第四章

（復習課）圖形的初步認識

常見的立體圖形長方體正方體

圓柱圓錐球

有些幾何圖形(如長方體、正方體、圓柱、圓錐、球等）的各部分不都在同一平內,這樣的幾何圖形叫做立體圖形.圓臺3.1生活中的立體圖形按柱、錐、球劃分

(1)(2)是一類，是柱體

(3)（4）是錐體

(5)是球體柱體錐體圓柱棱柱圓錐棱錐四棱柱六棱柱五棱柱三棱柱四棱錐五棱錐六棱錐三棱錐四面體六面體八面體多面體可以按面數來分類，如下列圖形中：若圍成立體圖形的面是平的面，這樣的立體圖形又稱為多面體認識多面體著名的歐拉公式：V+F-E=2多面體的頂點數+多面體的面數—多面體的棱數=2

3.1畫立體圖形觀察立體圖三視圖正視圖左（右）視圖俯視圖例：畫出以下立體圖形的三視圖形圖長方體從正面看從左邊看從上面看主視圖左視圖俯視圖主視圖左視圖俯視圖主視圖左視圖俯視圖主視圖左視圖俯視圖俯視圖左視圖正視圖從上面看從左面看從正面看主視圖左視圖俯視圖立體圖形和平面圖形的轉化：從不同角度看，你能得出什么樣的平面圖形？從正面看從左面看從上面看畫出下面幾何體的主視圖、左視圖與俯視圖主視圖左視圖俯視圖探究利用骰子，擺成下面的圖形，分別從正面、左面、上面觀察這個圖形，各能得到什么平面圖形？從正面看從左面看從上面看下面是一個組合圖形的三視圖，請描述物體形狀正視圖左視圖俯視圖物體形狀思考：立體圖形的表面展開圖正方體長方體四棱錐三棱柱三棱柱五棱錐

把你所做的立體圖形展開，看它的平面展開圖是什么。活動一展開圓柱展開長方體展開棱柱展開圓錐

歸納：正方體的表面展開圖有以下11種。你能看出有什么規律嗎？一四一型二三一型階梯型點與直線的位置關系點A在直線a外點B在直線a上點C在直線a外活動1aABC直線a經過點B直線a不經過點A直線a不經過點C·o·A·Ｂ經過一點可以畫無數條直線經過兩點能畫直線，只能畫一條。請你做裁判平面上有A、B、C三個點，過其中的任兩點作直線，小敏說能作三條；小聰說只能作一條；小真說都有可能；你認為他們三人誰的說法對？（1）可以畫三條直線（2）只能畫一條直線CBAABC建筑工人在砌墻的時候經常在兩個墻角分別立一根標志桿，在兩根標志桿之間拉一根參照線，這根參照線就是直的。這其中的道理是：

。經過兩點有且只有一條直線應用1、建筑工人在砌墻時會在墻的兩頭分別固定兩枚釘子，然后在釘子之間拉一條繩子，定出一條直的參照線，這樣砌出的墻就是直的。1、植樹時，只要定出兩個樹坑的位置就能確定同一行的樹坑所在的直線。應用按語句畫圖：2、點A在直線a外；3、經過點O的三條線段a、b、c；4、線段AB、CD相交于點B。1、直線EF經過點C；活動4

兩條直線相交，有一個交點。三條直線相交，最多有多少個交點？四條直線呢？你能發現什么規律？規律:交點的個數為:只有我最棒3.2點和線A點A——用一個大寫字母表示。

線線段直線射線學會區分沒有直線、射線、線段的比較名稱直線射線線段圖形aABlOCl

AB表示法線段AB、線段BA、線段a射線OC、射線l直線AB、直線BA、直線l延伸性無沿OC方向延伸向兩方無限延伸端點個數210作圖敘述連接AB以點O為端點作射線OC過A、B兩點作直線AB下面的知識點你掌握了嗎？知識點1：線段(1)線段的概念:它是直線的一部分,它的長度是有限的,它有兩個端點.(2)線段的表示方法:可用它的兩個端點的大寫字母或用一個小寫字母來表示.(3)線段的畫法:可用直尺先量出線段的長度,再畫一條等于這個長度的線段.(4)線段的基本性質:兩點之間線段最短.(5)兩點間的距離:連結兩點的線段的長度,叫做這兩點間的距離.(6)線段的特點:有兩個端點,不能向任何一方伸展,可以度量,可以比較長短.下面的知識點你掌握了嗎？知識點2：射線(1)射線的概念:把線段向一方無限延伸所形成的圖形叫做射線.(2)射線的表示方法:可用兩個大寫字母表示,第一個大寫字母表示它的端點;也可用一個小寫字母表示.(3)射線的特點:只有一個端點,向一方無限延伸,無法度量,不能比較長短.知識點3:直線(1)直線的概念:把線段向兩方無限延伸所形成的圖形.(2)直線的表示方法:可用這條直線上的兩個點表示,也可以用一個小寫字母表示.(3)直線的基本性質:經過兩點有一條直線,并且只有一條直線.(4)直線的特點:沒有端點,向兩方無限延伸,不可度量,不能比較大小.你能解決下列問題嗎？1、圖中共有幾條線段？幾條射線？幾條直線？能用字母表示出來的分別用字母表示出來。ABC2、判斷下列說法是否正確：（1）延長射線OA；（2）直線比射線長，射線比線段長；（3）直線AB和直線CD相交于點m；（4）A、B兩點間的距離就是連結A、B兩點間的線段。

