首都師范大學附屬麗澤中學培優講座北京豐臺二■中特級教師張健專題三：數列綜合問題如圖所示：有三根針和套在一根針上的n個金屬片，按下列規則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.每次只能移動一個金屬片；在每次移動過程中，每根針上較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.將n個金屬片從1號針移到3號針最少需要移動的次數記為f(n).貝帷f(3)=:②f(n)=.解析碩1)=1頂2)=3頂3)二羊2)+1=7.②先把上面的n-1個金屬片移到2號針，需要f(n-1)次，然后把最下面的一個金屬片移到3號針，需要1次，再把2號針上的n-1個金屬片移到3號針，需要f(n-1)次，所以f(n)=2f(n-1)+1,得f(n)+1=2f(n-1)+1],故數列f：n)+1｝是以2為首項，公比為2的等比數列，所以f(n)+1=2n，于是f(n)=2〃-L —將全體正奇數排成一個三角形數陣： II按照以上排列的規律，第45行從左向右的第17個數為. 13】51719解析觀察數陣，記第n行的第1個數為勾，則有 ?j￥一"十、?’a2-%=2，a3-a2=4，a4-a3-6,a5-a4=8,勾-勾-1-2(〃-1)-將以上各等式兩邊分別相加，得a〃-%=2+4+6+8+…+2(n-1)=n(n-1),所以an=n(n-1)+1,所以a45=1981.又從第3行起數陣每一行的數都構成一個公差為2的等差數列，則第45行從左向右的第17個數為1981+16X2=2013.等比數列｛an｝中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數，且a1，a2,a3中的任何兩個數不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818求數列｛an｝的通項公式；若數列｛婦滿足：如=a〃+(—1)nlnan，求數列｛婦的前n項和Sn.解(1)當a1=3時，不合題意；當a1=2時，當且僅當a2=6,a3=18時，符合題意；當a1-10時，不合題意.因此a1=2,a2=6,a3=18.所以公比q=3.故an-2-3n-1(nEN*).(2)因為bn=an+(-1)nlnan=2?3n-1+(T)nln(2?3n-1)=2-3n-1+(-1)n[ln2+(n-1)ln3]=2?3n-1+(-1)n(ln2-ln3)+(-1)nnln3,^^以Sn=2(1+3+，,，+3n-1)+[-1+1-1+...+(-1)n]-(ln2-ln3)+[-1+2-3+...+(-1)nn]ln3.n當n為偶數時，Sn=2X^^+知3=3n+知3-1；當n為奇數時，S=2X~3n-(ln2-ln3)+[二！-Jln3=3n-土^ln3-ln2-1.n1-3 V2 7 2

〃為偶數，<3〃+知3-1,綜上所述，Sn=jnn-〃為偶數，、3n ln3-In2-1,n為奇數.4.(2013?廣東)設數列｛an｝的前n項和為Sn，已知a1=1,^nn=an+1—|n2—n—|,nEN*.求a2的值；求數列｛an｝的通項公式；TOC\o"1-5"\h\z1 1 17(3)證明：對一切正整數〃，有丁+； —<4.a1a? a〃412⑴解2S]=a2-3-1-3，又S1=a1=1,所以a2=4.1 22-3-1)-(2n(2)解當nN2時，2Sn=nan+1-歡3-〃2-礦，2Sn_1=(n-1)an-|(n-1)3-(n-1)2-如-1),兩式相減得2an=nan+1-(n-1)an-2-3-1)-(2n整理得(n+1)an=nan+1-n(n+1)，即n+j-￥=1,又號-罟1，故數列仔是首項為罟「公差為您等差數列，(3)證明1 1 1工1 1 1 1 +…+ 二1a1a2a3 an所以卡二1+(n-1)X1二n，所以(3)證明1 1 1工1 1 1 1 +…+ 二1a1a2a3 an+1+—+』+…+1<1+1+~^+-Q_5+11_717

—1—n)42n4n<4,-Q_5+11_717

—1—n)42n4n<4,—1——二1+1+(』-4+□-!■)+?..+f-^—n(n-1)4<23)<34) "n-1所以對一切正整數n，有1+—+?-+—<7a1a2 an45. (2012.廣東)設數列｛an｝的前n項和為Sn，滿足2Sn=an+1—2n+1+1，nEN*,a1=1求數列｛an｝的通項公式；1 1 13證明：對一切正整數〃，有一+— 一vg.a1a2 an2解：(1) ?：2Sn—an+1-2n+1+1,①.?.當nN2時,2S —a-2n+1.②

