8+ 8+ 平[必記平方數[平方數的余數特征

本講鞏固1、本講鞏固3、本講鞏固、……這些數有什么共同的特點【解析】分別是1、2、3、4、5的平方算一算：24、90、100、144、 這些數各有多少個因數【解析】因數個數分別為、、、 個A×A=576，那么A是多少【解析】計算：3761分別除以3、4、8的余數是多少？【解析】分別余2、1、完全平方數的個位數字可能是什么?除以4的余數可能是什么【解析】個位可能是0、1、4、5、6、9，除以4的余數可能是01高8方數1布字方x開放 卡布字方x是與0和他：一個定閃而話說數學家卡布列克在一次旅行中，遇到猛烈的暴風雨，他看到路邊塊牌子被電劈成了兩半，一半上寫著3，另一半寫著25.憑著數學家對數的，忽然發現個神奇的現象：30與25的和5555的平方恰是與0和他：一個定閃而這引起了卡布列克他想還有沒有類似的數字呢？此他就專搜集這類字.我們以4位數為例，介紹一種利用位置原理解不 程的方

有很多 初等數為的設該數前兩位為x，后為的xyxy1

y，則有xy2100y99xxy而從而看出xy xy1中有一個是9的倍數，另個是11的倍數(99是例外)，從 條件的數為44、55 是4522025，5523025，9929801.而像這種數的平方可以分割為兩個數字 這兩個 相加后恰等于原數的數，我們就叫做“雷劈數

以指

了，比 二進制 五年高班8

認識平方數完全平方數的定義一個整數乘以自己，如：121122223233都是完全平方數.常用的完全平方數02721422122821282152222292229216223230232102172242312421121822523225212219226262132202272完全平方數的性質例 學生版僅有⑴⑵小題⑴寫出12、22、32、……、202的得數.觀察這些得數的個位，并總結一下完全平方數個位有什n123456789n⑵根據剛才發現的規律，判斷20737是平方數嗎?為什么⑶進一步判斷，1000是平方數嗎 呢?為什么[必記平方數五年級春季提高班第8講完全平方數教師 nn4從結果可以看出平方數的個位只有0、1、4、 6、9這六種可能，且在排序時是按1、4、0⑵平方數的末位只可能是0、1、4、5、6、9，不可能是7，故20737不可能是平方⑶整十數的平方是整百數，末尾2個0；整百數的平方是整萬數，末尾40；整千數的平1000、1004000都不是完全平方.例 ------------------------------------------------------

-----------------------------------⑴1000更接近_ 的平方-⑵非零自然數的平方按大小排成

，第92個位置的數字 [必記平方數【解析】⑴估算.302900，312961，3221024，因此1000更接近32的平⑵1~3的平方是一位數，占去3個位4~9的平方是兩位數，占去12個位置131的平方成一行，就占81個位置，從9281，還11從32到99的平方都是四位數，共占去272個位置.因此，第11

位置一定是其練------------------------------------------------------練22501之間存在哪些數的平方⑵1764是誰的平方

-----------------------------------[必記平方數-【解析】211225012500502所以這些數是2，3，⑵1764160040217642025452，故知答案在4045之間；又其末位為故知只能是42的平方 五年高班8

偶指奇因完全平方數的性質完全平方數的性質地，因數個數為3的自然數是質數的平方；例 28乘一個非零自然數a，或者除以一個非零自然數b，結果都是一個完全平方數，那么a的最 ，b的最小值是 [偶指奇因【解析】28227，要想使乘積或商是一個完全平方數，則每一個質因數都必須成對出現.那么必須乘或除以因數7.所以，ab的最小值都是7.例 ⑴1100100個自然數中，有奇數個因數的自然數有哪些[偶指奇因【解析】⑴只有完全平方數有奇數個因數，1～1001222，……，102，所以有奇數個因數的自然數有1，4，9，16，25，36，49，64，81，100224329,52257249練一

從1到400這400個自然數中，有奇數個因數的自然數有 個.有且僅有3個因數的自然 [偶指奇因五年級春季提高班第8講完全平方數教師 拓展一個房間中有100盞燈，用自然數 號，每盞燈各有一個開關.開始時，所有燈都不亮.100個人依次進入房間，1個人進入房間后，將編號為1倍數的燈的開關按下，然后離開；第2個人進入房間后，將編號為2的倍數的燈的開關按一下，開；如此下去，直到第100個人進入房間，號為100的倍數的燈的開關按一下，然后離開.問：第100【解析】對于任何一盞燈，由于它原來不亮，那么，當它的開關被按奇數次時燈是開著

根據題意可知，當第100個人離間后，一盞燈的開關被按的次數，恰等于這盞燈的編 是問哪些燈的編號的因數有奇數 ．顯然完全平方數有奇數個因而1～100的完全數1，49，16，25，36，49，64，81，100，所以當第100離間后，房間里還亮著的燈的編號是 余數特征完全平方數的5301；401；完全平方數除以8只可能0，14；完全平方數除以16只可能0，1，4例 ------------------------------------------------------

-----------------------------------學生版僅有⑴-⑴111，111，1111，有多少個平方數⑵114，144，1444，14444，……，這些數中有多少個平方數

[平方數的余數特征【解析】⑴由于奇數的平方是奇數，偶數的平方為偶 ，而奇數的平方除以4余1，偶數的平方能被整除．現在這些數都是奇數1它4的余數都是3，所以只有1個完全⑵共3個，分別是1，144，1444(38的平方11除以4余3

444361111 五年高班8拓展(ab)2a2b22ab，可證明除以3余2的數平方后除以3余1.證明過程如下：(3n2)23n)223n2229n212n40011(mod3.仿照上述形式，試證明：平方數除4只能余01.后可得到(2n1)24n24n121(mod4或(2n1)24n)24n121(mod4)判斷下面有沒有平方數?[必記平方數介于172和182之間，因此也不是平方數. 是不是平方數?如果是，它是誰的平方；如果不是，那么它介于哪兩個平方數之間[必記平方數360與a相乘之積為完全平方數，求正整數a的最小值.[偶指奇因【解析】36023325，為了使全部的質因數指數都為偶，需要 251010000以內的自然數中，有且僅有3個因數的自然數有多少個?[偶指奇因 中是否有平方數?如果有，它是誰的平方?[平方數的余數特征五年級春季提高班第8講完全平方數教師 開學前，寧寧拿 給的30元錢去買筆，文具店里的圓珠筆每支4元，鉛筆每支完兩種筆后把錢花完，請問：她一共買了幾支筆

，寧買 又 據分【解析】由于題中圓珠筆與鉛筆的數量都不知道，但總費用已知，所以可以 不定方 又 據分的數量，進而得解．設她買了x支圓珠筆，所以3y304xy103

