第3章測量誤差基本知識3.1

測量誤差概述一、測量誤差1.測量誤差（ObservationMagementError）觀測量的觀測值與其真值之差，包括觀測誤差和模型誤差。

觀測誤差：觀測值發生的偏差。

模型誤差：數學模型不恰當而導致待求量發生的偏差。如：二、觀測誤差產生的原因1.儀器的原因（InstrumentalErrors）每一種測量儀器具有一定的精確度，使測量結果受到一定的影響。另外，儀器結構的不完善，也會引起觀測誤差。2.觀測者的原因（PersonalErrors）由于觀測者的感覺器官的辨別能力存在局限性，在儀器對中、整平、瞄準、讀數等操作時都會產生誤差。3.外界環境的影響（NaturalErrors）

測量作業環境的溫度、氣壓、濕度、風力、日光照射、大氣折光、煙霧等客觀情況時刻在變化，使測量結果產生誤差。例如，溫度變化使鋼尺產生伸縮，風吹和日光照射使儀器的安置不穩定，大氣折光使望遠鏡的瞄準產生偏差等。

三、測量誤差的分類與處理原則

1.

系統誤差（SystematicError）

在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列的觀測，如果出現的誤差在符號和數值上都相同，或按一定的規律變化，這種誤差稱為系統誤差。如：測距儀的固定誤差和比例誤差等。系統誤差對觀測結果的影響具有累積性，因而對成果質量的影響也特別顯著。但由于它具有規律性，可采用下列方法消除或削弱其影響：計算改正數。采用一定的觀測方法。2.

偶然誤差（AccidentError，&RandomError）

在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列的觀測，如果誤差在大小、符號上都表現出偶然性，即從單個誤差看，其大小和符號沒有規律性，但就大量誤差的總體而言，具有一定的統計規律，這種誤差稱為偶然誤差。如讀數誤差、照準誤差等。

偶然誤差是不可避免的，且具有統計規律性，可應用數理統計的方法加以處理。

3.

粗差（Blunder,&GrossError）

觀測數據中存在的錯誤，稱為粗差。是由于作業人員的粗心大意或各種因素的干擾造成的，如瞄錯目標、讀錯大數，光電測距、GPS測量中對載波信號的干擾等。

粗差必須剔除，而且也是可以剔除的。

4.

誤差處理原則

在進行觀測數據處理時，按照現代測量誤差理論和測量數據處理方法，可以消除或減弱系統誤差的影響；探測粗差的存在并剔除之；對偶然誤差進行適當處理，求以得被觀測量的最可靠值。四、偶然誤差的特性

設某一量的真值為X，在相同的觀測條件下對此量進行n次觀測，得到的觀測值為l1，l2，…，ln

，在每次觀測中產生的誤差（又稱“真誤差”）為Δ1，Δ2，…Δn，則定義

單個偶然誤差：其符號和數值沒有任何規律性。大量偶然誤差：就能發現隱藏在偶然性下面的必然規律。進行統計的數量越大，規律性也越明顯。實例

在某一測區，在相同的觀測條件下共觀測了358個三角形的全部內角，觀測值為。

將它們分為負誤差和正誤差，按誤差絕對值由小到大排列次序。以誤差區間dΔ=3″進行誤差個數k的統計，并計算其相對個數k／n（n＝358），k／n稱為誤差出現的頻率。

誤差區間dΔ"負誤差正誤差誤差絕對值KK/nKK/nKK/n0～3450.126460.128910.2543～6400.112410.115810.2266～9330.092330.092660.1849～12230.064210.059440.12312～15170.047160.045330.09215～18130.036130.036260.07318～2160.01750.014110.03121～2440.01120.00660.01724以上000000Σ1810．5051770．4953581.000

由此，可以歸納出偶然誤差的特性如下：界限性：在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。聚中性：絕對值較小的誤差出現的頻率大，絕對值較大的誤差出現的頻率小。對稱性：絕對值相等的正、負誤差具有大致相等的出現頻率。抵償性：當觀測次數無限增大時，偶然誤差的理論平均值趨近于零，即：由上圖可以看出：偶然誤差的出現符合正態分布，其分布曲線的方程式為：

+3+6+9+12+15+18+21+24X=Δ-24-21-18-15-12-9-6-30式中，參數σ為觀測誤差的標準差。從中可以看出正態分布具有偶然誤差的特性。即

f(△)是偶函數，即絕對值相等的正、負誤差求得的f(△)相等，故曲線對稱于縱軸。

△越小，f(△)越大；△越大，f(△)越小。當△=0時，f(△)最大，其值為當次序第一組觀測第二組觀測

觀測值

(°ˊ")真誤差Δ"觀測值(°ˊ")真誤差Δ"１1800003-318000000２1800002-21795959+1３1795958+21800007-7４1795956+41800002-2５1800001-11800001-1６180000001795959+1７1800004-41795952+8８1795957+318000000９1795958+21795957+3１０1800003-31800001-13.2

