光波場的描述第一頁，共二十七頁，2022年，8月28日A—振幅，T—時間周期，

—時間頻率，

—時間圓（角）頻率，且

—簡諧振動在t時刻的相位，它描寫振動的狀態0—初相位，即t=0

時刻的相位波的基本概念波動是振動的傳播過程，被傳播的是一個分布在某一空間范圍的物理量，而這個量又是隨時間變化的。所以一個波動過程也稱為一個波場，波場中各點的振動之間存在著相互關聯性。波動的特點是它具有時空周期性。第二頁，共二十七頁，2022年，8月28日波函數：描述波動過程中被傳播的物理量隨空間位置和時間t而變化的函數關系式。1.1一維平面簡諧波簡諧波—

簡諧振動的傳播。平面簡諧波—

波面是平面的簡諧波

。（1）平面簡諧波的波函數設一維平面簡諧波以速度V沿z軸正方向傳播，則其波函數：第三頁，共二十七頁，2022年，8月28日

—波長，相隔為波長的整數倍的兩點具有相同的振動狀態。1/稱為空間頻率，它表示傳播方向上單位長度內的波長數。k=2/—空間圓頻率或波數，它表示沿傳播方向2長度內的波長數。(z,t)=t–kz+0—波的相位，它是余弦函數的整個自變量。相位決定振動狀態，相位恒定則振動狀態也一定，在波動過程中，振動狀態的傳播就是恒定相位狀態的傳播。（2）平面簡諧波的相速如果跟蹤某一振動狀態，則它在不同時刻t出現于不同地點z時應滿足：(z,t)=t–kz+0

=常量第四頁，共二十七頁，2022年，8月28日兩邊取全微分某一振動狀態或恒定相位狀態沿z軸傳播的速度稱為相速在平面簡諧波中，相速也就是波函數表達式中的波的傳播速度，通常稱為波速。波動的時間周期性和空間周期性通過相速Vp相聯系。色散：在介質中，相速隨波長(頻率)變化的現象。下表列出了描述時間周期性物理量和空間周期性物理量之間的對應關系。第五頁，共二十七頁，2022年，8月28日時間性物理量空間性物理量符號名稱備注符號名稱備注T周期時間周期波長空間周期v頻率v=1/Tf空間頻率f=1/

圓頻率

=2vk波數k=2f（3）平面簡諧波的復指數函數形式為了運算方便，可把平面簡諧波的波函數寫成復指數函數形式

第六頁，共二十七頁，2022年，8月28日可見，復指數函數形式的波函數的實部就是波函數，為簡單起見，在書寫時可省略表示實數部分的符號Re，而將波函數寫成：

它表示沿z軸正方向傳播的平面簡諧波采用復指數函數的波函數中，時間相位因子和空間相位因子完全分開，在討論簡諧波場中各點的空間分布時，時間因子總是相同的，常可略去不寫，剩下不含時間的空間分布相因子叫做復振幅復振幅第七頁，共二十七頁，2022年，8月28日復振幅描述了波場的振幅和它的相對空間相位分布，也稱為波場分布。其共軛復數為：

復振幅的共軛復數光波強度可用下式求得復指數函數是周期性函數，其周期是2i，即m為整數常用關系式：歐拉公式：第八頁，共二十七頁，2022年，8月28日1.2三維平面簡諧波設一列波長為的平面簡諧波沿矢量的方向傳播，稱為波矢量，其大小等于波沿方向的空間圓頻率(波數)。設相鄰兩波面的距離為波長，某波面上有一點P0，其矢徑為，且與同方向，則其波函數為

該波的波面是垂直于波矢的平面，如圖所示。式中r0為O至P0的距離第九頁，共二十七頁，2022年，8月28日現考察在某一時刻，同一波面上任一點P(x,y,z)的振動，因P與P0處于同一波面，故P與P0點振動相同，則P點的波函數取為：設O至P的矢徑為，則有代入上式得：波函數在P點的值若用復指數函數形式表示，則其復振幅為第十頁，共二十七頁，2022年，8月28日復振幅若傳播方向的方向余弦為(cos，cos，cos)，則的三個分量為：第十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日從上式可知，平面簡諧波具有兩個特點：①振幅A是常量，它與場點P的坐標無關。②相位的空間分布是直角坐標的線性函數。上式中的fx、fy、fz分別稱為x、y、z方向的空間頻率空間周期第十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日空間周期和空間頻率的物理意義例：沿平面上方向傳播的平面簡諧波的波長為，就是沿方向的空間周期，即相位相差2的波面的間隔。顯然，波面隨空間的分布與考察的方向有關。在x軸方向，相距的波面在x軸上的截距為，同樣，這兩個波面在y軸上的截距為，x和y