鉛筆， 意列方程：4x3y均，，位x、yx3時x均，，位

為整數，所以x應該能被3整除y6，xyy2，xy

因為1 7，所以x3或所以寧寧共買了9支筆或8支筆0鹽用20克鹽，加水稀釋成濃度為5% 水，則需 0鹽【解析】2005%40004000求陰影面積(

3800：厘米π取3.14【解析】40÷223.1440÷22÷2424562912 計算75 1717 105 【解析

；17；

將下列分數化成小數8【解析】0.440.72將下列小數化成分數 【解析528 五級春季提高班8版9+[定義新運算進9+[分數四則混合運算[分數比較大小]★★★★ [放縮與估算]★★★ 本講鞏固51、比較0.01、0.1、0.12、0.121的大小,并用“<”連接2、345的大小,并說明為什么.777呢 34577 31615的大小.（16建立橋梁 【答案】16 、1.707、1.07、17.7%、1.7中最大的數 【答案】【解析】1.707，撥：應用數的概念三，比大小的方法.先都寫成小數，再從比.1.7071.71.0717.7%5、在55、5.5和55.5%這三個數中，最小的數 991五年級9講比較與估算教師版1費米估算法1945年7月16日上午，世界上第一顆在新墨西哥州沙漠地區美籍意大利物理學家恩利克·費米把筆記本里的一頁紙撕碎了，40秒鐘后，震波傳到費米和他的同心算之后費米宣布，能量相當于10000噸 費米不僅僅是一位偉大的物理學家，同時還是一位啟發學生思維的教育家，他特別喜歡用估25552五年級9講比較與估算教師版2分數小數比較大小的一般方法較．(2)通分母：分子小的分數小.例 ⑴把下4小數用“<”連接起來：1.121,1.121,1.121.12121⑵比 71139,9,3的大小,用“>”連接起來⑶比較3.1422、的大小7

[分數比大小→1.121→1.121→1.121→1.121→1.120原

41211

76

41171.

,所以3.14 3.1428577

73五年級9講比較與估算教師版3練一

4,7

[分數比大小740.5714287

0.571428 例 ⑴用“＞”13,3, ⑵把下列分數用“”號連接起來： ,15, 231：39714713 24 法2：與1比較,1311,311,711,所以7 8

[分數比大小⑵這三個分數的分母都不相同,要通分變成同分母的分數比較麻煩．再看分子,60正好是10、15、20的公倍數．利用分數的基本性質,可以將題中的各分數化為分子都是60的分106015602060606060；也就是102015 練一

2515 按從小到大的順序排列3823

[分數比大小們可以用通分子的方法,分子的最小公倍數是30．給出的4個分數依次等于：30,30,30,30.從小到大排列依次為105 4五年級9講比較與估算教師版4糖水原理(1)若0b1,m0bba a (2)若0bd1bbd a 比倒數：倒數大的分數小bd，則bcad (4)1，則被除數大；否則除數大．例 (學生版僅有⑴~(4)題⑴我們已經學過濃度的公式：濃度= 果此時再向糖水里加糖,現在糖水的濃度 （填“高”或“低”）了⑵比較以下各數的大小：

100%如 5 5 5 5

5

；你發現什么規律了嗎?根據這個規律可知 616 6 6（內填大于、等于或小于m是不為0的自然數⑶比較下面三個數的大小25364大,5 ⑸滿足下式的括號里的數有多少個自然數：1 51 (

6[分數比大小【分析】糖1：275 3 2255 3 5五年級9講比較與估算教師版51：4599455 11

兩

1：14,

=511

=5

283 712和之間的一個分數；

,因此（）１

兩邊的關系,=,因此 ）15．根據以上分析,可以確定（）中能填入3示“糖水原理”中的第一條時,教師可以用糖水濃度進行講解,首先說明糖的重量小于糖水的重量,糖水越甜,說明糖與糖水的比值越大,把b看成糖,a看成糖水,再加些糖m后會出現什么現象呢（當然變甜了）因此bbm；第二條可認為兩杯糖水混合,混合之后 a的濃度一定在兩者之間例 11111的大小.你能想到多少種辦法 ⑵比較大小：

44443（填”,

[分數比大小]【分析】1：111111 111 11111111112321,同分母分數,分子大,分數大.因

11111 .111111111111111. ,因此

. ,法4：倒數比較.11110,

1111101,1

.倒數大,原數小.因此11111

111111.10.11 ； ；6五年級9講比較與估算教師版6.0.1111.6abc

abc

11

0.0990.099099,

0.0999999 999 11111 7111101101 1110 ⑵擴倍用規律比11110 4444044440344443 88884 A、B、C三隊比賽籃球,A83:73B隊,B88:79C隊,C84:76A隊,三隊中得失分率最高的出線,一隊得失分率為,A隊得失分率為8376, 73隊出線【分析】A,B,C8376159;7388161;798416373 15783 16288 A1的A最大,則A隊出線放縮法求整數部分7五年級9講比較與估算教師版7例 (學生版僅有⑴題⑴算式111 1的整數部分 ⑵已知:A1111111,則A的整數部分 【分析】⑴111 1111 1 11 1111 1 ⑵A1(11)(1111)1(11)(1111) A11(11)(111)11(11)(111)2 7

[放縮與估算]PKPK，直到在某個對應位置出現較．(2)通分母：分子小的分數小.(3)通分子：分母小的分數大(6)bd，則bcad (8)比商法：兩個分數相除，商大于1，則被除數大；否則除數大．⑴若0b1,m⑵若0bd1bbdabb a a 8五年級9講比較與估算教師版8比較下列分數的大小,說一說你的方法 [分數比大小]⑴87 79 30⑵35 744 5【分析】877> 3請

2,3,5,

按照從小到大的順序排列 [分數比大小] 357 【分析】30,2303305301530 32515 在11,12,13中,最小的分數 [分數比大小]1213 比較13、133的大小 [分數比大小] 法1：化小數.1339 0.3939,133399

0.39

0.3990.399,因此 2：糖水原理.131301303

比較大小：1111111 [放縮與估算] 21011121314 【分析】15 1115151,所以兩個空都填

11 14

把50克濃度為50%的鹽水和100克濃度為20%的鹽水混合,問混合后鹽水的濃度是多少【分析】混合后5050%10020%100%30%509五年級9講比較與估算教師版9計算陰影部分的面積.（圖中數據單位：厘米）（π3.145223.1445525÷239.252514.25（平方厘米324是誰的平方?324分解質因數上坡的路程和下坡的路程相等，一輛汽車上坡速度與下坡速度的速度比是3∶5，這輛汽車上坡與下坡用的時間比應是甲、乙兩車往返于A，B兩地之間.甲車去時的速度為60千米每時，返回時的速度為40千米每時；乙車往返的速度都是50千米每時.求甲、乙兩車往返一次所用時間的比.【解析】一條公路全長60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的長度之比是1:2:3，張叔叔騎經過各段路所用時間之比是3:4:5.已知他在平騎車的速度是每小時25千米.他行完全程用了小時.【答案2.4620254544345122.4 五年級9講比較與估算教師版程+程+[比例行程基本知識

