第十三章應力狀態分析

Analysisofstress §1Introduction引言

§2Planestressanalysis平面應力狀態應力分析

§3Maximum&principalstressesinplanestateofstress平面應力狀態的極值應力與主應力

§4Maximumstressesinthree-dimensionalstressstate三向應力狀態的最大應力

§5Stress-strainrelationshipofisotropicmaterials各向同性材料的應力應變關系

§6Stress-strainrelationshipofcompositematerials復合材料的應力應變關系§1Introduction引言Stateofstressesandstrains

應力與應變狀態PlaneStateofstresses

平面應力狀態微體abcd微體AFPlaSxzy4321MzFQyT14FPl/2l/2S平面54321S平面27外因：應力，不同方位應力不同（本章研究）

內因：材料本身的強度（下一章研究）結構與構件失效原因探討低碳鋼圓軸扭轉：鑄鐵材料圓軸扭轉：Stateofstressesandstrains應力與應變狀態過一點不同方向面上應力的集合，稱之為這一點的應力狀態StateoftheStressesofaGivenPoint一點的應力狀態Stateofstrains應變狀態構件內一點在各個不同方位的應變狀況，稱為該點處的應變狀態Analyticalmethod研究方法環繞研究點切取微體，因微體邊長趨于零，微體趨于所研究的點，故通常通過微體，研究一點處的應力與應變狀態Purpose研究目的研究一點處的應力、應變及其關系，目的是為構件的應力、變形與強度分析，提供更廣泛的理論基礎yxzThree-DimensionalStateofStresses三向（空間）應力狀態:微體各側面均作用有應力空間應力狀態一般形式Generalstateofstress:consistsofsixcomponents(threenormalandthreeshear)

Plane

StateofStresses平面應力狀態PlaneStateofStresses平面應力狀態－僅在微體四側面作用應力，且應力作用線均平行于微體的不受力表面Generalstateofplanestress平面應力狀態的一般形式垂直于x軸的截面稱為x面，其上的正應力和切應力分別記為x

和x

，y面上的應力記為y和

y§2Planestressanalysis

平面應力狀態應力分析

Stressesonaninclinedplane

斜截面應力Example例題Stressesonaninclinedplane斜截面應力DerivationofStressTransformationEquations：建立sa,

ta

與sx,

tx,sy,

ty

間的關系ProblemSignconvention符號規定：Orientation方位a

－以x軸為始邊、者為正Normalstress正應力—拉伸為正；

Shearstress切應力t－以企圖使微體沿旋轉者為正方位用a

表示；應力為

sa,

taInclinedplane斜截面：//zaxis；Stressesonaninclinedplane斜截面應力由于tx

與

ty數值相等,并利用三角函數的變換關系,得

上述關系式是建立在靜力學基礎上，故所得結論既適用于各向同性與線彈性情況，也適用于各向異性、非線彈性與非彈性問題一點的應力狀態，在不同的坐標系中有不同的表現形式，但它們之間是可以轉換的。這種轉換稱之為“應力的坐標變換”，簡稱為“應力變換”（TransformationofStresses）。應力變換的實質——同一點的應力狀態可以有各種各樣的描述方式例題例2-1計算截面

m-m

上的應力解：思考：(x,y,y)給定時，在－平面上，(，

)的軌跡什么形狀？Mohr’scircleofstress應力圓應力圓圓心：半徑：結論：平面應力狀態下，過一點的各方位截面在該點的應力（，

）在—坐標系下構成一個圓——應力圓ConstructionandapplicationofMohr'sCircle應力圓的繪制與應用ConstructingMohr'sCircle繪制應力圓－圓心橫坐標圖解法求斜截面應力同理可證：應力圓——思維分析的工具，而不是計算工具。應力圓上一點坐標對應微體一個截面應力值應力圓半徑所夾角度是微體截面方位角兩倍，且轉向相同.Anangleaonanelementisrepresentedby2aonthecircle,withsamedirectionApointonMohr’scirclerepresentsthestressconditiononthecorrespondingplaneofelement互垂截面，對應同一直徑兩端TheplanesperpendiculartooneanotherarerepresentedbydiametricallyoppositepointsonMohr'scircle.微體平行對邊,對應應力圓同一點22C量得C點的應力為:單位：MPa例：圖示微體，已知=210°，求斜截面應力，。解：x=80MPa，y=-30MPa，x=-60MPa，2=420°=360°+60°60°Example例題例利用應力圓求截面

m-m

上的應力（前例題的圖解法）解：o(0,)(0,)2(-)已知σA，τA

，σB，τB，如何作應力圓。聯AB，并作其中垂線，交軸σ于C，C為圓心AABB已知τ，α，如何作應力圓。o(A,A)(B,B)o(A,A)(B,B)2(-)幾種特殊受力狀態的應力圓單向受力狀態純剪切受力狀態o雙向等拉oo

/2

/2§3

Maximum&principalstressesinplanestateofstress平面應力狀態的極值應力與主應力

MaximumStressesinplanestress

平面應力狀態的極值應力

PrincipalplanesandprincipalStresses

主平面與主應力

ShearingStateofStresses

純剪應力狀態

Examples例題MaximumStressesinplanestress

平面應力狀態的極值應力MaximumShearingStressinPlane

（面內最大切應力）28思考：對于平面應力狀態：是否一定存在正應力為零的面？正應力最大與最小的面在幾何上有何特征？是否一定存在切應力為零的面？正應力最大與最小的面上，切應力有什么性質？PrincipalplanesandprincipalStresses

