第十一章時間序列分析南京財經大學統計學系本章內容第一節時間序列的有關概念一、構成因素二、數學模型第二節時間序列的因素分析一、圖形描述二、長期趨勢分析三、季節變動分析四、循環變動分析第三節平穩時間序列分析一、平穩時間序列概述二、ARMA模型的識別三、模型參數的估計時間序列把某種現象發展變化的指標數值按一定時間順序排列起來形成的數列，稱為時間序列（數列），有時也稱為動態數列。任何一個時間序列都具有兩個基本要素：一是現象所屬的時間、二是與時間所對應的指標值時間序列的構成要素長期趨勢(longTrend)季節變動(SeasonalFluctuation)循環變動(CyclicalVariation)不規則變動(IrregularRandomVariation)時間序列的數學模型乘法模型：Y=T×S×C×I加法模型：Y=T+S+C+I圖形描述

作圖是顯示統計數據基本變動規律最簡單、最直觀的方法，根據圖我們可以識別：平穩時間序列非平穩時間序列僅包含長期趨勢的時間序列既包含長期趨勢、又包括季節變動的時間序列平穩時間序列非平穩時間序列僅包含長期趨勢既包含長期趨勢，又包含季節變動一、移動平均法法二、趨勢線法長期趨勢分分析移動平均法法移動平均法法例題圖移動平均法法特點①移動平均均對原數列列有修勻作作用，平均均的時距數數越大，對對數列修勻勻作用越強強。②如果移動動奇數項，，則只需移移動一次，，且損失資資料N-1項；如果果移動偶數數項，則需需移動兩次次，損失資資料為N項項。③當數列包包含季節變變動時，移移動平均時時距項數N應與季節節變動長度度一致。④適宜對數數據進行修修勻，但不不適宜進行行預測。圖趨勢線法例5注意：對時時間標號t的設定，，可以設為為1，2，，3……也也可以設為為對稱情形形，如果序序列有奇數數項可設為為…，-3，-2，，-1，0，1，2，3，……如果序列有有偶數項可可設為…，，-5，-3，-1，1，3，5，……例6某某企業各年年份銷售額額EXCEL(CH12-例例6課件））考慮如下問問題數據中是否否含趨勢測定長期趨趨勢線性方方程的系數數時刻序列列t為定義義-7,-6,…0,1…7預測1998年的銷銷售額一、季節變動及及其測定目目的二、季節變動分分析的原理理與方法三、季節變動的的調整季節變動分分析一、季節變變動及其測測定目的季節變動是是指客觀現現象因受自自然因素或或社會因素素影響，而而形成的有有規律的周周期性變動動。季節變變動在現實實生活中經經常會遇到到，如商業業活動中的的“銷售旺旺季”和““銷售淡季季”、農產產品和以農農產品為原原料的某些些工業生產產的產量和和銷售量、、旅游業的的“旅游旺旺季”和““旅游淡季季”，等等等。一、季節變變動及其測測定目的所謂季節變變動不僅僅僅是指隨一一年中四季季而變動，，而是泛指指有規律的的、按一定定周期（年年、季、月月、周、日日）重復出出現的變化化。季節變變動的原因因通常與自自然條件有有關，同時時也可能是是由于生產產條件、節節假日、風風俗習慣等等社會經濟濟因素所致致。季節變變動常會給給人們的社社會經濟生生活帶來某某種影響，，如會影響響某些商品品的生產、、銷售與庫庫存。一、季節變動動及其測定目目的我們測定季節節變動的意義義主要在于認認識規律、分分析過去、預預測未來。其其目的一是通通過分析與測測定過去的季季節變動規律律，為當前的的決策提供依依據；二是為為了對未來現現象季節變動動作出預測，，以便提前作作出合理的安安排：三是為為了當需要不不包含季節變變動因素的數數據時，能夠夠消除季節變變動對數列的的影響，以便便更好地分析析其他因素。。二、季節變動動分析的原理理與方法測定季節變動動的方法很多多，從是否考考慮長期趨勢勢的影響看可可分為兩種：：一是不考慮慮長期趨勢的的影響，根據據原始時間序序列直接去測測定季節變動動；二是根據據剔除長期趨趨勢后的數據據測定季節變變動。原始資料平均均法趨勢剔除法原始資料平均均法例題注意例6注意事項運用此方法的的基本假定是是原時間序列列沒有明顯的的長期趨勢和和循環變動，，通過各年同同期數據的平平均，可以消消除不規則變變動，而且當當平均的期間間與循環周期期基本一致時時，也在一定定程度上消除除了循環波動動。當時間序序列存在明顯顯的長期趨勢勢時，會使季季節變動的分分析不準確，，如存在明顯顯的上升趨勢勢時，年末季季節變動指數數會遠高于年年初季節變動動指數；當存存在明顯的下下降趨勢時，，年末的季節節指數會遠低低于年初的季季節指數。所所以只有當數數列的長期趨趨勢和循環變變動不明顯時時，運用原始始資料平均法法才比較比輪輪合適。