衡量精度的標準

一、精度（Precision）

測量值與其真值的接近程度準確度（Accuracy）：表示測量結果與其真值接近程度的量。反映系統誤差的大小。精密度（Precision

）：表示測量結果的離散程度。反映偶然誤差的大小量。二、衡量精度的指標

1.中誤差（rootmeansquareerror）

根據偶然誤差概率分布規律，以標準差σ為標準衡量在一定觀測條件下觀測結果的精度是比較合適的。在測量中定義：按有限次觀測的偶然誤差求得的標準差為中誤差，用m表示，即兩組觀測值的誤差之和絕對值相等m1<m2，第一組的觀測成果的精度高于第二組觀測成果的精度次序第一組觀測第二組觀測

觀測值真誤差Δ"Δ２觀測值真誤差Δ"Δ２１180°00ˊ03"-39180°00ˊ00"00２180°00ˊ02"-24179°59ˊ59"+11３179°59ˊ58"+24180°00ˊ07"-749４179°59ˊ56"+416180°00ˊ02"-24５180°00ˊ01"-11180°00ˊ01"-11６180°00ˊ00"00179°59ˊ59"+11７180°00ˊ04"-416179°59ˊ52"+864８179°59ˊ57"+39180°00ˊ00"00９179°59ˊ58"+24179°59ˊ57"+39１０180°00ˊ03-39180°00ˊ01"-11Σ|

|247224130中誤差

-σ2-σ1

+σ1+σ2XY不同中誤差的正態分布曲線2.相對誤差（relativeerror）

觀測值的中誤差與觀測值之比，一般用分子為1的分式表示。前者的相對中誤差為0.02／200

＝1／10000，而后者則為0.02／40＝l／2000，顯然前者的量距精度高于后者。

例如：用鋼卷尺丈量200m和40m兩段距離，量距的中誤差都是±2cm,可見其精度相同。3.極限誤差（limiterror）

根據正態分布曲線，可以表示出偶然誤差出現在微小區間dΔ中的概率：根據上式的積分，可得到偶然誤差在任意大小區間中出現的概率。設以k倍中誤差作為區間，則在此區間中誤差出現的概率為：

分別以k＝1，2，3代入上式，可得到偶然誤差的絕對值不大于中誤差、2倍中誤差和3倍中誤差的概率：

由此可見，偶然誤差的絕對值大于2倍中誤差的約占誤差總數的5%，而大于3倍中誤差的僅占誤差總數的0.3%。一般進行的測量次數有限，2倍中誤差應該很少遇到，因此，以2倍中誤差作為允許的誤差極限，稱為允許誤差，簡稱“限差”，即

Δ允＝2m

現行測量規范中通常取2倍中誤差作為限差。3.3

誤差傳播定律一、誤差傳播定律觀測值的誤差對觀測值函數的影響。用觀測值的中誤差去表征待求量中誤差的數學模型，則為中誤差傳播定律。二、線性函數的中誤差傳播定律設Xi（i=1,2,

…,n）是一組獨立觀測量，而Y是Xi的函數，即：

式中，系數ai已知，且假定無誤差。設xij是第i個觀測量的第j次觀測值，則按上式求出待定量的計算值yj為：將（1）式減去（2）式得：

當對Xi各觀測k次時，上式將共有k個，分別將各式兩邊平方，并對k個式求其和，再除以觀測次數k，考慮到偶然誤差的抵償性，可得：顧及中誤差的定義公式，并設Xi的中誤差為mi，則可得：三、非線性函數的中誤差傳播定律

設有非線性函數Y=f（X1，X2，…，Xn），Xi（i=1,2,

…,n）為獨立觀測量，并設Xi的中誤差為mi，為此，可先將非線性函數線性化，然后再按線性函數處理。

四、誤差傳播定律的應用

1.步驟：列出正確的函數模型注意：模型符合測量事實；觀測量各自獨立非線性函數線性化運用誤差傳播定律

2.應用舉例例1：用尺長為l的鋼尺丈量距離S，共丈量4個尺段，設丈量一個尺段的中誤差為m，試求S的中誤差。解一：應用誤差傳播定律得：

解二：應用誤差傳播定律得：由兩種解算方法的結果可以看出：距離S的中誤差不相等，顯然，解二的數學模型是錯誤的。例2：設有函數。若X、Y為獨立觀測量，其觀測值中誤差為mx、my

