云南省曲靖市會澤縣第一中學2021年高一數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（3分）下列式子中成立的是（） A． log0.44＜log0.46 B． 1.013.4＞1.013.5 C． 3.50.3＜3.40.3 D． log76＜log67參考答案：D考點： 冪函數的性質；指數函數單調性的應用．專題： 計算題；函數思想．分析： 分別構造函數，根據函數的性質，比較每組函數值的大小解答： 對于A：設函數y=log0.4x，則此函數單調遞減∴log0.44＞log0.46∴A選項不成立對于B：設函數y=1.01x，則此函數單調遞增∴1.013.4＜1.013.5∴B選項不成立對于C：設函數y=x0.3，則此函數單調遞增∴3.50.3＞3.40.3∴C選項不成立對于D：設函數f（x）=log7x，g（x）=log6x，則這兩個函數都單調遞增∴log76＜log77=1＜log67∴D選項成立故選D點評： 本題以比較大小的形式考查指數函數和冪函數的性質，要求對指數函數和冪函數的單調性熟練掌握．屬簡單題2.一張長方形白紙，其厚度為a，面積為b，現將此紙對折（沿對邊中點連線折疊）5次，這時紙的厚度和面積分別為(

) A．a，32b B．32a， C．16a， D．16a，參考答案：B考點：有理數指數冪的化簡求值．專題：等差數列與等比數列．分析：將報紙依次對折，報紙的厚度和面積也依次成等比數列，公比分別為2和，由此能夠求出將報紙對折5次時的厚度和面積．解答： 解：將報紙依次對折，報紙的厚度和面積也依次成等比數列，公比分別為2和，故對折5次后報紙的厚度為25a=32a，報紙的面積×b=，故選：B．點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細分析，避免錯誤3.已知△ABC中,bcosB=acosA,則△ABC為(

)A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰或直角三角形

D.等腰直角三角形

參考答案：C略4.一個正方體的表面積和它的外接球的表面積之比是(

)．A. B. C. D.參考答案：C【分析】正方體外接球半徑為正方體體對角線的一半，可求得外接球半徑，代入表面積公式求得外接球表面積；再求解出正方體表面積，作比得到結果.【詳解】設正方體的棱長為，則正方體表面積正方體外接球半徑為正方體體對角線的一半，即正方體外接球表面積本題正確選項：C【點睛】本題考查多面體的外接球表面積求解問題，屬于基礎題.5.設方程2x+x+2=0和方程的根分別為p和q，若函數f（x）=（x+p）（x+q）+2，則（）A．f（0）＜f（2）＜f（3）B．f（0）=f（2）＜f（3）C．f（3）＜f（2）=f（0）D．f（0）＜f（3）＜f（2）參考答案：B考點：對數函數圖象與性質的綜合應用；指數函數綜合題．

專題：函數的性質及應用．分析：把兩個方程分別看作指數函數與直線y=﹣x﹣2的交點B和對數函數與直線y=﹣x﹣2的交點A的橫坐標分別為p和q，而指數函數與對數函數互為反函數則關于y=x對稱，求出AB的中點坐標得到p+q=﹣2．然后把函數f（x）化簡后得到一個二次函數，對稱軸為直線x=﹣=1，所以得到f（2）=f（0），再根據二次函數的增減性得到f（2）和f（0）都小于f（3）得到答案．解答：解：方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0可以分別看作方程方程2x=﹣x﹣2和方程log2x=﹣x﹣2，方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分別為p和q，即函數y=2x與函數y=﹣x﹣2的交點B橫坐標為p；y=log2x與y=﹣x﹣2的交點C橫坐標為q．由y=2x與y=log2x互為反函數且關于y=x對稱，所以BC的中點A一定在直線y=x上，聯立得．解得A點坐標為（﹣1，﹣1）根據中點坐標公式得到=﹣1，即p+q=﹣2，則f（x）=（x+p）（x+q）+2=x2+（p+q）x+pq+2為開口向上的拋物線，且對稱軸為x=﹣=1，得到f（0）=f（2），且當x＞1時，函數為增函數，所以f（3）＞f（2），綜上，f（3）＞f（2）=f（0），故選B．點評：此題是一道綜合題，考查學生靈活運用指數函數、對數函數的圖象與性質，要求學生掌握反函數的性質，會利用二次函數的圖象與性質解決實際問題，屬于中檔題．6.已知，，則等于(

)Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．參考答案：C.選C.7.由直線y=x+1上的一點向圓（x﹣3）2+y2=1引切線，則切線長的最小值為（）A．1B．2C．D．3參考答案：C略8.如果拋物線y=的頂點在x軸上，那么c的值為（

）A．0

B．6

C．3

D．9參考答案：D略9.已知函數，則的值為（

）．A．1

B．2

C．4

D．5參考答案：D略10.若，且，則是（

）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角參考答案：C，則的終邊在三、四象限；則的終邊在三、一象限，，，同時滿足，則的終邊在三象限。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下圖為80輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖,則時速大于60的汽車大約有____輛．參考答案：4812.請寫出“好貨不便宜”的等價命題：

