會計學1RLC串聯電路的零輸入響應§9－1RLC串聯電路的零輸入響應一、RLC串聯電路的微分方程圖9－1RLC串聯二階電路

為了得到圖9－1所示RLC串聯電路的微分方程，先列出KVL方程第1頁/共42頁

根據前述方程得到以下微分方程

這是一個常系數非齊次線性二階微分方程。

其特征方程為

其特征根為

零輸入響應方程為第2頁/共42頁

電路微分方程的特征根，稱為電路的固有頻率。當R，L，C的量值不同時，特征根可能出現以下三種情況1.時，為不相等的實根。過阻尼情況。2.時，為兩個相等的實根。臨界阻尼情況。3.時，為共軛復數根。欠阻尼情況。第3頁/共42頁二、過阻尼情況

當時，電路的固有頻率s1，s2為兩個不相同的實數，齊次微分方程的解答具有下面的形式

式中的兩個常數K1，K2由初始條件iL(0)和uc(0)確定。

對式(9－5)求導，再令t=0得到第4頁/共42頁

求解以上兩個方程，可以得到

由此得到電容電壓的零輸入響應，再利用KCL方程和電容的VCR可以得到電感電流的零輸入響應。第5頁/共42頁例9-1電路如圖9-1所示，已知R=3,L=0.5H,C=0.25F,

uC(0)=2V,iL(0)=1A，求電容電壓和電感電流的零輸

入響應。解：將R，L，C的量值代入式（9－4）計算出固有頻率圖9－1RLC串聯二階電路第6頁/共42頁

將固有頻率s1=-2和s2=-4代入式（9－5）得到

利用電容電壓的初始值uC(0)=2V和電感電流的初始值iL(0)=1A得到以下兩個方程：K1=6K2=-4

最后得到電容電壓的零輸入響應為第7頁/共42頁

利用KCL和電容的VCR方程得到電感電流的零輸入響應

從圖示電容電壓和電感電流的波形曲線，可以看出電路各元件的能量交換過程。第8頁/共42頁電容電壓的零輸入響應波形第9頁/共42頁DNAP程序可以畫出響應的波形。電感電流的零輸入響應波形第10頁/共42頁三、臨界情況

當時，電路的固有頻率s1,s2為兩個相同的實數s1=s2=s。齊次微分方程的解答具有下面的形式

式中的兩個常數K1，K2由初始條件iL(0)和uC(0)確定。令式(9-5)中的t=0得到第11頁/共42頁

聯立求解以上兩個方程，可以得到

將

K1,K2的計算結果，代入式（9－8）得到電容電壓的零輸入響應，再利用KCL方程和電容的VCR可以得到電感電流的零輸入響應。

對式(9－5)求導，再令得到第12頁/共42頁例9-2電路如圖9-1所示。已知已知R=1，L=0.25H，

C=1F，uC(0)=-1V，iL(0)=0，求電容電壓和電感電

流的零輸入響應。解：將R，L，C的量值代入式(9-4)計算出固有頻率的數值圖9－1RLC串聯二階電路第13頁/共42頁

利用電容電壓的初始值uC(0)=-1V和電感電流的初始值iL(0)=0得到以下兩個方程

將兩個相等的固有頻率s1=s2=-2

代入式（9－8）得到第14頁/共42頁

得到電感電流的零輸入響應

求解以上兩個方程得到常數K1=-1和K2=-2，得到電容電壓的零輸入響應第15頁/共42頁

根據以上兩個表達式用計算機程序DNAP畫出的波形曲線，如圖9－3所示。(a)電容電壓的波形(b)電感電流的波形圖9－3臨界阻尼情況

第16頁/共42頁電容電壓的零輸入響應波形第17頁/共42頁電感電流的零輸入響應波形第18頁/共42頁四、欠阻尼情況

當時，電路的固有頻率s1，s2為為兩個共軛復數根，它們可以表示為

其中第19頁/共42頁

齊次微分方程的解答具有下面的形式

式中

由初始條件iL(0)和uC(0)確定常數K1，K2后，得到電容電壓的零輸入響應，再利用KCL和VCR方程得到電感電流的零輸入響應。第20頁/共42頁例9-3電路如圖9-1所示。已知R=6,L=1H,C=0.04F,

uC(0)=3V，iL(0)=0.28A，求電容電壓和電感電流的

零輸入響應。解：將R，L，C的量值代入式(9-4)計算出固有頻率的數值圖9－1RLC串聯二階電路第21頁/共42頁

利用電容電壓的初始值uC(0)=3V和電感電流的初始值iL(0)=0.28A得到以下兩個方程

求解以上兩個方程得到常數K1=3和K2=4，得到電容電壓和電感電流的零輸入響應:

