四川省資陽市鎮(zhèn)子中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)f（x）=lnx+x﹣，則函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（） A．（，） B． （，） C． （，1） D． （1，2）參考答案：C略2.右面的程序框圖表示求式子×××××的值,則判斷框內(nèi)可以填的條件為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B3.若集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1，2}，則M∩N等于

（

）

A．{0,1}

B．{－1,0,1}

C．{0,1,2}

D．{－1,0,1,2}參考答案：A4.已知長方形的四個頂點A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一質(zhì)點從AB的中點沿與AB夾角為的方向射到BC上的點后，依次反射到CD、DA和AB上的點、和（入射角等于反射角）若重合，則tg=

（

）

（A）

（B）

（C）

（D）1參考答案：答案：C5.執(zhí)行右邊的框圖，若輸入的是，則輸出的值是A．120

B．720

C．1440

D．5040參考答案：B略6.已知三棱錐D-ABC的四個頂點均在球O的球面上，和所在的平面互相垂直，，，，則球O的表面積為A.4π B.12π C.16π D.36π參考答案：C如圖所示，∵，∴為直角，即過△ABC的小圓面的圓心為BC的中點，和所在的平面互相垂直，則圓心在過的圓面上，即的外接圓為球的大圓，由等邊三角形的重心和外心重合易得球半徑R=2，球的表面積為，故選C．7.已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos2θ＝(

)A．

B.

C.

D.參考答案：B略8.若函數(shù)的定義域均為R，則

（

）

A．均為偶函數(shù)

B．為偶函數(shù)，為奇函數(shù)

C．均為奇函數(shù)

D．為偶函數(shù)，為偶函數(shù)參考答案：A略9.如圖是某樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖，則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是（）A．323432 B．334535 C．344532 D．333635參考答案：B【考點】莖葉圖．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計．【分析】根據(jù)中位數(shù)，眾數(shù)以及極差的概念以及莖葉圖中的數(shù)據(jù)，求出相應(yīng)的數(shù)據(jù)即可．【解答】解：從莖葉圖中知共16個數(shù)據(jù)，按照從小到大排序后中間的兩個數(shù)據(jù)為32、34，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為33；45出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為45；最大值是47，最小值是12，故極差是：35，故選：B．【點評】本題考查了莖葉圖的應(yīng)用以及中位數(shù)、眾數(shù)以及極差的求法問題，求中位數(shù)時，要把數(shù)據(jù)從小到大排好，再確定中位數(shù)，也要注意數(shù)據(jù)的個數(shù)．10.按如圖所示的程序框圖運行后，輸出的結(jié)果是63，則判斷框中的整數(shù)M的值是（）A.5 B.6 C.7 D.8參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)是等差數(shù)列的前項和，且，則參考答案：25本題考查等差數(shù)列通項公式和前n項和公式的計算，難度較低。因為，所以，則。12.已知向量，，若，則的最小值為

參考答案：9【知識點】基本不等式E6由得=0，，（）.（）=5++5=9【思路點撥】由得=0，，后利用重要不等式求出。13.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為____________。參考答案：214.向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若，則=

.參考答案：15.設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓C：的兩個焦點，若在C上存在一點P,使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，則C的離心率為_____________.參考答案：略16.已知某算法的流程圖如圖所示，輸出的（x，y）值依次記為（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）,…．若程序運行中輸出的一個數(shù)組是(t，-8)，則t=

▲

．

參考答案：8117.已知直線⊥平面，直線m平面，有下面四個命題：①∥⊥m；②⊥∥m；③∥m⊥；④⊥m∥其中正確命題序號是

▲

．參考答案：①③略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（2017?長沙模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=|x﹣a|﹣2|x﹣1|．（Ⅰ）當(dāng)a=3時，解不等式f（x）≥1；（Ⅱ）若f（x）﹣|2x﹣5|≤0對任意的x∈[1，2]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】絕對值不等式的解法；絕對值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通過對x取值的分類討論，去掉絕對值符號，即可求得不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）利用等價轉(zhuǎn)化思想，可得|x﹣a|≤3，從而可得，即可求出實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）f（x）≥1，即|x﹣3|﹣|2x﹣2|≥1x時，3﹣x+2x﹣2≥1，∴x≥0，∴0≤x≤1；1＜x＜3時，3﹣x﹣2x+2≥1，∴x≤，∴1＜x≤；x≥3時，x﹣3﹣2x+2≥1，∴x≤﹣2∴1＜x≤，無解，…所以f（x）≥1解集為[0，]．…（Ⅱ）當(dāng)x∈[1，2]時，f（x）﹣|2x﹣5|≤0可化為|x﹣a|≤3，∴a﹣3≤x≤a+3，…（7分）∴，…（8分）∴﹣1≤a≤4．…（10分）【點評】本題考查絕對值不等式的解法，著重考查等價轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想與綜合運算能力，屬于中檔題．19.已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的極值；

（2）求函數(shù)（為實常數(shù)）的單調(diào)區(qū)間；

（3）若不等式對一切正實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍．參考答案：【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

B11,B12【答案解析】(1)g（x）有極大值為g（1）＝0，無極小值．(2)當(dāng)a≤1時，h（x）的增區(qū)間為（0，＋∞），無減區(qū)間；當(dāng)a＞1時，h（x）增區(qū)間為（0，1），（a，＋∞）；減區(qū)間為（1，a）．(3)（－∞，2]解析：解：（1）g（x）＝lnx－x＋1，g′（x）＝－1＝，當(dāng)0＜x＜1時，g′（x）＞0；當(dāng)x＞1時，g′（x）＜0，可得g（x）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1，＋∞）上單調(diào)遞減，故g（x）有極大值為g（1）＝0，無極小值．