問題

&探索1、當直線a上標出一個點時，可得到

條射線，

條線段；·ABOa···C2、當直線a上標出二個點時，可得到條射線，條線段；3、當直線a上標出三個點時，可得到

條射線，

條線段；4、當直線a上標出四個點時，可得到條射線，條線段；當直線a上標出n個點時，可得到

條射線，

條線段。204163862n一個點與其余三個點可組成三條線段共有4×3條這兒為什么寫“6”？n(n-1)2第4章|復習(2)平面內有n個點，過兩點確定一條直線，在這個平面內最多存在_______________條直線．(3)如果平面內有n條直線，最多存在___________個交點．(4)如果平面內有n條直線，最多可以將平面分成________________部分．2．角角的定義：(1)有公共端點的兩條________組成的圖形叫做角．這個公共端點叫做角的_______，這兩條射線叫做角的___________．射線頂點兩條邊第4章|復習(2)一條射線繞著它的________從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形叫做角.角的比較方法：(1)疊合法，(2)度量法．角平分線：從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．[總結]有公共端點的n條射線(兩條射線的最大夾角小于平角)，則存在____________個角．3．互為余角、互為補角端點(1)畫一條2cm的直線.()CAB(2)如圖,直線AB和直線AC表示的是同一條直線.()(3)如上圖,射線AB和射線AC表示的是同一條射線.()(4)兩點之間所有的連線中,直線最短()(5)兩點之間的線段叫做兩點之間的距離.()×√√××判斷下列說法是否正確.辨一辨下列圖形能相交的是（）DCBADabABD比較線段的長短ABCD（A）B

點A與點C重合，點B落在C、D之間，這時我們說線段AB小于CD，記作AB＜CD。想一想，什么情況下線段AB大于線段CD，線段AB等于線段CD？線段的和與差abιιABaCbAC=a+bAD=a-bABMN線段的中點

在一張透明的紙上畫一條線段，折疊紙片，使線段的端點重合，折痕與線段的交點就是線段的中點。動手試一試！

點M把線段AB分成相等的兩條線段AM與MB，點M叫做線段AB的中點。A

BMAM=MB=AB類似地，還有線段的三等分點、四等分點等。ABMNP練習如圖，已知線段a，b。畫一條線段，使它等于2a-b。ab解：ABCDι線段AD就是所求的線段。

如圖:從A地到B地有四條道路,除它們外能否再修一條從A地到B地的最短道路?如果能,請你聯系以前所學的知識,在圖上畫出最短路線.??AB怎樣走最近兩點的所有連線中,線段最短.即兩點之間,線段最短連接兩點間的線段的長度,叫做這兩點的距離。ABC如圖，一只螞蟻要從正方體的一個頂點A沿表面爬行到頂點B，怎樣爬行路線最短？如果要爬行到頂點C呢？說明你的理由。練習還可畫出其他展開圖喲！3.用一個釘子把一根細木條釘在木板上,用手拔木條,木條能轉動,這表明___________;用兩個釘子把

細木條釘在木板上,就能固定細木條,這說明________________。4.如圖所示,一只螞蟻要從圓柱體A點沿表面盡可能地爬到B點,因為那里有它的食物,而它餓得快不行了,怎么爬行路線最短?··AB過一點有無數條直線兩點確定一條直線5.有關線段的計算問題(1)如圖,A、B、C、D是直線l上順次四點，且線段AC=5，BD=4，則線段AB-CD=_____.ABCD