本講1、2本講3、45A、B兩地相距100米，從A地去B地，每秒走1米，則幾秒可以走完【答案】100A地去B地，若每秒1米，則100秒可以走完;若每秒走2米，則多少秒可以走完【答案】50AB，原計劃10分鐘到;出發時，速度提高到原來的2倍，則現在幾分鐘到【答案】5化簡下列比：39: 2:3

119:6 18:10【答案】13154:93:4騎車去學校，計劃速度是每秒5米，實際上速度比計劃快了20%，那么實際速度是每秒多少米？【答案51206米/1高10行程師1小狗跑了多遠？約翰·馮·諾依曼 ann，1903~1957，美籍匈牙利人，20世紀最重要的數學家之一

計算機之父和博弈據說在一次晚宴上，一個年輕人曾經問過馮·諾依曼這樣一個問題：兩個人相隔 米，各以每50米的速度相向而行.一只小狗從一個人那里出發，以每分鐘75米的速度，在兩個人之間來來跑個不停，直到兩人相遇，小狗跑過的總距離是多少這個問題應該很熟悉了，兩人相遇的時間就是小狗跑的時間，用

間乘狗的速度就是了.蘇步青先生在德國的一個公共汽車上，也問過類似的問題

這個題對大數學家馮·

依曼自是難事了，他沉吟幾秒后回答：應該是150米，提問的年輕很失望，說你以前一定聽這個訣竅吧他指的是上面的這個做法.馮·諾依曼說：“什么訣竅？我所做的就是把狗每次跑

的都算出來，然后那么馮·諾依曼是怎么計算的呢？我們設小狗從一個人跑向另一個人視為一趟，第n趟兩人之間離為an，那么小狗花費的時間為 ，前一趟兩人距離為a70

，那

an1505075化簡aan1就是每一趟小狗跑的距離是下一趟距離的

倍，第一趟小狗跑75 120米而小狗跑的總距離就是120120120 1 n可是窮大哦2 75 1、多學習幾種方法，只局限于自己的習慣很容易陷入慣性思維——像馮2、如果只習慣用自己的方法，那么就用到爐火純青——像馮·諾依曼一樣

諾依曼一樣2班10行程師2比例法的基本應用①當時間一定時，路程之比等于速度之比，即TTSSV:V②當速度一定時，路程之比等于時間之比，即VVSSTTSSVT甲VT乙例 A、B兩地距300千米，甲乙兩車分別從A、B兩地同時出發⑴甲車的速度是30千米/時，乙車的速度是20千米/時，則兩車的速度比為 間兩車相遇，相遇時甲走了 千米，乙走了 千米，兩車的路程比為.⑵甲車的速度是60千米/時，乙車的速度是40千米/時，相遇時兩車的路程比 ⑶甲車的速度是50千米/小時，乙車的速度是30千米/小時，各自走完全程，甲車的行駛時間是,乙車的行駛時間 ,兩車行駛的時間之比 [比例行程基本知識:路程比32⑵3:2例 ⑴甲乙兩人的速度比為4:5，兩人同時出發，行走的時間比為3:7，則甲乙走的路程比 ⑵甲乙兩人要走的路程比為3:2，甲乙的速度比為4:3，則甲乙的時間比為⑶甲乙兩人的路程比為7:8兩人用的時間比為65甲的速度為70千米/時則乙的速度為[比例行程基本知識47835487063五年級春季提高班103-練------------------------------------------------------ -----------------------------------練3:5，兩人同時出發，行走的時間比為7:4，已知甲最終走了42米，則乙【解析】路程=速米

例行程基本知識×時間．因此甲，乙的路程比為(37):(54212042:40，乙走了40行程中正比例模行程的正比例行程的正比例模型是指時間一定，路程和速度成正比正比例模型常見于相遇追及問題，若甲乙同時出x:y，設兩人所行路程和為S兩程x:y，路程xxS，乙走的路程yxS例 ------------------------------------------------------

-----------------------------------甲乙兩人同時從A地出發前往B地，甲騎車的速度是15米/秒，乙步行的速度是5米/ ，如果甲到達B地后立刻返回，請問兩人在哪里相遇?-[行程中的正比例模型【解析】甲乙兩人的速度比為3:1，共走完了2倍的全程，所以走21

1，兩人在中點2例 ------------------------------------------------------

------------------------------------甲班與乙班學生同時從學校出發去公園，兩班的步行速度都 千米/小時，學校有一輛汽車它的速度是每小時48千米，這輛汽車恰好能坐一個班的學生．為了使兩班達公園，設兩地相距150千米，那么各個班的步行 離是多少?

學生在最短時間內到[行程中的正比例模型 【解析】由于汽車速度是甲乙兩班步行速度的12倍，設乙班步行1份，汽車載甲班到A點 返回到點相遇，這樣得出BD:BA1:[(121)2]1:5.5汽車從A點返回最終與乙班同時到達C點，汽車又行走了12份， 以總路程分成15.517.5(份)，所以每份1507.520(千米)，所以各個班的20千米4班10行程師4練一

甲、乙兩班學生到離校39千米的博物館參觀但只有一輛汽車一次只能乘坐一個班的學生．于是甲班先坐車，乙班先步行，同時出發，甲班學生在途中某車后步行去博物館，汽車則從某地立即返回去接在途中步行的乙班學生．如果甲、乙兩班學生步行速度相同，汽車速度是他們步行速度的10倍那么汽車應在距博物館多少千米處返回接乙班學生才能使兩班同時到達博物館?[行程中的正比例模型 車的路程和步行的路程也分別相同，也就是說圖中AB與CD相等．又乙班走完AB時，汽車行駛了從A到C再從C到B這一段路程，由于汽車速度是他們步行速度的10倍，所以汽車走的這段路程是AB的10倍，可得BCAB的10124.5倍，那么全程ADAB6.5倍，CD6.5CD為396.566行程的反比例模型五年級春季提高班第10講比例法解行程教師 例 ------------------------------------------------------

-----------------------------------一輛汽車從AB地.（V1為原的速度，V2為變化后的速度-⑴若速度提高了20%后，每小時快了20千米，V1:V2V2

_，V1⑵若速度降低了25%后，推遲30達到，求以V1到B地所需的時間1⑶若速度降低15千米/，

，求原來的速度6

[行程中的反比例模型【解析】⑴速度的比為5:6，速度的差為20千米/時V1100千米V2120千米所需的時間為30×3=90分鐘=1.5小時.原來的15×7=105米/時.-練------------------------------------------------------ -----------------------------------練設原速度為v1，提速后的速度為v2，以原速度行駛用的時間為t1，提高后的速度行駛用的時間為t2⑴同樣的路程，提速20%，則v1:v2 ，t1:t2 ，若兩次相差1小時，則原用 小時．⑵同樣的路程20%，則v1:v2 ，t1:t2 若兩次相差1小時則原來用 [行程中的反比例模型v1v256t1t2656,⑵v1:v25:4，t1:t24:5，4,A、B兩地距離270千米，甲乙兩車分別從A、B兩地同時出發①甲車的速度是50千米/時，乙車的速度是②甲車的速度是63千米/時，乙車的速度是