主平面與主應力Principalplanes主平面－

theplanesonwhichthemaximumandminimumvaluesofσoccur(noshearstressesinexistence)

切應力為零的截面PrincipalStresses主應力－

thenormalstressesactingonprincipalplanes主平面上的正應力主應力符號與規定－主平面微體－相鄰主平面相互垂直，構成一正六面形微體（按代數值排列）s1s2s3si

=?不論一點處的應力狀態如何復雜，都存在一個主平面微體，即任何一點都有三個主平面和主應力應力狀態分類OneDimensionalStateofStresses單向應力狀態：僅一個主應力不為零的應力狀態TwoDimensionalStateofStresses二向應力狀態：兩個主應力不為零的應力狀態ThreeDimensionalStateofStresses三向應力狀態：三個主應力均不為零的應力狀態二向與三向應力狀態，統稱復雜應力狀態2-Dand3-Dstateofstresses:complexstateofstressesShearingStateofStresses純剪應力狀態MaximumStresses最大應力32低碳鋼圓軸扭轉：鑄鐵材料圓軸扭轉：例：純剪應力狀態下不同的斷裂機理：如果兩端再加上一些拉力，則斷裂面的角度大于還是小于45°思考：滑移與剪斷發生在tmax的作用面斷裂發生在smax

的作用面解：1.解析法例用解析法與圖解法，確定主應力的大小與方位2.圖解法35作業：13－2(c),13－4(c)，13-7(b)

36按比例尺畫出應力圓圖解法：最大正應力點在D點，進行測量；最大切應力點在E點，進行測量；對A、B兩截面的夾角進行測量2aB(40,20)A(15,15)CDE例：平面應力狀態下，物體內一點O在A、B兩截面上的應力如圖所示，求該點的最大正應力和切應力及A,B兩截面的夾角。

O37解析法：構造如圖所示微體兩個未知數，兩個方程，求解得：故：1.應力圓上一點坐標對應微體一個截面應力值2.圓上兩點所夾圓心角對應截面法線夾角的兩倍,對應夾角轉向相同主平面－切應力為零的截面主應力極值應力與主應力平面應力狀態應力分析上節課主要內容：§4

Maximumstressesinthree-dimensionalstateofstress三向應力狀態的最大應力

Mohr'scircleinthreedimensions

三向應力圓

Maximumstresses最大應力Examples例題Mohr'scircleinthreedimensions三向應力圓與任一截面相對應的點，或位于應力圓上，或位于由應力圓所構成的陰影區域內Maximumstresses最大應力最大切應力位于與s1及s3均成45的截面平面應力狀態的極值應力例題例5-1已知

sx=80MPa，tx=35MPa，sy=20MPa，sz=-40MPa，求主應力、最大正應力與最大切應力解：畫三向應力圓44例：圖示單元體最大切應力作用面是圖______單位：MPa答：B45例：試作圖示平面應力狀態微體的三向應力圓單位：MPa46練習：畫三向應力圓60MPaz分析：（1）z面是主平面，應力為40MPa（2）另外兩個主平面與z面平行，由x面和y面應力確定Plane

strainanalysis

平面應變狀態應變分析

Strainsatarbitrarydirection任意方位的應變

Mohr'scircleforplanestrain

應變圓

Maximum&principalstrain

最大應變與主應變

Examples

例題Strainsatarbitrarydirection任意方位的應變Forastateofplanestrain(平面應變狀態),weassume微體內各點的位移均平行于某一平面Forastateofplanestress,weassume:平面應變狀態任意方位應變問題：已知應變ex,ey與gxy，求a方位的應變ea

與ga

使左下直角增大之

g為正規定：

方位角

a

以x軸為始邊，為正分析方法要點：疊加法，切線代圓弧分析綜合

上述分析建立在幾何關系基礎上，所得結論適用于任何小變形問題，而與材料的力學特性無關結論任一方位應變：垂直方位切應變：互垂方位的切應變數值相等，符號相反Mohr'scircleforplanestrain應變圓Maximum&principalstrain最大應變與主應變切應變為零方位的正應變－主應變主應變位于互垂方位主應變表示：e1e2e3例題例6-1圖示應變花，由實驗測得0o,45o與90o方位的應變分別為e0,e45與e90，求ex,ey與gxy解：§5

Stress-strainrelationshipofisotropicmaterials各向同性材料的應力應變關系

GeneralizedHooke’slaw

廣義胡克定律

Relationshipbetweenprinciplestressandstrain

主應力與主應變的關系

Examples例題60xxxyyy純剪應力狀態的胡克定理：單向應力狀態的胡克定理：如何確定復雜應力狀態下，應力與應變關系？X研究方法：利用疊加原理，由單向受力和純剪狀態的胡克定理推導復雜應力狀態的廣義胡克定理。GeneralizedHooke’slaw廣義胡克定律廣義胡克定律（平面應力狀態）適用范圍：各向同性材料，線彈性范圍內廣義胡克定律（三向應力狀態）適用范圍：各向同性材料，線彈性范圍內Relationshipbetweenprinciplestressandstrain

主應力與主應變的關系

主應變與主應力的方位重合

最大、最小主應變分別發生在最大、最小主應力方位最大拉應變發生在最大拉應力方位如果s10，且因m<1/2，則例題例7-1

對于各向同性材料，試證明：證：根據幾何關系求e45。根據廣義胡克定律求

e45。比較例7-2邊長為a

=10

mm的正方形鋼塊，放置在槽形剛體內，F

=

8

kN，m

=

0.3，求鋼塊的主應力