趨勢剔除法如果數列包含含有明顯的上上升（下降））趨勢或循環環變動，為了了更準確地計計算季節指數數，就應當首首先設法從數數列中消除趨趨勢因素，然然后再用平均均的方法消除除不規則變動動，從而較準準確地分解出出季節變動成成分。數列的的長期趨勢可可用移動平均均法或趨勢方方程擬合法測測定。操作步驟書上例題EXCEL操操作操作步驟—乘乘法模型例7三、季節變動動的調整例題例7一、循環變動及其其測定目的二、循環變動的測測定方法（一）直接法（二）剩余法循環變動分析析循環變動分析析-意義循環變動分析析—形式直接法剩余法操作步驟用移動平均法法，得到TC的估計，由由Y/TC,得到僅含季季節變動的序序列，計算季季節指數對原序列建立立趨勢方程，，得趨勢項T的估計值原始序列Y/TS得CI的數據對CI進行移移動平均得到到C的估計注：剔除趨勢勢求季節指數數，如果沒有有特別要求就就先采用移動動平均法求其其趨勢，然后后求季指回總目錄回本章目錄平穩時間序列列概述平穩時間序列列定義常見時間序列列模型嚴平穩回總目錄回本章目錄平穩時間序列列所謂平穩時間間序列，指如如果序列二二階矩有限限,且滿滿足如下條件件：對任意整數為為常常數；對任意整數自自協協方差函數僅僅與時間間隔隔有有關，和起止止時刻無無關。即即則稱序列為為寬寬平穩（或協協方差平穩，，二階矩平穩穩）序列當時時，自協協方差函數就就是方差回總目錄回本章目錄平穩序列圖形上來看就就是：(1)序列圍圍繞常數的長長期均值波動動，稱為是均均值回復(MeaningReversion)(2)在每一一時刻，方差差對均值的偏偏離基本相同同，波動程度度大致相等。。回總目目錄回本章章目錄錄最簡單單的寬寬平穩穩序列列是白白噪聲聲，常常記為為，，它它是是構成成其他他序列列的基基石，，一般般白噪噪聲的的定義義如下下：對任意意對任意意對不同同的時時刻自回歸歸模型型（AR：：Auto-regressive））；滑動平平均模模型（（MA：Moving-Average））；自回歸歸滑動動平均均模型型（ARMA：：Auto-regressiveMoving-Average）。。回總目目錄回本章章目錄錄常見時間序序列模型P階自回歸歸模型AR(P)模模型回總目錄回本章目錄錄其中稱稱為自回回歸系數，，為為白噪聲序序列上式稱為是是p階自回回歸模型，，簡記為AR(p)當滿滿足一定定條件時，，序列是平平穩的零均值時間間序列滿滿足足如下形式式q階滑動平平均模型MA(q)模型回總目錄回本章目錄錄其中稱稱為滑動動平均系數數，為為白噪聲聲序列上式稱為是是q階滑動動平均模型型，簡記為為MA(q)當階數q有有限時，序序列是平穩穩的零均值時間間序列滿滿足足如下形式式自回歸滑動動平均模型型(ARMA)模型型回總目錄回本章目錄錄其中稱稱為自回回歸系數，，稱稱為滑滑動平均系系數，為為白噪聲聲序列上式稱為是是p階自回回歸模型－－q階滑動動平均模型型，簡記為為AMMA(p,q).當p=0,AMMA(p,q)－－MA(q)一般ARMA模型的的數學形式式為當滿滿足一定定條件時，，序列是平平穩的.從從以上定義義中可以看看出,AR模型和MA模型即即為ARMA模型的的特例當q=0,AMMA(p,q)－－MA(p)回總目錄回本章目錄錄ARMA模模型的識別別相關函數定定階法信息準則定定階法嚴平穩回總目錄回本章目錄錄相關函數定定階法采用ARMA模型對對現有的數數據進行建建模，首要要的問題是是確定模型型的階數，，即相應的的p,q的的值，對于于ARMA模型的識識別主要是是通過序列列的自相關關函數以及及偏自相關關函數進行行的。序列的自相相關函數度度量了與與之之間的的線性相關關程度，用用表表示，，定義如下下其中表表示序列列的方差回總目錄回本章目錄錄自相關函數數刻畫的是是與之間的的線性相關關程度，而而有時候與與之之間之所以以存在相關關關系，可可能是因為為和分別與與它們的中中間部分之之間存在關關系，如果果在給定的的前提提下，對和和之之間的條件件相關關系系進行刻畫畫，則要通通過偏自相相關函數進進行，所謂謂偏自相關關函數的可可由下面的的遞推公式式得到：回總目錄回本章目錄錄對于三類模模型AR,MA,ARMA，它們們各自的自自相關函數數以及偏自自相關函數數特點如下下表所示（（具體推導導可參閱相相關時間序序列分析書書籍）這里的拖尾尾指模型自自相關函數數或偏自相相關函數隨隨著時滯的的增加呈現現指數衰減減并趨于零零，而截尾尾則是指模模型的自相相關函數或或偏自相關關函數在某某步之后全全部為零。。