，試求U的中誤差。解一：由線性中誤差傳播定律，顯然有：則有：解二：由于應用線性函數中誤差傳播定律，得：即：顯然，這兩種解法中至少有一種解法是錯誤的。解法一中由于未考慮觀測量的獨立性，顯然是錯誤的。例3：設有函數若觀測值d=180.23m，中誤差md=±5cm；δ=61°22′10″，其中誤差為mδ=±20″，試求y的中誤差。解：故有：思考題例4、（1）設自已知點A向待定點B進行水準測量，共觀測n站。設每站的觀測精度相同，其中誤差為m站，試求A、B兩點間高差的中誤差。

（2）設自已知點A向待定點B進行水準測量，觀測路線長度為S米。設每千米觀測高差的中誤差為mkm，試求A、B兩點間高差的中誤差。例5、（1）水平角觀測限差的制定

水平角觀測的精度與其誤差的綜合影響有關，對于J6光學經緯儀來說，設計時考慮了有關誤差的影響，保證室外一測回的方向中誤差為±6″。實際上，顧及到儀器使用期間軸系的磨損及其它不利因素的影響，設計精度一般小于±6″，新出廠的儀器，其野外一測回的方向中誤差小于±6″，在精度上有所富裕。

對于水平角觀測的精度，通常以某級經緯儀的標稱精度作為基礎，應用誤差傳播定律進行分析，求得必要的數據，再結合由大量實測資料經統計分析求得的數據，考慮系統誤差的影響來確定。下面僅以標稱精度為基礎進行分析。設J6經緯儀室外一測回的方向中誤差為：（1）一測回角值的中誤差（2）半測回方向值的中誤差（3）歸零差的限差（4）同一方向值各測回較差的限差（2）設等精度觀測n個三角形的三個內角，試求測角中誤差。設測角中誤差為m，則根據誤差傳播定律得：根據中誤差定義公式可知：上述兩式聯立求解：3.4等精度觀測值平差一、等精度觀測與非等精度觀測等精度觀測

在相同的觀測條件下所進行的觀測。由等精度觀測而獲得的觀測值稱為等精度觀測值。非等精度觀測在不同的觀測條件下所進行的觀測。由非等精度觀測而獲得的觀測值稱為非等精度觀測值。二、測量平差由于觀測結果不可避免地存在偶然誤差的影響，因此，在實際工作中，為提高成果質量，同時也為了檢查和及時發現觀測值中的粗差，通常進行多余觀測。（例如：一個平面三角形，只要觀測其中的兩個內角，即可確定其形狀，但通常是觀測三個內角）。

由于偶然誤差的存在，通過多余觀測必然會發現觀測結果不一致。因此，必須對帶有偶然誤差的觀測值進行處理，使得消除不符值后的結果，可認為是觀測值的最可靠結果。由此可知，測量平差的任務是：（1）對一系列帶有觀測誤差的觀測值，運用概率統計的方法來消除它們之間的不符值，求出未知量的最可靠值。（2）評定測量成果的精度測量平差方法嚴密平差：所依據的準則是建立在嚴密的理論基礎之上。如：間接平差法等（見《測量平差基礎》）近似平差：所依據的準則是建立在近似的理論基礎之上，亦稱簡易平差。

根據某一待求量的一系列觀測值，求出其最佳估值（或最或是值）稱為直接觀測平差，分為等精度直接觀測平差和不等精度直接觀測平差。三、等精度直接觀測值平差1.算術平均值原理

在相同的觀測條件下，對某個未知量進行n次觀測，其觀測值分別為l1，l2,

…，ln，將這些觀測值取算術平均值，作為該量的最或是值，即：現用偶然誤差的特性來證明:設某一量的真值為X，各次觀測值為l1，l2,

…，ln

，其相應的真誤差為Δ1，Δ2，…，Δn，則將上列等式相加，并除以n，得到等式兩端取極限，則由偶然誤差的抵償性，有故可得：2.觀測值的改正數及其性質觀測值的最或是值與觀測值之差，即：將上列等式相加，得

即：一組觀測值的改正值之和恒等于零。這一特性可以作為計算中的校核。3.等精度觀測值的中誤差根據真誤差計算等精度觀測值中誤差由于真值的不可知，導致真誤差的不可知。但是，有時可將理論值視為真值，例如：三角形內角和為180°等。例4：設等精度觀測n個三角形的三個內角，試根據三角形閉合差計算測角中誤差。解：三角形閉合差：