分別表示在x方向和y方向具有相同振動相位的兩相鄰點之間的距離，它就是沿x軸和y軸方向的空間周期，而它們的倒數就是相應的空間頻率。它們分別表示沿x軸和y軸方向每增加單位長度，簡諧波場增加的周期數。xy第十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日在此特例中，波面與z軸平行，則綜上所述，我們可以得到，一列沿任意方向傳播的平面簡諧波的復振幅為：此式表明，一組空間頻率(fx，fy，fz)對應于一定方向傳播的單色平面波。不同的空間頻率分量組，對應于不同方向傳播的單色平面波。xy第十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日

空間周期空間頻率空間圓頻率方向x方向y方向z方向且空間頻率矢量也叫空間圓頻率矢量此波在直角坐標系中三個坐標軸方向的空間周期，空間頻率，空間圓頻率列表如下第十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日例2.1一列平面波的傳播方向平行于xz平面，與z軸成傾角，寫出它在z=0面上的復振幅分布。解：θOxz設0=0，則在波前z=0面上第十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日1.3球面波傍軸近似和遠場近似所有光源或發光物體都可以看成是由許多點光源組成的，每個點光源向周圍空間輻射發散球面波，其波函數為：振源到場點P的距離到振源為單位距離的場點的振幅A(P)=a/r是P點的振幅在光學中，波場中的任一曲面或平面稱為波前，而實驗和應用中大多數是在平面上觀察波的分布，所以現在討論球面波在x–y平面上的表示方法。第十七頁，共二十七頁，2022年，8月28日球面波的點源P0到P的距離場點xy平面到P0的距離設0=0，則在xy平面上波的復振幅為當xy平面遠離P0點時，常考慮兩種近似條件(1)傍軸近似，滿足條件：x2+y2<<z2式中rz(x,y)第十八頁，共二十七頁，2022年，8月28日在傍軸條件下，發散球面波在xy平面上的復振幅(費涅耳近似)若是向P點會聚的球面波，則P點的光場表示為發散球面波會聚球面波(費涅耳近似)(2)遠場近似，滿足條件：

或

rzrz第十九頁，共二十七頁，2022年，8月28日在遠場近似下，球面波在xy平面上的復振幅表示發散球面波會聚球面波這兩式表示平面波，可見只有同時滿足傍軸條件和遠場條件，球面波的波前才完全過度到平面波的波前，在此情況下，球面波在xy平面上可近似看成平面波。單色光的概念：只含單一頻率(波長)的光稱為單色光。第二十頁，共二十七頁，2022年，8月28日在光學中，嚴格的單色光就是理想的平面簡諧波；任何在空間或時間上有限的光波都不是嚴格的單色光。②在時間上也是無限延伸的，即在其波函數中，對于任一固定的坐標z，?∞<t<+∞。所以，理想的平面簡諧波是一種無頭無尾，無始無終，在空間和時間上都無限變化的單一頻率的波。是在空間各點的振動頻率都相同，而且振幅不隨時間變化的正弦或余弦波。理想平面簡諧波特點是：①在空間上是無限延伸的，即在其波函數中，對于任一固定的時刻t，?∞<z<+∞。第二十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日另一方面，任何一個非簡諧波都可以看成是由許多不同頻率，不同振幅的簡諧波的疊加結果，這是因為在一般情況下光波遵從波的疊加原理。我們可以利用數學上的傅利葉分析方法有效地進行疊加和分解。實際的光源發出的都不是嚴格的單色光波，而是包含各種波長成份。若光波中只包含波長范圍很窄的成份，則這種光稱為準單色光。通常所說的單色光就是指準單色光。在很多情況下，準單色光可以近似地用平面簡諧波來描寫。第二十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日§2波動方程和疊加原理波函數所遵循的二階線性偏微分方程稱為波動方程。波函數就是波動偏微分方程在一定邊界條件下的解。一維波動方程三維波動方程拉普拉斯算符波動方程簡寫V是波的傳播速率從數理方法中可以知道，用分離變量法可得一維波動方程在一維無界空間的解。第二十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日例2.2證明上式是一維波動方程的解證明：比較(2)、(4)兩式得（證畢）第二十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日波動方程中，因波函數(,t)和它的導數只出現一次冪，所以是線性偏微分方程。凡是線性微分方程描述的系統都稱為線性系統。線性齊次微分方程的一個重要特性是它的解滿足疊加原理。如果函數1(,t),2(,t),3(,t)···,m(,t)中，每一個都是波動方程的解，那么這些解的線性組合也將是方程的解。第二十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日即∴1+2

也是波動方程的一個解。證明：根據題意有兩式相加有例2.3若1(,t)和2(,t)是一維波動方程的兩個解，試證明1(,t)+2(,t)也是方程的一個解。第二十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日波的疊加就是空間每點振動的合成標量波矢量波