l(2)如圖，AC=8cm，CB=6cm,如果O是線段AB的中點，求線段OC的長度。ABCO（3）已知AB=16cm，C是AB上一點，且AC=10cm，D為AC的中點，E是BC的中點，求線段DE的長。59（4）同一直線上有A、B、C、D四點，已知AD=DB，AC=CB，且CD=4cm，求AB的長。59(5)已知線段AC和線段BC在同一直線上，若AC=5.6cm,BC=2.4cm.求線段AC的中點與線段BC中點之間的距離。探究一、有關距離問題1.如圖,在一條筆直的公路a兩側,分別有A、B兩個村莊,現要在公路a上建一個汽車站C,使汽車站到A、B兩村距離之和最小,問汽車站C的位置應該如何確定?aAB··C2.平原上有A、B、C、D四個村莊,如圖所示,為解決當地缺水問題,政府準備投資修建一個蓄水池,不考慮其他因素,請你畫圖確定蓄水池H的位置,使它與四個村莊的距離之和最小.····ABCD3.如圖,螞蟻在圓錐底邊的點A處,它想繞圓錐爬行一周后回到點A處,你能畫出它爬行的最短路線嗎?A探究二:畫一畫，數一數，再找規律1.在平面內有n個點(n≥3),其中沒有任何三個點在一條直線上,如果過任意兩點畫一條直線,這n個點可以畫多少條直線?2.一條直線將平面分成兩部分,兩條直線將平面分成四部分,那么三條直線將平面最多分成幾部分?四條直線將平面最多分成幾部分?n條直線呢?線段的長短比較1度量法2疊合法用尺規法作一條線段等于已知線段。3線段中點的定義和簡單作法。●●●ACB或AB=2AC=2CB畫一畫你會畫出角的圖形嗎？議一議角有什么特征？角的概念兩條射線公共端點有公共端點的兩條射線組成的圖形，叫做角練一練：下列圖形是角嗎？邊邊頂點角用一個大寫字母表示點，用二個大寫字母表示線，用三個大寫字母表示角，CABABCoo11角的表示方法1、用三個大寫字母表示，且把頂點字母放在中間。如：∠ABC或∠CBA2、∠B（頂點處只有一個角）3、角的符號和一個數字。如∠14、角的符號和一個小寫希臘字母表示。試一試怎樣表示一個角呢？你會了嗎？1、你能用不同的方法表示圖（1）的各個角嗎？2、圖2中，下列表示角的方法錯誤的為（）（A）∠AOB（B）∠BOC（C）∠a(D)∠OD始邊終邊頂點角可以看作一條射線繞者它的端點旋轉所成的圖形。平角周角銳角、鈍角、直角角度的轉化：

1°=60′1′=60

〞1°=3600〞角度的加減：1.同種形式相加減；2.度加（減）度；分加（減）分；秒加（減）秒3.超60進一；減一成60角的比較2疊合法1度量法∠ABC=∠DEF∠ABC<∠DEF∠ABC>∠DEF用尺規法作一個角等于已知角。角的比較

把一個角放在另一個角上，使它們的頂點重合，其中的一邊也重合，并使兩個角的另一邊都在重合邊的同側.角的比較OBAB′（O′）（A′）OBAB′（O′）（A′）AOB（A′）（O′）（B′）∠AOB>∠A′O′B′∠AOB<∠A′O′B′∠AOB=∠A′O′B′角的運算圖中共有幾個角，它們之間的大小有什么關系？OCBA∠AOC∠AOB+∠BOC=∠AOB

=∠AOC－∠＿＿

BOC∠BOC

=∠＿＿－∠＿＿

AOCAOB學以致用…利用三角尺還可以畫出哪些度數的角？３０°、４５°、６０°、９０°、１５°、７５°、１０５°、１２０°、１３５°、１５０°、１8０°角的平分線1、定義：一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線．2、幾何語言表達：∵OC是∠AOB的平分線OABC12∴∠1＝∠2＝∠AOB或∠AOB＝２∠１＝２∠２21角的特殊關系

2、∠１與∠２互補，∠１是∠２的補角，∠２是∠１的補角．∠１＋∠２＝18０°1、∠１與∠２互余，∠１是∠２的余角，∠２是∠１的余角．∠１＋∠２＝９０°１）兩個角成對出現２）只考慮數量關系，與位置無關．結論:同角(等角)的余角（補角）相等

注意!找朋友:圖中給出各角中,哪些互為余角?哪些互為補角?°°活動二∠α∠α的余角∠α的補角5°32°45°77°62°23′27°37′117°37′85°175°58°148°45°135°103°13°（1）∠1=90°－∠2，則∠1+∠2=？互余的兩角一定是哪一種角？x°（90－x）°（180－x）°活動二（2）一個銳角的補角一定是鈍角嗎？（3）觀察表格，你還能得到關于同一個角余角和補角之間的數量關系嗎？（5）如圖，C是直線AB上一點，CD是∠ACB的平分線①圖中互余的角有_______________________②圖中互補的角有_______________________③圖中相等的角有_______________________13活動二互余互補數量關系對應圖形性質∠1+∠2=90°∠3+∠4=180°等角的余角相等等角的補角相等2134活動四