千米/時.相遇時距A地 千米/時.相遇時距A 千米[比例行程基本知識【解析】A150米，時間同，速度和路程②距162千米，相遇的位置和速度的比值有關，和速度的大小無6班10行程師6①甲乙兩人同時出發，速度比為2:3，行走的時間比為3:5，則甲乙走的路程比 ②甲乙兩人要走的路程比為5:4，甲乙的速度比為3:2，則甲乙的時間比 [比例行程基本知識3AB地，5:1，B地后立刻返回，[行程中的正比例模型1 3A、B兩個連隊同時從營地出發前往一個目的地進行演習，A連有卡車可以裝載正好的人員，為了讓兩個連的士兵同時盡快到達目的地，A連士兵坐車出發一定時間后下車讓卡車回去接B連的士兵，兩連的士兵恰好同時到達目的地，已知營地與目的地之間的距離為32千米，士兵行軍速度為8千米/小時，卡車行駛速度為40千米每小時，求兩連士兵到達目的地一共要多少時間?[行程中的正比例模型【解析】由于卡車的速度為士兵行軍速度的5倍，因此卡車折回時已走的路程是B連士兵遇到卡車時已走路程的3倍，而卡車折回所走的路程是B連士兵遇到卡車時已走路程的2倍，卡車接到B連士兵后，還要行走3倍B連士兵遇到卡車時已走路程才能追上A連士兵，此時他們已經到達了目的地，因此總路程相當于4倍B連士兵遇到卡車時已走路程，所以B連士兵遇到卡車時已走路程為8千米，而卡車的總行程為(3+2+3)×8=64千米，卡85從甲地到乙地，若提速30%，可提前30分鐘到達，則原計 分鐘到達[行程中的反比例模型圓心角為36的扇形的弧長為3.14厘米，則這個扇形的面積 平方厘米.(取

3652兩個整數的平方和為313，則這兩個整數的和 7五年級春季提高班107試比較下面幾個數的大小4,0.1667, 【解

40.1610.1666

41 填空 【答案】6、1、2、0；37、計算 【答案】計算 【答案】111119468班10行程師8+位理[+位理[完全平方數[位值原理的表示] 本講鞏固1、[位值原理的完全拆分]★★★ 本講鞏固3、4[位值原理的整體換元]★★ 本講鞏固5123中有幾個100，幾個10，幾個abc中有幾個100，幾個10，幾個【答案】 cdef 1000 100 10 abba的和 b (a+b),一定是誰的倍數111值原師1數學——馮·諾依據他原理制造的，馮·諾依曼打破常規，提出計算機采用二進制而不是我們習慣的十進制編碼，“我從昨天晚上一直算到今晨4點半，總算找到那難題的5種特殊解答.它們一個比一個更難咧！”人把題目講給他聽，教授頓時把自己該辦的事拋在爪哇國，興致勃勃地提議道：“5大家都想見識一下教授的“神算”本領.只見馮·諾依曼眼望天花板，不言不語，迅速進到“入定”狀211值原師2位值原理的認識22個百，這種數字和數位結合起來表示數 ，…，a，a是09中的一個，a0Na10rr rrr10r1 a10a10填空⑴3652022021002102⑵aaa；abc；aabb；⑶abcdabcabaabcd⑷ab1234ab23ab34⑸9a8b7ab[位值原理的表示【分析】⑴3，6，5；10000,100,10;⑵111a100a+10b+c⑷100000,10000,1000,100,10,10000,100,1;例 學生版僅有⑴小題及⑵小題第1⑴用數字1、2、3各一個可以組成三位數，所有這樣的三位數之和 ⑵三個互不相同的數字，可以組成6個不同的三位數，知道這6個三位數的和為2886，那么： [位值原理的表示【分析】a、b、c222abc2886abc13；931.311值原師3補充三個不同的非零數字a,b,c共可以組成6個不同的三位數，這6個三位數之和一定是 練一

從1～9 九個數字中取出三個，用這三個數可組成六個不同的三位數.若這六個三位數之和是3330，則這三個數字的和是 [位值原理的表示同的三位數之和為222a＋b＋c)=3330，推知a＋b＋c=15.位值原理的完全拆分例 ⑴如果ab7a0b，那么ab等 [位值原理的完全拆分【分析】a a0通過分析b7b知道b53，a73a0a1abab7a0b(a10b7a100070a7b100a30a6b5ab所以a=1，則111b＋11c＋d=1370－1111=259，111b＋11c＋d=259.推知b=2；則222＋11c＋d=259，11c＋d=37411值原師4練一

一個兩位數，是它各個數位數字和的9倍，求這個兩位數[位值原理的完全拆分這個兩位數為81.例 學生版僅有第⑴題⑴一個4位數，它和它的反序數的和是以下4個數中的一個這兩個4位數的和到底是多少⑵以五位數為例說明：其原序數和反序數之差一定是99的倍數．[位值原理的完全拆分abcd＋dcba(1000a100b10cd)(1000d100c10b1001a110b110c ⑵abcde－edcba b100c10d d100c10b9999a990b990d拓展一輛汽車進入高速公路時，處里程碑上是一個兩位數，汽車勻速行駛，一小時后看到里程碑上的數是原來兩位數字交換后的數.又經一小時后看到里程碑上的數是處兩個數字中間多一個0的三位數，請問：再行多少小時，可看到里程碑上的數是前面這個三位數首末兩個數字交換所得的三位數.【分析】設第一個2位數為10a+b；第二個為10b+a；第三個為100a+b；由題每小時走61-16=45；(601-106)÷45=11；再行11小時，可看到里程碑上的數是前面這個三位511值原師5 a1a0的形式，其中ar，ar1，…，a1，a009中的一個，ar0，有Nar10ar1 a110a0rabcdefa100000b10000c1000d100e10f1000abc位值原理的整體拆分例 【分析】設這個數為10x+6，則即40x24=600000x，39x599976，x填空：1x2y3z x2 y3z

[位值原理的整體換元[位值原理的表示有3個不同的數字，用它們組成6個不同的三位數，如果這6個三位數的和是1554，那么這3個 [位值原理的表示abc100a10bcacb100a10cb222abc1554，abc15542227.在一個兩位數的中間加上一個0,得到的新數比原來大8倍，原來的兩位數 [位值原理的完全拆分.[位值原理的完全拆分611值原師6已知x,y,z均為數字，且滿足4xyz2xyz8，則xyz