序列的自自相關函數數和偏自相相關函數所所呈現出的的這些性質質可用于模模型的識別別回總目錄回本章目錄錄回總目錄回本章目錄錄實際中我們們所接觸到到的往往是是來自序列列的一組樣樣本，我們們所計算的的也只能是是樣本的偏偏自相關函函數或樣本本自相關函函數，分別別記為和和.樣本本自相關函函數最常用用的估計方方法如下（（關于樣本本偏自相關關函數在在后后面給出））回總目錄回本章目錄錄(1)相關關函數，偏偏自相關函函數定階法法(2)最優優信息準則則定階法AIC準則則模型參數的的定階ARMA模模型的定階階，參數估估計主要方法有有:理論上講，，對于AR(p)序序列的偏自自相關函數數是p步截截尾的，但但實際中我我們所接觸觸到的往往往是來自序序列的一組組樣本，我我們所計算算的也只能能是樣本的的偏自相關關函數，由由于樣本的的隨機性，，此時計算算所得的樣樣本偏自相相關函數不不可能是步步截尾的，，而是呈現現在零附近近波動，所所以要考慮慮的是樣本本偏自相關關函數的統統計性質.下面給出有有關樣本偏偏自相關函函數和樣本本自相關函函數的統計計性質。根據正態分布布的性質，當當n充分大時時，有由此可知類似的，當n充分大時，，有AR(p),MA(q),ARMA(p,q)的自相關系數數，偏自相關系數數的特點：回總目錄回本章目錄MA(q)AR(p)ARMA(p,q)自相關函數q步截尾拖尾拖尾偏自相關函數拖尾p步截尾拖尾這是后面序列列定階時常用用到的性質回總目錄回本章目錄最優信息準則則定階法AIC準則如果采用ARMA(m,n)模型對序列進行擬合，得到序列的殘差方差為，序列的均值也是未知的，此時模型的待估參數個數為m+n+1,定義AIC為：選擇不同的m,n對序序列進行擬合合，計算相應應的AIC的的值，然后改改變模型的階階數，選擇使使得上式最小小的m,n作為相應的的階數N為觀測值的的個數回總目錄回本章目錄主要方法有:(1)矩估計計,也是一種種點估計,這這種估計方法法簡單但比較較粗略,ARMA模型型的參數估計計結果,主要要是通過自相相關函數滿足足的關系式得得到的.教材材中介紹了AR模型的估估計,ARMA,MA模模型的參數估估計結果可參參見-----王振龍<時間序列分分析>(2)極大似似然估計,最最小二乘估計計,其理論推推導比較復雜雜,在相關軟軟件中都可以以直接實現.模型參數的估估計參數估計9、靜夜四無鄰鄰，荒居舊業業貧。。1月-231月-23Sunday,January1,202310、雨中中黃葉葉樹，，燈下下白頭頭人。。。13:43:5713:43:5713:431/1/20231:43:57PM11、以以我我獨獨沈沈久久，，愧愧君君相相見見頻頻。。。。1月月-2313:4312、故人江海別，幾度隔山川。。07:20:3807:20:3807:20Thursday,January19,202313、乍見翻疑夢，相悲各問年。。1月-231月-2307:20:3807:20:38January19,202314、他鄉生白發，舊國見青山。。19一月20237:20:38上午07:20:381月-2315、比不了得就不比，得不到的就不要。。。一月237:20上午1月-2307:20January19,202316、行動出成果，工作出財富。。2023/1/197:20:3807:20:3819January202317、做前，能夠環視四周；做時，你只能或者最好沿著以腳為起點的射線向前。。7:20:38上午7:20上午07:20:381月-239、沒有失敗，只有暫時停止成功！。1月-231月-23Thursday,January19,202310、很多事情努力了未必有結果，但是不努力卻什么改變也沒有。。07:20:3807:20:3807:201/19/20237:20:38AM11、成功就是日復一日那一點點小小努力的積累。。1月-2307:20:3807:20Jan-2319-Jan-2312、世間成事，不求其絕對圓滿，留一份不足，可得無限完美。。07:20:3807:20:3807:20Thursday,January19,202313、不知香積寺，數里入云峰。。1月-231月-2307:20:3807:20:38January19,202314、意志堅強的人能把世界放在手中像泥塊一樣任意揉捏。19一月20237:20:38上午07:20:381月-2315、楚塞三湘接，荊門九派通。。。一月237:20上午1月-2307:20January19,202316、少年十五二十時，步行奪得胡馬騎。。2023/1/197:20:3807:20:3819January202317