（2）h（x）＝lnx＋|x－a|．當(dāng)a≤0時，h（x）＝lnx＋x－a，h′（x）＝1＋＞0恒成立，此時h（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)a＞0時，①當(dāng)x≥a時，h（x）＝lnx＋x－a，h′（x）＝1＋＞0恒成立，此時h（x）在（a，＋∞）上單調(diào)遞增；②當(dāng)0＜x＜a時，h（x）＝lnx－x＋a，h′（x）＝－1＝．當(dāng)0＜a≤1時，h′（x）＞0恒成立，此時h（x）在（0，a）上單調(diào)遞增；當(dāng)a＞1時，當(dāng)0＜x＜1時h′（x）＞0，當(dāng)1≤x＜a時h′（x）≤0，所以h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，a）上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)a≤1時，h（x）的增區(qū)間為（0，＋∞），無減區(qū)間；當(dāng)a＞1時，h（x）增區(qū)間為（0，1），（a，＋∞）；減區(qū)間為（1，a）．（3）不等式（x2－1）f（x）≥k（x－1）2對一切正實數(shù)x恒成立，即（x2－1）lnx≥k（x－1）2對一切正實數(shù)x恒成立．當(dāng)0＜x＜1時，x2－1＜0；lnx＜0，則（x2－1）lnx＞0；當(dāng)x≥1時，x2－1≥0；lnx≥0，則（x2－1）lnx≥0．因此當(dāng)x＞0時，（x2－1）lnx≥0恒成立．又當(dāng)k≤0時，k（x－1）2≤0，故當(dāng)k≤0時，（x2－1）lnx≥k（x－1）2恒成立．下面討論k＞0的情形．當(dāng)x＞0且x≠1時，（x2－1）lnx－k（x－1）2＝（x2－1）[lnx－]．設(shè)h（x）＝lnx－（x＞0且x≠1），．記△＝4（1－k）2－4＝4（k2－2k）．①當(dāng)△≤0，即0＜k≤2時，h′（x）≥0恒成立，故h（x）在（0，1）及（1，＋∞）上單調(diào)遞增．于是當(dāng)0＜x＜1時，h（x）＜h（1）＝0，又x2－1＜0，故（x2－1）h（x）＞0，即（x2－1）lnx＞k（x－1）2．當(dāng)x＞1時，h（x）＞h（1）＝0，又x2－1＞0，故（x2－1）h（x）＞0，即（x2－1）lnx＞k（x－1）2．又當(dāng)x＝1時，（x2－1）lnx＝k（x－1）2．因此當(dāng)0＜k≤2時，（x2－1）lnx≥k（x－1）2對一切正實數(shù)x恒成立．②當(dāng)△＞0，即k＞2時，設(shè)x2＋2（1－k）x＋1＝0的兩個不等實根分別為x1，x2（x1＜x2）．函數(shù)φ（x）＝x2＋2（1－k）x＋1圖像的對稱軸為x＝k－1＞1，又φ（1）＝4－2k＜0，于是x1＜1＜k－1＜x2．故當(dāng)x∈（1，k－1）時，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，從而h（x）在（1，k－1）在單調(diào)遞減；而當(dāng)x∈（1，k－1）時，h（x）＜h（1）＝0，此時x2－1＞0，于是（x2－1）h（x）＜0，即（x2－1）lnx＜k（x－1）2，因此當(dāng)k＞2時，（x2－1）lnx≥k（x－1）2對一切正實數(shù)x不恒成立．綜上，當(dāng)（x2－1）f（x）≥k（x－1）2對一切正實數(shù)x恒成立時，k≤2，即k的取值范圍是（－∞，2]．【思路點撥】（1）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)g（x）=f（x）﹣x+1的極值；（2）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求函數(shù)h（x）=f（x）+|x﹣a|（a為實常數(shù)）的單調(diào)區(qū)間；（3）注意：①適當(dāng)變形后研究函數(shù)h（x）；②當(dāng)k＞2時，區(qū)間（1，k﹣1）是如何找到的20.(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分．如圖，在四棱錐P–ABCD的底面梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=2，AD=3，∠ADC=45?.已知PA⊥平面ABCD，PA=1．求：(1)異面直線PD與AC所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)；(2)三棱錐C–APD的體積．參考答案：(1)過點C作CF∥AB交AD于點F，延長BC至E，使得CE=AD，連接DE，則AC∥DE，所以∠PDE就是異面直線PD與AC所成的角或其補角，………………2分因為∠ADC=45?，所以FD=2，從而BC=AF=1，且DE=AC=，AE=，PE=，PD=，在△中，，所以，異面直線與所成角的大小為………………8分(2)因為VC–APD=VP–ACD，S△ACD=?CF?AD=3PA⊥底面ABCD，三棱錐P–ACD的高為PA=1，VP–ACD=?S△ACD?PA=1，所以，三棱錐C–APD的體積為1.………14分21.已知四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AC=2，AD=2，點E是線段AB上靠近B點的三等分點，點F、G分別在線段PD、PC上．（Ⅰ）證明：CD⊥AG；（Ⅱ）若三棱錐E﹣BCF的體積為，求的值．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出AB⊥AC，AC⊥CD，PA⊥CD，從而CD⊥平面PAC，由此能證明CD⊥AG．（Ⅱ）設(shè)點F到平面ABCD的距離為d，由=，能求出d，由此能求出的值．【解答】證明：（Ⅰ）∵棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PA=AB=AC=2，AD=2，∴AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，∵AB∥CD，∴AC⊥CD，∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC∩PA=A，∴CD⊥平面PAC，∵AG?平面PAC，∴CD⊥AG．解：（Ⅱ）設(shè)點F到平面A