[位值原理的整體換元【分析】xyza，則原式為4a2a8，整理得(4000a210a8下列四個數中哪個數是完全平方數 A. B. C. D.將下面的數按從小到大的順序排列起來2312 ,, 3413【分析】237 從A地去B地，若提速50%，則可以省1小時，那么原計劃 小時一個長方體的長，寬，高分別 4，3，2，則此長方體的表面積 ，體積 【答案】下圖是由6個棱長為2厘米的小正方體堆疊而成的幾何體，求該幾何體的表面積711值原師762的小正方體，表面積變成了多少?[長方體挖【答案】811值原師81和2+1和2+

本講鞏固1、2、本講鞏固3、正方體有幾個面?幾個頂點?幾條棱【答案】下圖能否拼成一個正方體【答案】不能【答案】如下所示，對立面在展開圖上相間不相鄰○×△×△○下圖是由5個棱長為1厘米的小正方體堆疊而成的幾何體，求該幾何體的表面積【答案】22平方五年級春季提高班第12講立體圖形和空間想 下圖是由一些棱長為1厘米的小正方體堆疊而成的幾何體，該幾積可能是多【答案】9立方厘米或10立方厘不可能圖形A ？這個立體圖形在現實世界中是不可能存在的！

積木的玩具而已不相信？如果我們只看白色這個平面，那么在三維

坐標系中，A、B、C在一個平面中，它們是處于同一高度，然而我們再看灰色部分就會發現：“A竟然在B的上方”，顯然這是自相的形.這個圖形叫做“彭羅斯三角形”，它最先被瑞典藝術家奧斯卡造出來，而后在20世紀50年代數學家彭羅斯所推廣.其特點被以不可能圖形為靈感來創作的藝術家埃舍爾在其作品中很好階梯等.彭羅斯階 彭羅斯正方

體現出來2 五年級春季高班12

立體圖形和空間立體圖形展開圖正方體展開圖口訣：正方體展開圖口訣：對面相隔不相連，識圖巧排7凹田.1411類不同的展開圖；141型(四方成線兩相衛)6種，231，33型(像失蹄的馬)4種，222型(像階梯)1種．相對的兩個面展開后不相連，展開圖不可能出現以⑴正方體的展開圖 種，你能都畫出來嗎A. B. ⑵下圖表示正方體的展開圖，將它折疊成正方體，可能的圖形是A、B、C、 中 五年級春季提高班第12講立體圖形和空間想 3【解析】⑴C⑴題有如下11種展開圖，建議老師先講第⑴題，再講其他小題．1：141類型 類型 練------------------------------------------------------練選項中有4個立方體，其中是用左邊圖形折成的是

------------------------------------例 ------------------------------------------------------

-----------------------------------學生版只出現第一-⑴如圖所示表面帶有圖案的正方體沿某些棱展開后，得到的圖形

⑵下面這個正方體展開之后究竟哪個展開圖是正確的?你能把

錯誤的圖形改正確嗎 五年級春季高班12

立體圖形和空間畫上面或下面的正方形的主對角線；B圖正確；C圖錯在對角線方向，把三個對角線都改成副對角線即可；D圖圖案相對位置都正確，但展開圖本身錯誤，可把上方的正方形練一

在正方體表面上畫有如左圖所示的三條線段，請你在右邊的展開圖上畫出對應的另外兩條線段[圖形展開圖C C BCEE CEE FBH G已知三視圖求解例 ⑴已知某立體圖形的三視圖如下，每個小正方形的邊長都 1，請問這個立體圖形的體積是多少[三視圖求體積正視 俯視 側視⑵將一些棱長是1的小正方體堆放成一個立體，圖2是這個立體的俯視圖、正視圖和左視圖五年級春季提高班第12講立體圖形和空間想 這個立體的體積最小 1【解析】⑴在俯視圖上標數，可知一共有6塊，體積為6.如下122⑵俯視圖標數法，18個，如下圖（方法不止一種123111113112-練------------------------------------------------------ -----------------------------------練已知某立體圖形的三視圖如下，每個小正方形的邊長都 1，請問這個立體圖形的體積是多少[三視圖求體積【解析】9；立

正視形如下左圖（畫出了

俯視

側視12123111或者可以在俯視圖（底座）上使用標數，數字代表這一面上的層數，如-例 -------------------------------------------------------

---------------------------------- 五年級春季高班12

立體圖形和空間用一些棱長是1的小正方體碼放成一個立體圖形，從上向下看這個立體圖形，如下圖a，從正面看這個立體圖形，如下圖b，則這個立體圖形的體積最大是 [三視圖求體積 21221212最小值21111212拓展在桌面上擺了一些大小一樣的正方體木塊，擺完后從正面看如左圖，從側面看如右圖，那么他最多用 塊木塊，最少用 塊木塊[三視圖求體積31312321223123310000200003五年級春季提高班第12講立體圖形和空間想 7綜合應用例 ------------------------------------------------------ ----------------------------------一個無蓋的鐵皮展開圖如下圖所示（圖中數據單位：米，求這個的容積-[圖形展開圖]-7745【解析】長+寬

寬+高=4，長+高=5

長=4，寬=3，高=1，43112（立方米正方正方體展開圖共11種正方體的展開圖14條邊，7刀剪開由三視圖求原圖形時，可以在下列圖形經過折疊不能

成正方體的

【解析】右圖是左邊的正方體的展開圖，正方體表面上畫了3條斜線段CA、CF、CH；請在開圖上畫出缺失的斜線段：

右面的CE CE BH 8 五年級春季高班12

立體圖形和空想象【解析】如圖：標點法標出H、G、F等重要 H BGF小華用相同的若干個小正方體擺成一個如圖所示的立體圖形.從上往下面看這個立方體，看到的圖形是圖①～③中的 _.（填序號）

[三視圖求體積將幾個大小相同的正方體木塊放成一堆，從正面看到的視圖是圖（a），從左向右看到的視圖是圖（b），從上向下看到的視圖是圖（c），則這堆木塊最多共有 [三視圖求體積 【解析】對于圖c來說，每個小方塊都摞了2層，最多有6沿下圖的虛線折疊，可以圍成一個長方體，它的體積 立方厘米比較下面兩個數的大小：90.8【解析】0.808081 五年級春季提高班第12講立體圖形和空間想 甲和乙分別從AB地甲乙的速度比為2:3甲比乙提前時到達．那么當甲到B地時，乙還需要幾小時才能到?

