會計學1材料力學能量方法剖析13-1概述 13-2桿件應變能的計算

13-3應變能的普遍表達式13-4互等定理13-5虛功原理13-6莫爾積分第1頁/共49頁彈性體受拉力P作用，當P從零開始到終值緩慢加載時，力P在其作用方向上的相應位移也由零增至終值ΔL；一方面：力要做功；彈性體因變形而具有做功的能力，力的作用點沿力的方向有位移另一方面：表明桿件內儲存了應變能13-1概述 P第2頁/共49頁如果略去變形過程中的動能及其它能量的損失；功能原理若外力在由零緩慢加載到終值，變形中的每一瞬間，變形體均處于平衡狀態；由能量守恒原理，桿件的變形能U在數值上應等于外力做的功W；對變形體都適用的普遍原理W=U第3頁/共49頁因為變形體產生塑性變形時要消耗一部分能量，留下殘余變形。彈性固體變形是可逆的；當外力解除后，彈性體將恢復其原來形狀，釋放出變形能而做功。但當超出了彈性范圍，對于發生塑性變形的固體，變形能不能全部轉變為功，第4頁/共49頁也是當今應用甚廣的有限元法求解力學問題的重要基礎。能量原理固體力學中運用功與能有關的基本原理；由能量原理發展出來的方法；能量法能量原理是從功與能的角度考察變形體的受力、應力與變形的原理與方法；是進一步學習固體力學的基礎第5頁/共49頁能量法的用處能量法的優點不管中間過程，只算最終狀態能量是標量，容易計算用于求位移第6頁/共49頁13-2桿件應變能的計算

線彈性條件下，通過外力功求應變能常力P

沿其方向線位移l上所作的功常力作功（P為恒力）：變力作功（P從0逐漸增加到最終值）：在線彈性范圍內，外力P

與位移l

間呈線性關系。荷載由零緩慢加載到終值；變形也由零緩慢變化到終值第7頁/共49頁式中：——廣義力（力、力偶）——廣義位移（線位移、角位移）l變力作功（P從0逐漸增加到最終值）：1、軸向拉伸或壓縮LPP桿的應變能第8頁/共49頁由拉壓桿件組成的桿系的應變能：受力復雜桿(軸力沿桿的軸線變化)的應變能P2PKBCD12345qLxdx第9頁/共49頁2、圓截面桿的扭轉應變能圓截面桿的應變能

m第10頁/共49頁受力復雜的圓截面桿(扭矩沿桿的軸線為變量)

xdxLtAB第11頁/共49頁3、平面彎曲的應變能純彎曲梁的應變能：m第12頁/共49頁橫力彎曲梁(彎矩沿梁的軸線為變量)的應變能（忽略剪力影響）Pm=PaACBaa第13頁/共49頁一、克拉貝依隆原理13-3應變能的普遍表達式廣義力P1，P2，…，Pn作用于物體，且設按同一比例系數β從零增長到終值。相應地物體產生變形δ1，δ2，…，δn，對于線性彈性材料，則變形也將按相同比例β增加；P2P1Pnδ1δ2δn第14頁/共49頁β從0到1外力做功物體的應變能為克拉貝依隆原理第15頁/共49頁組合變形時的變形能，，

桿件在拉（壓）、剪切、扭轉和彎曲這些基本變形共同作用下第16頁/共49頁例

試分別計算圖示各梁的變形能例圖第17頁/共49頁解：求各梁的變形能從例

可看出abc第18頁/共49頁13-4互等定理考慮兩組力P，Q作用于物體;第一組力有m個載荷P1，P2，…，Pm;第二組力有n個載荷Q1，Q2，…，Qn。第19頁/共49頁若先將第一組力Pi（i=1,2,…,m）力做功P1PiδP1δPiδQ1δQjQ1QjQj在其相應位移上做功為隨后作用上第二組力Qj（j=1,2,…,n）第20頁/共49頁因為Pi力的存在，且已達到終值且值不變；Pi在Qj產生的位移做功P1PiδP1δPiδQ1δQjQ1Qjδ’Piδ’P1第二組力Qj引起第一組力的作用點的位移第21頁/共49頁先加P后加Q時做功總和為：

將加載次序反過來，先加力Q后加力P，Qj在相應位移上做功為：再加Pi(i=1,2,…,m)力，Pi在其相應位移做功第22頁/共49頁同時物體上已作用有Qj且其值不變，Qj在由于Pi引起的Qj作用點沿Qj方向的位移上做功兩組力所做的總功為：第23頁/共49頁由于變形能只決定于力與位移的最終值，與加力次序無關，故有V1=V2，

功的互等定理第24頁/共49頁位移互等定理設兩組力Pi、Qj只有一個力P1、Q1作用于物體，若，則有位移互等定理F2F1位移發生點荷載作用點第25頁/共49頁F2F1第26頁/共49頁功的互等定理:位移互等定理:第27頁/共49頁APLaB例題：裝有尾頂針的車削工件可簡化成超靜定梁，如圖，試用互等定理求解。第28頁/共49頁第一組力：第二組力第一組力在第二組力引起的位移上做功APLaBRP、RX=1δ1δ2X=1第29頁/共49頁第二組力在第一組力引起的位移上做功：功互等定理APLaBRX=1δ1δ2零第30頁/共49頁1、相關概念

