2022年湖南省長沙市普通高校對口單招高等數學一自考模擬考試(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

2.

3.

4.

5.函數z=x2-xy+y2+9x-6y+20有（）

A.極大值f(4，1)=63B.極大值f(0，0)=20C.極大值f(-4，1)=-1D.極小值f(-4，1)=-1

6.

7.

8.

9.

10.微分方程y"-y'=0的通解為()。A.

B.

C.

D.

11.

12.設y1，y2為二階線性常系數微分方程y"+p1y+p2y=0的兩個特解，則C1y1+C2y2()A.為所給方程的解，但不是通解B.為所給方程的解，但不一定是通解C.為所給方程的通解D.不為所給方程的解13.設函數y=f(x)的導函數，滿足f'(-1)=0，當x＜-1時，f'(x)＜0；x＞-1時，f'(x)＞0．則下列結論肯定正確的是()．A.A.x=-1是駐點，但不是極值點B.x=-1不是駐點C.x=-1為極小值點D.x=-1為極大值點

14.

15.

16.

A.僅有水平漸近線

B.既有水平漸近線，又有鉛直漸近線

C.僅有鉛直漸近線

D.既無水平漸近線，又無鉛直漸近線

17.

18.A.1B.0C.2D.1/219.f(x)是可積的偶函數，則是()。A.偶函數B.奇函數C.非奇非偶D.可奇可偶

20.

二、填空題(20題)21.

22.

23.24.25.設y=2x2+ax+3在點x=1取得極小值，則a=_____。26.設y=ex/x，則dy=________。

27.設y=cosx，則y"=________。

28.

29.30.

31.

32.

33.

34.微分方程y=x的通解為________。

35.y=lnx，則dy=__________。

36.

37.38.方程y'-ex-y=0的通解為_____.

39.

40.

三、計算題(20題)41.

42.證明：43.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．44.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．45.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．46.47.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

48.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．49.

50.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．51.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

52.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

53.求微分方程的通解．54.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．

55.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

56.57.

58.

59.

60.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則四、解答題(10題)61.

62.

63.

64.65.

66.

67.

68.

69.

70.

五、高等數學(0題)71.F(x)是f(x)的一個原函數，c為正數，則∫f(x)dx=()。

A.

B.F(x)+c

C.F(x)+sinc

D.F(x)+lnc

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.B

2.C

3.D

4.D

5.D

6.C解析：

7.A

8.C

9.D解析：un、vn可能為任意數值，因此正項級數的比較判別法不能成立，可知應選D。

10.B本題考查的知識點為二階常系數齊次微分方程的求解。微分方程為y"-y'=0特征方程為r2-r=0特征根為r1=1，r2=0方程的通解為y=C1ex+c2可知應選B。

11.C

12.B如果y1，y2這兩個特解是線性無關的，即≠C，則C1y1+C2y2是其方程的通解?，F在題設中沒有指出是否線性無關，所以可能是通解，也可能不是通解，故選B。

13.C本題考查的知識點為極值的第一充分條件．

由f'(-1)=0，可知x=-1為f(x)的駐點，當x＜-1時，f'(x)＜0；當x＞-1時，f'(x)＞1，由極值的第一充分條件可知x=-1為f(x)的極小值點，故應選C．

14.C

15.C

16.A

17.D解析：

18.C

19.Bf(x)是可積的偶函數；設令t=-u,是奇函數。

20.A

21.

22.

23.

本題考查的知識點為二階常系數線性微分方程的求解．

24.本題考查的知識點為重要極限公式。

25.

26.

27.-cosx28.5．

本題考查的知識點為二元函數的偏導數．

解法1

解法2

29.

30.2本題考查了定積分的知識點。

31.

解析：

32.1/21/2解析：

33.(1+x)ex(1+x)ex

解析：34.本題考查可分離變量的微分方程．分離變量得dy=xdx，兩端分別積分，∫dy=∫xdx，

35.(1/x)dx

36.

37.238.ey=ex+Cy'-ex-y=0，可改寫為eydy=exdx，兩邊積分得ey=ex+C.

39.

解析：

40.1

41.

則

42.

43.

44.45.由二重積分物理意義知

46.

47.

48.

列表：

說明

49.由一階線性微分方程通解公式有

50.

51.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

52.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

53.54.函數的定義域為

注意

55.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,