2小時出結果甲共用3【解析】甲乙的速度比為2:3，那么路相同的情況下，時間比是3:2.所以若甲用3小時，那2甲到達時，乙還需2321小時才能ab5=29(a+b)（其中a、b均為數字）則ab 【解析】100a10b529a29b，即71a519b，a應當小3，枚舉可知a1，b4．ab一個扔兩次，所得點數之和 __種不同的情況一個黑色盒子中放有5個小球，分別為紅色、黃色、白色、藍色、綠色⑴從盒子中拿出兩個小球，⑵從盒子中拿出兩個小球， 【分析】C210C1

那么 種不同的情況其中一個是紅球的 種不同的情況從A、B、C、的安排方式．

E、F六位同學中先選出2個人掃地，再選1個人拖地

，一共 種不 C2C115460 五年高12

立體圖形和空間[計數計算概率

本講鞏固1、2、3、4、艾迪切下一整塊蛋糕3

1打 不同意，便從艾迪的蛋糕上切掉一部分，35133 一般來說，投擲一枚硬幣結果是正面朝上或 朝上的可能性是相等的，各自占 2東東有一次湊巧連續投擲出10次正面，請問他第11次投擲出正面的可能性是多少？【答案】可能性仍為1，與前面無關2薇兒拋一枚兩次,一共會出現多少種不同的情況?和為 的情況占總數的多少36老師從6個人里選3個人參加游戲，有多少種不同的選擇方法？【答案】C365420 32【答案】C26515 21高班13師1換還是不換？這是個問題！曾將有這樣一檔電視，參賽者面前三扇關閉了的門，其中一扇的后面有一輛汽車，另外兩扇門后面則各藏有一只，選中后面有車的那扇門可贏得該汽車.當參賽者選定了一扇門，但未打開之前，打開剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一只.之后會問參賽者要不要換另一扇213參賽者挑汽車，挑一號.轉換將失敗，參賽者挑汽車，挑二號.轉換將失敗.此情況的可能性為：11111. 2這個概率是

2五年級13率初師2認識概率朝上,但可以確定只會出現其中一種情況,這樣的試驗就叫做隨機試驗. 朝上發生的可能性是相同的,我們稱它們為等可能事件.足某個條件的概率.小學范圍內概率m.其中 mn需要我們用枚舉、加乘原理、排列組合等方法求出不確定事件,概率是0到1之間的一個數；有些事情是一定發生的(如：概率是 擲出7點),這樣的事件叫做不可能事件,概率例 口袋里裝有100張卡片,分別寫著1,2,3,…,100.從中任意抽出一張.請問⑴抽出的卡片上的數正好是37的概率是多少⑵抽出的卡片上的數是質數的概率是多少?是合數的概率是多少?既不是質數也不是合數的概率是多少?⑶抽出的卡片上的數是偶數的概率是多少?是奇數的概率是多少?既不是偶數也不是奇數的概率是多少?⑷抽出的卡片上的數正好是101的概率是多少?抽出的卡片上的數小于200的概率是多少[基本概率【分析】⑴⑵251；7437； ⑶50

501； ；練一

有一枚標準的，六個面的點數分別是1、2、3、4、5、6，且相對的兩面的和是7.投擲這個骰子一次，請問：⑴數字“5”朝上的概率是多少⑵數字不超過“5”的概率是多少⑶數字超過“6”的概率是多少?數字不超過“7”的概率是多少3五年級13率初師31“5”朝上的概率是65，所以概率是；6 例 （學生版僅出現前三問艾迪在愉快地玩飛鏢,1所示,投擲到對應的區域得到對應的分數.10分所對應的圓半徑為1,每向外一層則對應圓的半徑加1,投擲一鏢后,假設艾迪沒脫靶,請問：5656789圖 圖⑴艾迪得到10分的概率是多少⑵艾迪得到的分數大于5分小8分的概率是多少⑶艾迪至多得到8分的概率是多少⑷突然,艾迪發現了一種新型靶盤,如圖2所示,紅域稱為幸運區,紅域對應的圓心角是60投擲到紅色的區域也可以得到10分,求艾迪得到10分的概率是多少[基本概率⑴10,最大圓的面積是36101

4936432,對應的概率是 8

158118

,所以總的面積是6

6

65 641

4五年級13率初師4概率中的經典模型相互獨A(或B)是否發生對事件B(或A)發生的概率沒有影響,這樣的兩個對立事件：特別地,如果互斥事件A和B中必有一個發生,則稱事件A和B為對立事加法原理：互斥事件A和B中至少有一個發生的概率等于A發生的概率加B發生PABPAP(B1.特別地,對立事件A和B中至少有一個乘法原互獨立事件A和B同時發生的概率等于A發生的概率乘B發生PABPAP(B)例 袋子中有大小、形狀都相同的紅球、藍球、綠球各2個；⑴從中無放回地摸出2個球,2個球都是紅色的概率是多少⑵從中無放回地摸出2個球,2個球顏色相同的概率是多少?2個球顏色不同的概率是多少⑶從中有放回地摸出2個球,2個球顏色相同的概率是多少?2個球顏色不同的概率是多少[基本概率2 C26【分析】⑴無放回地摸球,2個球都是紅色的概率是 6 ⑵顏色相同,可以都是紅色、藍色或綠色,概率為311

C 顏色不同可以從114得出,也可以先算一個紅球一個藍球的概率為2224 C1

4 2 C2C63

4 ⑶有放回地摸球,23221 顏色不同的概率是1122222C12 2

C1 322 5五年級13率初師5練一

薇兒在玩拋硬幣的游戲：⑴如果拋一枚硬幣,3次中,2次朝上,1次朝下,問第4次硬幣朝上的概率是多少⑵如果拋兩枚硬幣1次,兩枚都正面朝上的概率是多少?一枚正面朝上一枚背面朝上的概率是多少至少有一枚正面朝上的概率是多少⑶如果拋三枚硬幣1次，三枚都正面朝上的概率是什么?一枚正面朝上兩枚背面朝上的概率是多少?[基本概率2111 1112111 朝上,另一枚正面朝下,對應的概率為C1111 考慮,先求全部背面朝上的概率是111,則至少 枚正面朝上的概率為113 1111 31113 例 袋子中有大小和形狀完全相同的1個紅球和5個白球,A、B、C、D、E、F六人按順序每人摸出個球,誰摸到了紅球誰就獲勝,那么：⑴A獲勝的概率是多少?B獲勝的概率是多少?6個人中誰獲勝的概率更大⑵種規則下,誰獲勝的概率更大?[基本概率 6 6551,D5551 獲勝的概率更大,且B、C、D、E、F的概率依次遞6五年級13率初師6練一

A、B、C、D、E、F六人抽簽推選代表,人一共制作了六枚外表一模一樣的簽,其中只有一枚刻著“中”,六人按照字母順序先后抽簽,抽完不放回,誰抽到“中”字,即被推選為代表,那么這六人被抽中的概率分別為多少?