實功—力在其自身引起的線位移或角位移上所做的功。13-5虛功原理一物體在大小與方向不變的力F

作用下，沿光滑地面移動距離△，力F

作的功可表示為W=F△

（a）圓盤在大小與轉向都不變的力偶M=2Pr作用下，轉動的角位移為φ，力偶M作的功為W=Mφ

（b）第31頁/共49頁虛位移—與做功力無關的其它因素（如其它載荷、溫度改變

及支座移動等）造成的位移；虛功—力在虛位移上所做的功。懸臂桿，外力F在環境溫度變化引起的變形△l上作的功為:

W=F△l

（c）這個功就是虛功。ABFΔll第32頁/共49頁右圖所示為外力作用下處于平衡狀態的桿件，圖中實曲線為桿件實際受力下的真實變形。

再由其它因素（如其它載荷、溫度改變及支座移動等），繼續引起桿件產生變形，并位移到虛線位置，這種增加的位移稱為“虛位移”，圖中：D*。虛功為恒力做功，故沒有1/2的系數，其表達式為：第33頁/共49頁2、虛功原理若以表示桿件上的外力（廣義力），表示外力作用點沿外力方向的虛位移，產生虛位移中外力保持不變，則其總虛功為：（a）桿件在外載作用下，形成一“力狀態”，同時在其他因素作用下產生一“位移狀態”，則力狀態的力就會在位移狀態的位移上做虛功

第34頁/共49頁而按另一種方法計算總虛功，取右圖所示微段，分析表明：只有兩端內力在其虛變形上做虛功，為（b）積分式（b）得桿件的總虛功為（c）第35頁/共49頁按上述兩種方式求得的總虛功應相等，即：(a)=(c)為上式就是虛功原理，即：在虛位移中，外力所作虛功等于內力在相應虛變形上所作虛功（虛應變能）。若桿件上還有扭轉力偶矩Me1,Me2,…；則微段內力就會存在扭矩Mx，此時上式表示為（e）（d）第36頁/共49頁常見應用:（1）虛設位移狀態，可求出相應未知力；稱為虛位移原理。（2）虛設力狀態，可求出相應位移；稱為虛力原理，見下節莫爾積分。第37頁/共49頁1單位載荷法利用虛功原理可導出計算結構一點位移的單位載荷法，具體步驟如下：就在結構的位移點沿位移方向虛設一單位力（如圖b所示）。為求結構任一指定位移D（如圖a所示）；位移狀態力狀態把圖（b）作為虛功原理的力狀態，再把圖（a）作為其位移狀態，則虛功原理可化為：13-6莫爾積分（13.1）第38頁/共49頁對以抗彎為主的桿件，（13.1）式化為：對只有軸力的拉伸或壓縮桿件，（13.1）式化為：（13.3）若軸力沿桿軸線為常量，（13.3）式化為：（13.4）（13.5）（13.2）同理，對受扭桿件，亦可推導得：第39頁/共49頁注意點:（1）單位載荷法中的單位力，可為一個力或力偶，也可是廣義力。（2）以上諸式中的D，是單位力作功1·D的縮寫，若其結果為正，表示D和單位力方向相同，為負則相反。第40頁/共49頁在線彈性下，則桿件的彎曲、拉伸和扭轉變形分別是：（13.7）故線彈性下，式（13.2）,（13.3）,（13.5）可簡化為：（13.6）（13.8）第41頁/共49頁式（13.6）,（13.7）,（13.8）統稱為莫爾定理，式中的積分稱為莫爾積分；注意：它們只適用于線彈性結構。（13.8）對于以彎矩為主，且桿軸為曲線的結構，其莫爾積分可由式（13.6）改寫為：（13.9）（13.7）（13.6）第42頁/共49頁步驟：

1.寫出原結構在真實荷載作用下的彎矩方程M；

2.構造虛力狀態，沿計算方向加單位力（廣義）；

3.寫出原結構只在單位力作用下的彎矩方程（坐標系必須與第一步求彎矩方程所用的相同）4.計算Mohr積分（剛架中全部桿件，略去FN,FQ）；5.結果若為正，位移方向與單位力相同，負則相反；第43頁/共49頁例題：圖（a）所示均布載荷作用下的懸臂梁，其EI為常數。試用莫爾積分計算梁端點A豎直位移DA。解：位移狀態力狀態分別計算圖（a），（b）的彎矩方程：構建一虛擬力狀態：圖（b）代入莫爾積分公式有：第44頁/共49頁試用莫爾定理求截面B點的垂直位移和水平位移.求B點的垂直位移,在B點加垂直單位力1如圖(b)所示.(2)求B點的水平位移,在B點加水平單位力1如圖(c)所示.圖(a)RFBA1圖(b)RBAR1BA圖(c)第45頁/共49頁用能量法求C點的撓度和轉角。梁為等截面直梁。