．參考答案：便宜沒好貨【考點】四種命題．【分析】寫出原命題的逆否命題，可得答案．【解答】解：“好貨不便宜”即“如果貨物為好貨，則價格不便宜”，其逆否命題為：“如果價格便宜，則貨物不是好貨”，即“便宜沒好貨”，故答案為：便宜沒好貨13.一艘輪船按照北偏西30°的方向以每小時21海里的速度航行，一個燈塔M原來在輪船的北偏東30°的方向，經過40分鐘后，測得燈塔在輪船的北偏東75°的方向，則燈塔和輪船原來的距離是_____海里。參考答案：【分析】畫出示意圖，利用正弦定理求解即可.【詳解】如圖所示：為燈塔，為輪船，，則在中有：，且海里，則解得：海里.【點睛】本題考查解三角形的實際應用，難度較易.關鍵是能通過題意將航海問題的示意圖畫出，然后選用正余弦定理去分析問題.14.非零向量的夾角為，且滿足，向量組由一個和兩個排列而成，向量組由兩個和一個排列而成，若所有可能值中的最小值為，則

．

參考答案：，，向量組共有三種情況，即，向量組共有三種情況，即，所以所有可能值有2種情況，即，，所以所有可能值中的最小值為，所以或解得.

15.不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集是全體實數，則實數的取值范圍是________參考答案：略16.函數的零點有__________個．參考答案：1函數的零點個數等價于方程解的個數，分別作出和的圖象，由圖可知，兩函數圖象有且只有個交點，故函數的零點有且只有一個．17.已知R，則下列四個結論：①的最小值為．②對任意兩實數，都有．③不等式的解集是．④若恒成立，則實數能取的最大整數是．基中正確的是

（多填、少填、錯填均得零分）．.參考答案：①②④三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=ln（ax）﹣（a≠0）．（1）求此函數的單調區間及最值；（2）當a=1時，是否存在過點（﹣1，1）的直線與函數y=f（x）的圖象相切？若存在，有多少條？若不存在，說明理由．參考答案：（1）①a＞0時，則x＞0，函數f（x）在（0，a）上遞減，在（a，+∞）上遞增，故當x=a時，函數有最小值，最小值為f（a）=2lna，②a＜0時，則x＜0，函數f（x）在（﹣∞，a）上遞減，在（a，0）上遞增，故當x=a時，函數有最小值，最小值為f（a）=2ln（﹣a），（2）符合條件的切線有且僅有一條．解析：（1）∵函數f（x）=ln（ax）﹣（a≠0）．∴ax＞0∴f′（x）=﹣=，令f′（x）=0，得x=a，①a＞0時，則x＞0，函數f（x）在（0，a）上遞減，在（a，+∞）上遞增，故當x=a時，函數有最小值，最小值為f（a）=2lna，②a＜0時，則x＜0，函數f（x）在（﹣∞，a）上遞減，在（a，0）上遞增，故當x=a時，函數有最小值，最小值為f（a）=2ln（﹣a），（2）當a=1時，f（x）=lnx+﹣1，（x＞0）設切點為T（x0，lnx0﹣），∴切線方程：y+1=（x﹣1）將點T坐標代入得：lnx0﹣+1=，即lnx0+﹣﹣1=0，①設g（x）=lnx+﹣﹣1，∴g′（x）=，∵x＞0，∴g（x）在區間（0，1），（2，+∞）上是增函數，在區間（1，2）上是減函數，∴g（x）max=g（1）=1＞0，g（x）min=g（2）=ln2+＞0，∵g（）=ln+12﹣16﹣1=﹣ln4﹣3＜0，注意到g（x）在其定義域上的單調性，知g（x）=0僅在（，1）內有且僅有一根所以方程①有且僅有一解，故符合條件的切線有且僅有一條．略19.設全集，集合，，.（1）求和；

（2）若，求實數的取值范圍.參考答案：（1），，（2）由知當時，即時，，滿足條件；當時，即時，且，綜上，或略20.若,,且,

,求下列各值.(1)

(2)參考答案：解：(1)且

\\(2)由(1)知\或21.已知集合，，若，求實數的值.參考答案：解：依題意得1分因為所以,所以集合可分為或.當時,有,所以符合題意;

3分當時,有,所以符合題意;5分當時,有,無解;

7分當時,即方程無實根,所以,無解.

9分綜上,或.

10分22.已知直線l：x﹣y+a=0（a＜0）和圓C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=19相交于兩點A、B，且|AB|=2．（1）求實數a的值；（2）設O為坐標原點，求證：OA⊥OB．參考答案：【考點】直線與圓的位置關系．【專題】綜合題；方程思想；綜合法；直線與圓．【分析】（1）由題意，圓心到直線的距離d===，結合a＜0，即可求實數a的值；（2）證明x1x2+y1y2=0，即可證明：OA⊥OB．【解