[基本概率511

5

C抽中的概率為5411D抽中的概率為54311E抽中的概率為 543211F5432111

綜綜如圖所示,將球放在頂部,讓它們從頂部沿軌道落下,每一個小球在交點處有一半的可能向左滑落,有一半的可能向右滑落.球落到底部的從左至右的概率依次是 113111112121181 7五年級13率初師7 加法原理ABAB發生的概率,記為PABPAP(B).特別地,A和BPAB)PA)P(B)1.P(AB)P(A)P(B)生活中的概率例生活中的概率學校打算在1月4日或1月10日組織看.確定好日期后,老師告訴了班長,但是由于“四和“十”發音接近,班長有10%的可能性聽錯(把4聽成10或者把10聽成4).班長又把日期告訴了小明,也有10%的可能性聽錯.那么認為看的日期是正確日期的可能性為 [計數計算概率]【分析】相互獨立事件同時發生直接概率相乘,兩次都傳達正確或者兩次都傳達錯誤都會認為是10.110.10.10.10.8282%.有數顆質量分布均勻的正方體,六個面分別標有數字1,2,3,4,5,6,且相對的兩面的和是⑴如果拋1 ,數字“2”朝上的可能性 ⑵如果拋2 ,點數之和為6的概率 .點數之積為6的概率 16⑵根據乘法原理,先后兩次擲出現的兩個點數一共有6636種不同情況．將點數和1,5,2,4,3,3,4,2,5,1點數之積為6的情況1623326,1

41 8五年級13率初師8如果飛鏢隨意地投向下圖所示的木板上且不脫靶,那么飛鏢落在木板上陰影部分的可能性是_.(用分數表示4442126 【分析】即求陰影部分占總面積的比例 22136 一個口袋里有5個黑球和3個白球,從中無放回地取出2個球.請問：⑴這兩個球顏色相同的概率是多少⑵這兩個球顏色不同的概率是多少

545323 C2C 10 C 或 3 C

8C1

⑵顏色不同的概率是 3 或1 8C 8 A、B、C、D、E、F六人抽簽推選代表,人一共制作了六枚外表一模一樣的簽,其中只有一枚刻著“中六人按照字母順序先后抽簽,抽完放回,誰抽到“中”字,即被推選為代表,那么這六人第一輪被抽中的概率分別為多少?誰被抽中的概率最大?【分析】A第一輪被抽中的概率是1,B第一輪被抽中的概率是51,C第一輪被抽中的概率是 6551,D5551,E55551 555551.A 9五年級13率初師9任意向上擲一枚硬幣若干次⑴那么第4次擲硬幣時正面向上的概率是多少⑵如果擲4次,恰有兩次正面朝上的概率是多少2

2C211113 正面的有C26263 A、B兩地同時出發,相向而行,1.5倍,兩人走到對方的出發點后都立即返回,如果AB兩地相距1000米,問：甲乙第二次相遇的地點距A地多少米?2份.第二次相遇時合走了3個全程,甲走了9份,即一個全程又多了4份,距A地1度,為10005200一個兩位數,是它各個數位數字和的3倍,求這個兩位數ab,則由題10ab3(ab7a2ba2,b7下圖中,能折成正方體的有哪些 五年級13率初師1、100個人參加測試，要求回答五道試題，并且規定凡答對3題或3題以上的為測試合格，測試結果是：答對第一題的有81人，答對第二題的有91人，答對第三題的有85人，答對第四題的有人，答對第五題的有74人，那么至少有多少人合格？題中互相交錯，關系很復雜，不太好考慮，如果從考慮，想“最多有多少人不合格？”不合格，也就是至少有100－30=70（人）合格.2、六年級共有190個學生參加考試，數學考試178人及格，語文考試有181人及格，英語考試有174人及格，那么三科全部及格的學生至少有多少人？跟[題目1]一樣也不太好考慮，如果從考慮，思考“不是三科全部及格的學生至多有多，3、電子鐘一天顯示的時間是從00:00到23:59，每一時刻都由四個數字組中任一時刻顯示的四個數字之和為23的概率為多少？題設的數字一定是和情況很靠近的值），最大的顯然是19:59這一時刻.它的和為41440五年級13率初師情+情+[計數中的考慮[最值中的考慮

本講鞏固1、本講鞏固3、4、從4個男生和5個中選出5個人，至多選3人，那么男生至少 人【解析】5- 名隊員兩兩配對，進行淘汰賽，要決出冠軍，需要 場【解析】淘汰賽，每次淘汰1人.從8人到剩下1人，淘汰了7人，因此需要比7用3個2分的硬幣，5個5分的硬幣，能構成2分，4分，5分，6分，……，則能構成的第三 【解析】構成最大的錢數為31，第二大的錢數為31-2，第三大的錢數為31-如圖，平行四邊形的面積為18平方厘米，陰影部分面積 平方厘米【解析】一共有3×6=18個角形，空白部分是4個三角形，陰影部分則為18-5=14個角形面積為14平方厘米 計算：C9 C18 【解析】C9C1 C18C21五年級春季提高班第14講 情況考慮教師1是逆向思維的錯嗎？虎“老悖論”是博弈論中一個著名的邏輯悖論。國王要處決一個犯，但給他一個生還的機會。虎

犯被帶到5扇緊閉的門前，其中一扇后面一只。國王對犯說：“你必須依次打開這些門。我可以肯定的是，在你沒有打開關著老虎的那門之前，你是無法知道是在那扇門后。”顯然，如果犯有可能在打開有的那扇門證明國王撒謊，么就可活命。門之前進了如下分：

前知道，假如在第五扇門，那

他把前四扇門打開后都沒發現那他肯定猜到在

五扇門依次類推，不存在任何一道門后；犯這時就不再多想，冒冒失失

，肯定不在第五，既不在第五扇門次推門，結果從 在哪扇門后總是出乎你的意很明顯，這個推理結果是錯誤的，那么到底是哪里出錯了呢？難道是我們利用數學歸納法倒推錯論證方法沒問題，問題的關鍵在于——國王的

身就有邏矛盾，推理的前提：1、門一只；2、前4扇門沒有老虎；3、不可預料，根據前提1、2可以推出第五扇門有老虎，這與前提3的，如果國王嚴格按照自己的邏輯放置老虎的話，老虎放哪個門都不行，而徒在錯誤的前提下推斷出的結論當然也是錯誤的，“沒有”與“門后有只”本來就是嘛！幾何中的解數學題,需要正確的思路．對于很多數學問題,通常采用正面求解的思路,即從條件出發,求得結論．但是,如果直接從正面不易找到解題思路時,則可改變思維的方向,從結論入手或從條件及結論的 進行思考,從而使問題得到解2五年級春季高班14講從反師2例 學生版僅有第⑴題⑴ABCDAD9cm，AB6cm，AE=4cm，FC=5cm，則陰影部分的面積是DE ⑵ABCDAD9cm，AB6cm，△ADEDEBF及△CDF的面積DE [幾何中的考慮【解析三角形ABCD的面積為9×6=54平方厘米，△ADE的面積為9×4÷2=18平方厘米、△CDF的6×5÷2=15平方厘米，△BEF2×4÷2=4DEF的面積54-18-15-4=17平方厘米.⑵長方形ABCD的面積為9×6=54平方厘米，△ADE、四邊形DEBF及△CDF的面積相等，所以×2÷6=6厘米，所以BE=6－4=2厘米，BF=9－6=3厘米，所以△BEF的面積為2×3÷2=3平方厘米，所以陰影部分面積為18－3=15平方厘米．例 如圖，已知正方形的邊長為10厘米，則陰影部分的面積 平方厘米.(圓周率取3.143五年級春季提高班第14講 情況考慮教師3如下圖，543厘米的長方形則陰影的面積 平方厘米.(圓周率取3.14如圖所示，圖中是一個正六邊形，面積為1040平方厘米，空白部分是6個半徑為10厘米的小扇形，則陰影的面積為 平方厘米.(圓周率取3.14)【解析】⑴陰影部分的面積為因此陰影部分的面