①-②得2an=an+l-aw-2n+1+2n，^an+l=3an+2兩邊同除以2n+1得圣二3.普+1，.?.％+1+1=3停+1).又由(1)知畢+1=3傳+1)，2n+122n2 2n+1 2\2n 22 2<21???數列假???數列假+1(是以3為首項，3為公比的等比數列，--2n?京+1=；?(Dn-1=(|)n,：?an=3n-2n，即數列｛。〃｝的通項公式為a〃=3n-2〃.(2)證明 Van=3n-2n=(1+2)n-2n二C^1n.20+C/Jn-1.21+C?」”-2迎2+…+%1o2n-1+2n+2(n2-n)+…+2n-2n>1+2n+2(n2-n)-1+2n2>2n2>2n(n-1),?.1-^< 1 -1 1an 3n-2n2n(n-1)2n(n-1)?1+W+?1+W+…+\1+112 n出+&+*-1+21-【+』-[+…「223工1七 1)_3 1 3 1工1工 工1 3-1+S(1-二J-S-廠5， 艮口一+—+…+—<：.2(卻2 2n 2 a1a2 an 26.已知數列｛勾｝的通項公式為、=4X(|)n-1,證明：｛b｝中的任意三項不可能成等差數列.6.證明：假設存在某三項成等差數列，不妨設為bm、bn、bp，其中m、n、p是互不相等的正整數，可設m<n<p，而?-卜(2)-1隨n的增大而減小，那么只能有2b-b+b，可得2X1X(|jn-1=!x(2)m-1+>(2〉-1,nmp 4 \^J 4 \^J 4 \37則2xG)n-m-1+G)p-m.當n-mN2時，2X(|jn-m<2x(|j2=|，上式不可能成立，則只能有n-m-1，此時等式為3=1+(!)-m,即1-(2Ip-m,那么p-m-log|1，左邊為正整數，右邊為無理數，不可能相等.所以假設不成立，那么數列｛匕｝中的任意三項不可能成等差數列.27.已知數列｛an｝和｛勾｝滿足：a1=A,an_^=3an+n—4,bn=(—1)n(an—3n+21),其中義為實數，n為正整數.對任意實數兀證明：數列｛%｝不是等比數列；試判斷數列｛婦是否為等比數列.證明假設存在一個實數A，使｛叫是等比數列，則有a2=a1a3，即^-3)2或(*-4)0*2-4A+9=9a2-4209=0，矛盾.所以｛a〃｝不是等比數列.解因為bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]=(-1)n+1(2；an-2n+14)=-3(-1)n?(an-3n+21)=-3bn,又b1=-(2+18)，所以當2=-18時，匕=0(〃en*)，此時｛婦不是等比數列；當2己-18時，?=-(2+18)力0,由bn+1=-bn,可知b—0，所以b1=-3(nGN*).n故當2^-18時，數列｛bj是以-(2+18)為首項，-2為公比的等比數列；綜上知，當2=-18時，數列｛匕｝構不成等比數列；當2^-18時，數列｛bn｝是以-(2+18)為首項，-2為公比的等比數列.已知等差數列｝的首項和公差都是1，其前n項和記為S.等比數列b｝的n 3 n n各項均為正數，公比為q,其前n項和記為J.(I)寫出Sj(i=1,2,3,4,5)構成的集合A；(II)若q為正整數，是否存在大于1的正整數k，使得J,七同時為集合A中的元素若存在，寫出所有符合條件的bj的通項公式；若不存在，請說明理由；(m)若將Sn中的整數項按從小到依次排列構成數列H，求H的一個通項公式.解：(I)因為等差數列｛a｝共有5項，首項和公差都是1，n 3一如1,n、n(—+一如1,n、n(—+—)33 n(n+1)2 6…T—

因為t=2,所以k—1所以b=-nn",T^=2.，(n>1,ngN*).kb=1.又k>1,所以b=-(k>1,kgN*).11kb(1-qk)T1-q，2kb(1-q2k)T—2kTk1, 1 1/A1 1所以匕=為d=§，氣=3+(n-1)?3=3n，又1Jn<5，所以A={3,1,2,~3,5(II)因為｛b｝是等比數列，且bn＞0,qgN*，J為｛b「的前n項的和，若存在大于1的正整數k，使T,匚,同時為集合A的元素，若q=1，Tk=kb「孔廣2燦1,因為q>1且qgN*,所以qk>2.r1r1T=-,T=-,5k3r1r1T=-,T=-,5k3或5k3'或5T=1;T=2;2k12kX.則TkT2k13,103;TkT2k1虧或=5;",T2k=5.TkT2k_1=3,，=1；則1+qk=3,qk=2,因為q>2,k>1,所以qn=2無解;T