形成知識體系第4章|復習?考點四和角有關的計算例5求2：15時，時針與分針所成的銳角是多少度？第4章|復習60°東西南北方位角：1、方位角是以正南、正北方向為基準，描述物體的運動方向。2、北偏東45°通常叫做東北方向，北偏西45°通常叫做西北方向，南偏東45°通常叫做東南方向，南偏西45°通常叫做西南方向。3、方位角在航行、測繪等實際生活中的應用十分廣泛。OA練習、在右圖中畫出表示下列方向的射線：（1）北偏西30°（2）北偏東50°（3）西南方向一、選擇題（每題3分，共24分）1.在下列幾何體中，從正面、左面和上面看都是相同的幾何體的是（）2.如圖是由幾塊小立方塊所搭成的幾何體從上面看到的圖形,小正方體中的數字表示該位置小立方塊的個數,則該幾何體從正面看到的圖形是().

132ABCDCA3.下列說法中正確的有().①角是有公共端點的兩條射線組成的圖形;②若∠1+∠2+∠3=180°,則∠1,∠2,∠3互為補角;③有公共頂點且相等的兩個角叫對頂角;④直線外一點到已知直線的垂線段的長度就是點到這條直線的距離.A.1個B.2個C.3個D.4個B4.若∠α和∠β互為余角,∠α和∠γ互為補角,∠β與∠γ的和等于周角的,則這三個角的度數分別為().75°,15°,105°B.60°,30°,120°C.50°,40°,130°D.70°,20°,110°5.在同一平面內任意畫四條互不重合的直線,那么它們的交點最多有().A.4個B.5個C.6個D.7個AC6.如圖,B、C是線段AD上任意兩點,點M是AB的中點,點N是CD的中點,若BC=a,MN=b,則AD的長度是().A.b-aB.a+bC.2b-aD.以上都不對ADBCMN●●●●●●7.在一次夏令營活動中,小霞同學從營地點A出發,要到距離點A1000m的C地去,先沿北偏東70°方向到達B地,然后再沿北偏西20°方向走了500m到達目的地C,此時小霞在營地A的().A.北偏東20°方向上B.北偏東30°方向上C.北偏東40°方向上D.北偏西30°方向上ABC北東CC8.如圖,點O在直線AB上,且OC⊥OD,若∠COA=36°,則∠DOB的大小為().A.36°B.54°C.64°D.72°ABOCD二、填空題(每題3分,共24分)9.計算:98°45′36″=__________°10.由∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°,知∠1=∠3,運用的數學知識是___________________

B98.76同角的余角相等11.8點整,時針與分針的夾角為______度.12.如圖,點O是直線AB上一點,∠AOD=∠BOF=120°∠AOC=90°,OE平分∠BOD,則圖中與∠COD相等的角有_________個.ABODCFE120313.如圖,折疊圍成一個正方體時,數字____會在與數字2所在的平面相對的平面上.14.直線m上有三點A、B、C,AB=8cm,AC=18cm,P、Q分別是AB、AC的中點,則PQ=____15.半徑為10cm的半圓折成一個圓錐圖,則這個圓錐的底面積是____

cm2.(用π表示)16.已知∠AOB=68°,∠COB=28°,則∠AOC=____

123456第13題第15題55cm或13cm25

π96°或40°三、解答題(第17、18題每題6分,其余每題8分,共52分)17.馬小虎準備制作一個封閉的正方體盒子,他先用5個大小一樣的正方形制成如圖所示的拼接圖形(實線部分),經折疊后發現還少一個面,請你在圖中的拼接圖形上再接一個正方形,使新拼接成的圖形經過折疊后能成為一個封閉的正方體盒子.(注:①只需添加一個符合要求的正方形;②添加的正方形用陰影表示)18.已知∠α和∠β互余,且∠α比∠β小20°,求∠α-

∠β的度數.48°解：∵D為AC的中點,∴DC=AC.∵E是BC的中點,∴CE=BC.∵DE=DC+CE,∴DE=AC+BC=(AC+BC)=AB.∵AB=16cm,∴DE=8cm19.如圖,AB=16cm,點C是AB上任意一點,點D是AC的中點,點E是BC的中點,求線段DE的長.ADBCE●●●●●20.如圖,點C在線段AB上,AC=8厘米,CB=6厘米,