2022年甘肅省嘉峪關市普通高校對口單招高等數學一自考模擬考試(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.設函數f(x)在區間(0，1)內可導f(x)>0，則在(0，1)內f(x)（）．

A.單調增加B.單調減少C.為常量D.既非單調，也非常量

2.

3.函數y=x3-3x的單調遞減區間為()A.A.(-∞,-1]

B.[-1，1]

C.[1，＋∞)

D.(-∞，＋∞)

4.A.A.1

B.

C.m

D.m2

5.A.A.橢球面B.圓錐面C.旋轉拋物面D.柱面

6.平面x+y一3z+1=0與平面2x+y+z=0相互關系是()。

A.斜交B.垂直C.平行D.重合

7.設f(x)在點x0的某鄰域內有定義，且，則f'(x0)等于()．A.-1B.-1/2C.1/2D.1

8.

9.

10.A.1/x2

B.1/x

C.e-x

D.1/(1+x)2

11.

12.已知y=ksin2x的一個原函數為y=cos2x，則k等于（）．A.A.2B.1C.－lD.－2

13.若y(x-1)=x2-1，則y'(x)等于（）A.2x+2B.x(x+1)C.x(x-1)D.2x-1

14.若∫f(x)dx=F(x)+C，則∫f(2x)dx等于()．A.A.2F(2x)+CB.F(2x)+CC.F(x)+CD.F(2x)/2+C

15.方程x2+2y2-z2=0表示的曲面是（）A.A.橢球面B.錐面C.柱面D.平面

16.

17.

A.2x+1B.2xy+1C.x2+1D.2xy

18.設函數y=ex-2,則dy=()A.e^(x-3)dxB.e^(x-2)dxC.e^(x-1)dxD.e^xdx

19.

20.下列關系式中正確的有()。A.

B.

C.

D.

二、填空題(20題)21.設函數y=x3，則y'=________.

22.

23.

24.曲線y＝x3—6x的拐點坐標為________．

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.設x2為f（x)的一個原函數，則f（x)=_____

34.曲線y=1-x-x3的拐點是__________。

35.

36.

37.

38.

39.若f(ex)=1+e2x，且f(0)=1，則f(x)=________。

40.

三、計算題(20題)41.

42.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

43.

44.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．

45.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

46.求微分方程的通解．

47.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

48.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．

49.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

50.

51.

52.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

53.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．

54.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．

55.證明：

56.

57.

58.

59.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

60.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

四、解答題(10題)61.判定y=x-sinx在[0，2π]上的單調性。

62.求由曲線y=2-x2，y=2x-1及x≥0圍成的平面圖形的面積S，以及此平面圖形繞x軸旋轉所成旋轉體的體積．

63.

64.(本題滿分10分)

65.

66.

67.

68.

69.求微分方程的通解。

70.

五、高等數學(0題)71.計算

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.A本題考查的知識點為利用導數符號判定函數的單調性．

由于f(x)在(0，1)內有f(x)>0，可知f(x)在(0，1)內單調增加，故應選A．

2.A

3.B

4.D本題考查的知識點為重要極限公式或等價無窮小量代換．

解法1

解法2

5.C本題考查的知識點為二次曲面的方程．

6.Bπ1x+y一3z+1=0的法向量n1=(1，1，一3)π2：2x+y+z=0的法向量n2=(2，1，1)∵n1.n2=(1，1，一3).(2，1，1)=0∵n1⊥n2；∴π1⊥π2

7.B由導數的定義可知

可知，故應選B。

8.B

9.D

10.A本題考查了反常積分的斂散性的知識點。

11.A

12.D本題考查的知識點為原函數的概念、復合函數求導．

13.A因f(x-1)=x2-1，故f(x)=(x+1)2-1=x2+2x，則f'(x)=2x+2.

14.D本題考查的知識點為不定積分的第一換元積分法(湊微分法)．

由題設知∫f(x)dx=F(x)+C，因此

可知應選D．

15.B對照二次曲面的標準方程可知，所給曲面為錐面，因此選B．

16.A

17.B

18.B

19.C解析：

20.B本題考查的知識點為定積分的性質．

由于x，x2都為連續函數，因此與都存在。又由于0＜x＜1時，x＞x2，因此

可知應選B。

21.3x2本題考查了函數的導數的知識點。因為y=x3，所以y'=3x2

22.

23.

24.(0，0)．

本題考查的知識點為求曲線的拐點．

依求曲線拐點的－般步驟，只需

25.2

26.1/21/2解析：

27.(-33)(-3,3)解析：

28.

29.

30.11解析：

31.

本題考查的知識點為二重積分的計算．32.0．

本題考查的知識點為連續函數在閉區間上的最小值問題．

通常求解的思路為：

33.由原函數的概念可知

34.(01)

35.-1

36.(-24)(-2,4)解析：

37.

38.

39.

因為f"(ex)=1+e2x，則等式兩邊對ex積分有

40.

41.

42.

43.

44.

45.由等價無窮小量的定義可知

46.

47.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

48.

49.由二重積分物理意義知

50.

51.

則

52.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

53.函數的定義域為

注意

54.

列表：

說明

55.

56.

57.由一階線性微分方程通解公式有

58.

59.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

60.

61.因為在[02π]內y'=1-cosx≥0可知在[02π]上y=x-sinx單調增加。因為在[0，2π]內，y'=1-cosx≥0，可知在[0,2π]上y=x-sinx單調增加。

62.如圖10-2所示．本題考查的知識點為利用定積分求平面圖形的面積；利用定積分求旋轉體體積．

需注意的是所給平面圖形一部分位于x軸上方，而另一部分位于x軸下方．而位于x軸下方的圖形繞x軸旋轉一周所成的旋轉體包含于x軸上方的圖形繞x軸旋轉一周所成的旋轉體之中，因此只需求出x軸上方圖形繞x軸旋轉所成旋轉體的體積，即為所求旋轉體體積．

63.本題考查的知識點為不定積分的換元積分運算．

【解題指導】

本題中出現的主要問題是不定積分運算丟掉任意常數C．

64.本題考查的知識點為計算二重積分，選擇積分次序．

積分區域D如圖1—3所示．

D可以表示為