何中的考慮]★★總面積減空白，空白部分的面積可以合成一個圓形，積為1023.145221.5 慮，用整空白13.1452434

(平方厘⑶所要求的陰影面積是用正六邊形的面積減去六個小扇形面積.扇形的面積6120π102628(平方厘米)，陰影部分的面積1040628412計數中的------------------------------------------------------ -----------------------------------學生版僅有第⑴⑵小題-⑴下圖中的4個點可以組

個三角形⑵下為2×3的點陣，取不同的三個點可能組合一個三角形，問總共可以組成 個三4五年級春季高班14講從反師4⑶下圖為4×4的點陣取不同的三個點可能組合一個三角形問總共可以組 個三角形[計數中的考慮 法2:考慮.C3C3 C38C32C34C3560328 練一

如下圖，在半圓弧及其直徑上共有 個點，以這些點為頂點可以畫出多少個三角形[計數中的考慮 C3C335431 5五年級春季提高班第14講 情況考慮教師5例 ------------------------------------------------------

-----------------------------------學生版僅有第⑴⑵小題-⑴所有的兩位數中，與76相加不產生進位的數 個，至少產生一次進位的數⑵所有三位數中，與876相加至少產生一次進位的數 個，456相加至少產生一次進位的數有多少個456相加產生的進位次數少于三次的數有456相加至少產生一次進位且不出現數字6的數有多少個

_個[計數中的考慮【解析】⑴法1:枚舉:不產生進位的數有10，11，12，13，20，21，22，23共8個，至少產生一次進位包括個

，十位進和兩位都進位.個位進位:個位可選擇4-9，十位只1，共6×1=6種可能;十位個位可選擇0-3，十位可選擇3-9，共4×7=28種可能;兩位都進位:個位可選4-9，十位可選2-96×8=48種可因此共6+28+48=82法2:不產生進位，則十位有1，2兩種選擇;個位有0，1，2，3四種選擇，共2種選擇.考慮至少產生一次進位的數，有90-8=82種可能⑵不產生進位

1×3×4=12個，至少產生一次進位的數有

12=888⑶與456相加位在個位、十位、百位都有可能，所以采用從所有三位數中減去與456相加不產生進位的數的方法更來得方便，所有的三位數一共有999-99=900個，其中與456相加進位的，它的百可能取1、2、3、4、5共5種可能可以取0、1、2、3、45可能，個數可以取0、1、2、3

4種可根原理，一共有554100個數，所以與456相加產生進位的數一共有900-⑷所有三位數

456相加在個位、十位999-99=900其中與456進位三次，個位可4、5、67、8、96能，十位可取4、56、7、8、9共6種可能，百位可取5、6、7、8、95種可據乘法原理，一共有665180于三次進位的數有900180720⑸所有三位數中與456相加產進位的數共有800個，三位數含有數字6456一定進位，三位數中含有數字6的數有900899252個，與456相加至少次進位且不出現數

6800252548-練------------------------------------------------------ -----------------------------------練所有的三位數中， 個數中至少存在一個6.[計數中的考慮【解析】正面考慮:可能個位有6，十位有6，百位有6，也可能其中2位有

，還可位都是考慮的種類很多.考慮:不存在6的三位數有8×9×9=648個.至少存在一個6的三位數有900-648=252個.6五年級春季高班14講從反師6最值中的考例 有13個不同的自然數，它們的和是100.問其中偶數最多有多少個？最少有多少個？[最值中的考慮如果有10個或10個以上奇數，它們的和至少是 DF

[幾何中的考慮46442262 如下圖，邊長為4的正方形中放入一個半圓，則陰影部分的面積 .(圓周率取3.14[幾何中的考慮 27五年級春季提高班第14講 情況考慮教師7如下圖，直角三角形的三條邊上有6個點，6個點為頂可以畫出多少個三角形[計數中的考慮 【解析】考慮:C3C3201 所有三位數中，與789相加至少產生一次進位的 多少個[計數中的考慮【解析】考慮:所有的900個三位數中減去不產生進位的數.900-從A，B，C，D，E這五種不同的書中選出兩本書，A，B至少一本被選中的情況 種[計數中的考慮 【解析】考慮:C2C27 從1～9九個數字中取出三個用這三個數可組成六個不同的三位數.若這六個三 之和2664，則這三個數字的和 【解析】設這三個數字分別為

、b、c.由于每個數字

都分別有兩次作百位、十位、個位，所不同的三位數

222×(a＋b＋c)=2664，推知2、4、6、8、10、12這六個數依次寫在一個立方體的正面、背面兩個側面以及兩個底面上，然后把立方體展開，如圖所示，最左邊的正方形上的數是12則最右邊的正方形上的數是.222?【解析】最右邊的正方形是在

2的對面也就是背面，一枚質量均勻的硬幣，連續拋9次全是正面向上，則第10次正面向上的可能性 【解析】28五年級春季高班14講從反師8【解析】、 2、求1920的因數個數3、兩個數的最大公因數是8，最小公倍數是48，求這兩個數9五年級春季提高班第14講 情況考慮教師91合因倍質合1合因倍質合[公因數與公倍數

本講鞏固本講鞏固2、本講鞏固4、100以內有幾個質數？分別是哪些？【解析】 個 .兩個質數相加和等于63，這兩個質數分別是多少？【解析】必定有唯一的偶質數2，所以另一個質數是336和240的最大公因數和最小公倍數分別是多少？【解析】短除法.最大公因48，最小公倍已知兩個數的最大公因數是7，最小公倍數是28，求這兩個數的乘積【解析728=196 有多少個因數，這些因數的和是多少？，1+2=8681高15綜合師1開開 素數定理素數定理描述素數的大致分布情況.一個個地看，素數在正整 中的出現沒有什么規律.可總體地看素數的個數有規可循.xπ(x)x的素數個數.π(x)的增長以下是第一個這樣的估計:π(x)≈x/lnx，其lnxx的自然對數.上式的意思是當x趨近∞，π(x)x/lnx1(注:該結果為高斯所發現).但這不表x增大而接近.1/2)/15)而關系式右邊第二項是誤差估計，詳見大O符號.

x趨近其Li(xdt/lnx2,x1901年瑞典數學家HelgevonKoch證明出，假設黎曼猜想成立，以上關系式誤差項的:π(x)=Li(xO(x^