將兩個不相等的固有頻率s1=-3+j4和s2=-3-j4代入式（9－11）得到第22頁/共42頁

用計算機程序DNAP畫出的波形曲線，如圖9－4(a)和(b)所示(a)衰減系數為3的電容電壓的波形(b)衰減系數為3的電感電流的波形(c)衰減系數為0.5的電容電壓的波形(d)衰減系數為0.5的電感電流的波形 圖9－4欠阻尼情況第23頁/共42頁

從式(9-11)和圖9-4波形曲線可以看出，欠阻尼情況的特點是能量在電容與電感之間交換，形成衰減振蕩。電阻越小，單位時間消耗能量越少，曲線衰減越慢。當例9－3中電阻由R=6Ω減小到R=1Ω，衰減系數由3變?yōu)?.5時，用計算機程序DNAP得到的電容電壓和電感電流的波形曲線，如圖9－4(c)和(d)所示，由此可以看出曲線衰減明顯變慢。假如電阻等于零，使衰減系數為零時，電容電壓和電感電流將形成無衰減的等幅振蕩。第24頁/共42頁電容電壓的零輸入響應波形u3(t)=ε(t)*[(5.00)*exp(-3.00t)]cos(4.00t-53.13)第25頁/共42頁i2(t)=ε(t)*[(1.00)*exp(-3.00t)]cos(4.00t+73.74)電感電流的零輸入響應波形第26頁/共42頁u3(t)=ε(t)*[(3.45)*exp(-.500t)]cos(4.97t-29.66)電容電壓的零輸入響應波形第27頁/共42頁i2(t)=ε(t)*[(.690)*exp(-.500t)]cos(4.97t+66.08)電感電流的零輸入響應波形第28頁/共42頁例9-4電路如圖9-1所示。已知R=0,L=1H,C=0.04F,

uC(0)=3V,iL(0)=0.28A，求電容電壓和電感電流的零

輸入響應。解：將R，L，C的量值代入式（9－4）計算出固有頻率的

數值圖9－1RLC串聯二階電路第29頁/共42頁

將兩個不相等的固有頻率s1=j5和s2=-j5代入式（9-11）得到

利用電容電壓的初始值uC(0)=3V和電感電流的初始值iL(0)=0.28A得到以下兩個方程

求解以上兩個方程得到常數K1=3和K2=1.4，得到電容電壓和電感電流的零輸入響應:第30頁/共42頁

用計算機程序DNAP畫出的電容電壓和電感電流的波形曲線，如圖9－5所示。圖9－5無阻尼情況

第31頁/共42頁u3(t)=ε(t)*[(3.31)*exp(.000t)]cos(5.00t-25.02)

電阻為零，響應不再衰減，形成等幅振蕩。第32頁/共42頁i2(t)=ε(t)*[(.662)*exp(.000t)]cos(5.00t+64.98)

電阻為零，響應不再衰減，形成等幅振蕩。第33頁/共42頁

從電容電壓和電感電流的表達式和波形曲線可見，由于電路中沒有損耗，能量在電容和電感之間交換，總能量不會減少，形成等振幅振蕩。電容電壓和電感電流的相位差為90，當電容電壓為零，電場儲能為零時，電感電流達到最大值，全部能量儲存于磁場中；而當電感電流為零，磁場儲能為零時，電容電壓達到最大值，全部能量儲存于電場中。從以上分析計算的結果可以看出，RLC二階電路的零輸入響應的形式與其固有頻率密切相關，我們將響應的幾種情況畫在圖9－6上。第34頁/共42頁圖9-6第35頁/共42頁

由圖9－6可見：

1.在過阻尼情況，s1和s2是不相等的負實數，固有頻率出現在s平面上負實軸上，響應按指數規(guī)律衰減。

2.在臨界阻尼情況，s1=s2是相等的負實數，固有頻率出現在s平面上負實軸上，響應按指數規(guī)律衰減。

3.在欠阻尼情況，s1和s2是共軛復數，固有頻率出現在s平面上的左半平面上，響應是振幅隨時間衰減的正弦振蕩，其振幅隨時間按指數規(guī)律衰減，衰減系數

越大，衰減越快。衰減振蕩的角頻率d

越大，振蕩周期越小，振蕩越快。第36頁/共42頁

圖中按Ke-t畫出的虛線稱為包絡線，它限定了振幅的變化范圍。

4.在無阻尼情況，s1和s2是共軛虛數，固有頻率出現在s平面上的虛軸上，衰減系數為零，振幅不再衰減，形成角頻率為0的等幅振蕩。