離為的d，d為力臂。哪個力容易將門關閉或打開？11

其中對轉軸的力矩為零，故對轉軸的力矩討論

（1）若力不在轉動平面內PP*OO’，把力分解為平行和垂直于轉軸方向的兩個分量12O（2）合力矩等于各分力力矩的矢量和

（3）剛體內作用力和反作用力的力矩互相抵消．13有心力的力矩為零

（4）當不等于零時，力矩為零的兩種情況A）r=0B）力的方向沿矢徑的方向（）142、轉動定律轉動剛體的第一定律

一個可繞固定軸轉動的剛體，當它所受的合外力矩（對該軸而言）等于零時，它將保持原有的角速度不變（原來靜止的繼續靜止，原在轉動則作勻角速轉動）

一個可繞固定軸轉動的剛體，當它所受的合外力矩（對該軸而言）不等于零時，它將獲得角速度，角速度的方向與合外力矩的方向相同；角加速度β的量值和它所受的合外力矩M的量值成正比，并與它的轉動慣量J成反比。轉動剛體的第二定律或15β應用牛頓第二定律，可得：上式沿著圓周軌道徑向和切向分解：轉動定律的推導ωO-外力-內力對剛體中任一質量元O’16用ri乘以上式左右兩端：

設剛體由N

個點構成，對每個質點可寫出上述類似方程，將N

個方程左右相加，得：

根據內力性質(每一對內力等值、反向、共線,對同一軸力矩之代數和為零)，得：17得到：右端求和符號內的量與轉動狀態無關，稱為剛體轉動慣量，以J表示。剛體定軸轉動定律18討論：

小的量度；β轉動慣量是轉動慣性大（3）M一定，J（1）

=常量；這就是剛體轉動第一定律.（4）M=Jβ是瞬時關系式子.（2）轉動定律M=Jβ是剛體轉動規律基本的方程。其在定軸轉動中的地位與牛頓定律在質點運動中地位相當。19轉動慣量物理意義：轉動慣性的量度.質量連續分布剛體的轉動慣量質量元:轉動慣量的大小取決于剛體的密度、幾何形狀及轉軸的位置.注意轉動慣量20O′O設棒的線密度為，取一距離轉軸OO′

為處的質量元

例2.18

一質量為

m

、長為

l

的均勻細長棒，與棒垂直的軸的位置不同，轉動慣量的變化.O′O轉軸過端點垂直于棒轉軸過中心垂直于棒21解

(1)

在環上任取一質元，其質量為dm，距離為R，則該質元對轉軸的轉動慣量為例2.19設質量為m，半徑為R的細圓環和均勻圓盤分別繞通過各自中心并與圓面垂直的軸轉動，求圓環和圓盤的轉動慣量.22考慮到所有質元到轉軸的距離均為R，所以細圓環對中心軸的轉動慣量為(2)求質量為m，半徑為R的圓盤對中心軸的轉動慣量23T2T1例

一輕繩跨過一軸承光滑的定滑輪，繩的兩端分別懸有質量為m1和m2的物體，m1<m2，如圖所示。設滑輪的質量為m，半徑為r，其轉動慣量J=1/2mr2。繩與滑輪之間無相對滑動。試求物體的加速度和繩的張力。m1m2aT2G2am2T1G1am1解:按牛頓運動定律和轉動定律可列出下列方程24這個裝置叫阿特伍德機，是一種可用來測量重力加速度g的簡單裝置。因為在已知m1、m2的情況下，能通過實驗測出m1和m2的加速度a，再通過加速度a把g算出來。m1m2a25

例

一長為質量為勻質細桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈O

相接，并可繞其轉動.由于此豎直放置的細桿處于非穩定平衡狀態，當其受到微小擾動時，細桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O

轉動.試計算細桿轉動到與豎直線成角時的角加速度和角速度.

解細桿受重力和鉸鏈對細桿的約束力作用，由轉動定律得mlo26式中得由角加速度的定義代入初始條件積分得mlo27例2.21轉動著的飛輪的轉動慣量為J，在t＝0時角速度為.