1.4.2充要條件新知初探·課前預習題型探究·課堂解透新知初探·課前預習課程標準(1)理解充要條件的意義．(2)會判斷一些簡單的充要條件問題．(3)能對充要條件進行證明．教

材

要

點要點充要條件1．如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有__________，又有________，就記作__________，此時，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡稱為________條件?.2．如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件．概括地說，如果p?q，那么p與q互為

________條件．p?qq?pp?q充要充要助

學

批

注批注?

p是q的充要條件意味著“p成立，則q一定成立；p不成立，則q一定不成立”．基

礎

自

測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)當p是q的充要條件時，也可說成q成立當且僅當p成立．(

)(2)符號“?”表示具有等價性．(

)(3)若p

q和q

p有一個成立，則p一定不是q的充要條件．(

)(4)數學中的每一個定義都是一個充要條件．(

)√√√√2．設p：“兩個三角形相似”，q：“兩個三角形的三邊對應成比例”，則p是q的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C.充要條件D．既不充分也不必要條件答案：C解析：兩個三角形相似?兩個三角形的三邊對應成比例，即p?q，故p是q的充要條件．3．在△ABC中，AB>AC是∠C>∠B的________條件(

)A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要答案：C解析：因為在△ABC中，邊大則角大，角大邊也大，所以AB>AC是∠C>∠B的充要條件．4．若p是q的充要條件，q是r的充要條件，則p是r的________條件．充要條件解析：因為p?q，q?r，所以p?r，所以p是r的充要條件．題型探究·課堂解透題型1充要條件的判斷例1

(多選)在下列四個結論中，正確的有(

)A．“x2＞4”是“x3＜－8”的必要不充分條件B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC為直角三角形”的充要條件C．若a，b∈R，則“a2＋b2≠0”是“a，b不為0”的充要條件D．若a，b∈R，則“a2＋b2≠0”是“a，b不全為0”的充要條件答案：AD解析：對于結論A，由x3＜－8?x<－2?x2＞4，但是x2＞4?x>2或x＜－2?x3<－8或x3＞8，不一定有x3＜－8，故A正確；對于結論D，由a2＋b2≠0?a，b不全為0，反之，由a，b不全為0?a2＋b2≠0，D正確．方法歸納判定充要條件常用方法鞏固訓練1

(1)命題“x＝1且y＝2”是命題“x2＋y2＝2x＋4y－5”的(

)條件A．充要

B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要答案：A解析：由x2＋y2＝2x＋4y－5，可得(x－1)2＋(y－2)2＝0，解得x＝1且y＝2，所以“x＝1且y＝2”是“x2＋y2＝2x＋4y－5”的充要條件．(2)(多選)設r是p的必要條件，r是q的充分條件，s是r的充分必要條件，s是p的充分條件，則下列說法正確的有(

)A．r是q的必要條件B．s是q的充分條件C．s是p的充分必要條件D．p是q的既不充分也不必要條件解析：由題意，p?r，r?q，r?s，s?p，則p?r?s?q.答案：BC題型2充要條件的證明例2求證：關于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一負根的充要條件是ac＜0.

方法歸納充要條件的證明思路根據充要條件的定義，證明充要條件時要從充分性和必要性兩個方面分別證明．一般地，證明“p成立的充要條件為q”：①充分性：把q當作已知條件，結合命題的前提條件，推出p；②必要性：把p當作已知條件，結合命題的前提條件，推出q.

鞏固訓練2

求證：一次函數y＝kx＋b(k≠0)的圖象過原點的充要條件是b＝0.

證明：①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，x＝0時y＝0，函數圖象過原點．②必要性：因為y＝kx＋b(k≠0)的圖象過原點，所以x＝0時y＝0，得0＝k·0＋b，b＝0.綜上，一次函數y＝kx＋b(k≠0)的圖象過原點的充要條件是b＝0.題型3充要條件的探求例3已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有兩個大于1的實數根的充要條件．

方法歸納探求充要條件的方法鞏固訓練3

設a，b∈R，則“ab＋1＝a＋b”的充要條件是(

)A．a，b都為1

B．a，b不都為1C．a，b中至少