根據中誤差的定義公式得三角形閉合差的中誤差為：

而根據中誤差傳播定律，可得三角形閉合差的中誤差為：

其中，m為測角中誤差。將此式代入上式得：

此式即著名的菲列羅公式，通常用于計算三角測量的測角中誤差。但當三角形的個數大于20時，由此公式算出的測角中誤差才比較可靠。

根據觀測值的改正數計算其中誤差

設某量的n個等精度觀測值為l1，l2,

…，ln

，其真誤差和改正數為：于是有：將上列n個等式兩邊分別平方，并求其和，再除以n，則有：上式中，，考慮到中誤差的定義公式，可得：4.算術平均值的中誤差

設觀測值的中誤差為m，算術平均值的中誤差為M，則應用誤差傳播定律于算術平均值的計算公式，則有：

故算術平均值的中誤差為：例題

對某一距離，在相同的條件下進行6次觀測，其觀測值為：120.031m120.025m120.031m119.983m120.047m120.040m試求其最可靠值，并評定測量成果的精度。解算見下表:次序觀測值l（M）Δl（cm）改正值v(cm)vv(mm)計算x,m1120.031+3.1-1.41.962120.025+2.5-0.80.643119.983-1.7+3.411.564120.047+4.7-3.09.005120.040+4.0-2.35.296119.976-2.4+4.116.81Σ(l0=120.000)10.20.045.26思考題:

今有四個觀測小組對同一個水平角進行觀測，第一組觀測2個測回，水平角值為l1，第二小組觀測4個測回，水平角值為l2

，第三小組觀測6個測回，水平角值為l3

，第四小組觀測8個測回，水平角值為l4，試計算其最可靠值，并評定測量成果精度。3.5

權及權倒數傳播律一、權的概念1.權（weight）

衡量觀測值（或估值）及其函數的相對可靠程度的一種指標。通常用P表示。

權的定義公式為：上式表明：在一組觀測值中，某觀測值的權與其中誤差的平方成反比，而μ2為比例系數，可任意選取，但對于同一個觀測問題，應在數據處理前確定，并在計算過程中保持不變。2.單位權（unit

weight）

數值等于1的權。此時，有，當二者單位相同時，稱μ為單位權中誤差。此時的觀測值為單位權觀測值。3.權的特性權只能反映觀測值之間的相對精度，在反映觀測值精度時，起作用的不是權本身的大小，而是權之間的比例關系。權既可反映同一類量的若干個觀測值之間的精度高低，也可反映不同類量的觀測值之間的精度高低。4.權的確定根據權的定義公式確定權例1：已知一組角量觀測值X1、X2、X3的中誤差m1=±2″；m2=±4″；m3=±8″，試求各觀測值之權。解一：解二：

由上例可以看出，系數μ改變，各觀測值的權亦改變，但觀測值之間的權之比并未改變。

距離測量中根據邊長確定權例2：按同等精度丈量三條邊長，得S1，S2，S3，相應的長度為3km，4km，6km。試確定三條邊邊長觀測值的權。解：由于按同精度丈量，所以每千米的丈量中誤差相同。設每千米丈量中誤差為mkm，則邊長Si的中誤差為：將其代入權的定義公式得：

本例中，取C為12km，則得S1，S2，S3的權分別為4，3，2。此時S為12km時的權為1。也就意味著，以12km的觀測為單位權觀測，相應的權為單位權，相應的中誤差為單位權中誤差。由此還可以看出，上式中C的含義就是單位權觀測。

水準測量中根據水準路線長度或測站數定權例3：設一個水準網由四條同一等級的水準路線所構成。設四條水準路線的路線長度為S1=4km，S2=2km，S3=1km，S4=3km，相應的測站數為n1=50，n2=25，n3=10，n4=40。試分別按路線長度和測站數來確定這四條水準路線觀測高差的權。解：由于這四條水準路線是按同一等級觀測的，所以它們每千米觀測高差中誤差mkm和每測站觀測高差中誤差m站均是相同的，則第i條路線觀測高差的中誤差為：將其代入權的定義公式得：令則，第i條水準路線觀測高差的權為：

本例中，當按各水準按路線長度定權時，若取C為12km，則各水準路線觀測高差的權分別為3，6，12，4；當按各水準路線的測站數定權時，若取C為100，則各水準路線觀測高差的權分別為2，4，10，2.5。三、權倒數傳播律設有非線性函數Y=f（X1，X2，…，Xn），Xi（i=1,2,

…,n）為獨立觀測量，并設各觀測值的中誤差及其權為m1，m2，m3，…，mn和P1，P2，P3，…，Pn。由一般函數中誤差傳播定律可知