kT

kT2k3,則1+qk=6,qk=5,因為qgN*，所以qn=5無解;=2;則1+qk=10,qk=9,則510 ik—2.:—3；所以牛1-32'=1,b=1,b=—x3n-1=1x3n-2；所以1-3 3'112n12 4T一1—,k3則1+qk=15,qk=14,因為qgN*，所以qn=14無解;Iq=2,

k=2.七=5；Iq=2,

k=2.若L:則1+qk=5,qk=4,則IT=5.'2kb(1-22) 7 1 1。所以 一=1,b=3,b=3X2〃-1. 10分綜上所述，存在符合條件的數列{bn},其通項公式分別為b〃=〃(n>1,ngN*),b=4X3n-2,b=3X2n-1.c n(n+1)1n(n+1)(iii)因為氣=七=^x*3),當n=3k(kgN*)時，Sn=2k(3k+1)，不論n為奇數還是偶數，氣均為整數；當n=3k-1(kgN*)時，，廣2k(3k-1)，不論n為奇數還是偶數，S.均為整數;當n=3k-2(kgN*)時，S=j(3k-2)(3k-1)，(3k-2)(3k-1)不能被3整除，n6(n+1)(3n(n+1)(3n+1),n為奇數所以c=<

n8所以c=<

nn(3n+2),n為偶數8(2013北京理科)已知｛an｝是由非負整數組成的無窮數列，該數列前n項的最大值記為An，第n項之后各項a^+1，a”…的最小值記為B，d=An-Bn1，4,3...，是一個周期為4的數列(即對任意nEN*1，4,3...，是一個周期為4的數列(即對任意nEN*，d3,d4的值;a+4=a)，寫出dd3,d4的值;d=-d(n=1,2,3...)d=-d(n=1,2,3...)的充分必要條件為｛an｝為公差為d的等差數列；證明：若a1=2,dn=1(n=1,2,3...)，則｛an｝的項只能是1或2，且有無窮多項為1解：(1)d]=d2=1,d3=d4=3;(2)證明：(充分性)因為公差d>0，所以數列｛an｝是單調遞增數列或常數列，即a1<a2<??-<a<■■-因此A=a;B=a+】，所以d=a—a+】=-d。(必要性)1因為d=-d<0，所以A」B：+dn<Bn，又因為an<A^,a仲>Bn，所以氣<a^，即數列｛勾｝是遞增數列或常數列，于是A=a,B=a+1，從而公差a+1-a=B-A=d，即｛an｝是公差為d的等差數列。”(3)因為a1= 2,d1 =1，所以A1 =a1 =2,B1= A1-d=1，故對任意n> 1,a >B1 =1。假設數列｛an｝(n>2)中存在大于‘2的項，設m是滿足a/2的最小正整數，顯然m>2.由于a1=2，所以Am-1=2貝9Am=am>2，而dm=1，所以Bm=A^m-dm=am-1>1，所以Bm-1=min｛am,Bm｝>2，所以d,=A，-B,<2-2=0，這與d,=1矛盾.m-1 m-1 m-1 m-1所以對于任意n>1，有an<2，即非負正數數列｛an｝的各項只能是1或2.因為對任意n>1,a<2=a1，所以A=2,故B=A-d=2-1=1，因此，對任意n>1，存在m滿足m>n，且a=1，即數列｛an｝有無窮多項為1.a+a10.(東城期末)若無窮數列｛a｝滿足：①對任意neN*，n2"'+<氣+1；②存在常數M，n對任意neN*，a<M，則稱數列｛a〃｝為“T數列”.(I)若數列｛an｝的通項為a廣8—2n(neN*)，證明：數列｛a〃｝為“T數列”；(II)若數列｛a〃｝的各項均為正整數，且數列｛a〃｝為“T數列”，證明：對任意neN*，(III)若數列｛a〃｝的各項均為正整數，且數列｛a〃｝為“T數列”，證明：存在n0eN*數列｛a ｝數列｛a ｝為等差數列.n0+n(I)證明：由a.=8—2n可得a2=8-2n+2，a=8-2n+1，所以a+a一2a=8-2n+8-2n+2-2(8-2n+1)=-2n<所以a+a一2aa+a所以對任意neN*，n2n12<an+1.又數列｛a」為遞減數列，所以對任意neN*，a”<匕=6.所以數列｛a｝為“T數列”.n(I)證明：假設