2004年全國高中數學聯賽試題【第一試】一、選擇題〔此題總分值36分，每題6分〕1、設銳角q使關于x的方程有重根，那么q的弧度數為A．B。C。D。答：[]2、M=，N=，假設對于所有的，均有那么的取值范圍是A．[]B。〔〕C。〔〕D。[]答：[]3、不等式>0的解集是A．[2，3]B。〔2，3〕C。[2，4]D。〔2，4〕答：[]4、設O點在△ABC內部，且有，那么△ABC的面積與△AOC的面積之比為A．2B。C。3D。答：[]5、設三位數，假設以為三條邊的長可以構成一個等腰〔含等邊〕三角形，那么這樣的三位數有A．45個B。81個C。165個D。216個答：[]6、頂點為P的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，A是底面圓周上的點，B是底面圓內的點，O為底面圓的圓心，AB⊥OB，垂足為B，OH⊥PB，垂足為H，且PA=4，C是PA的中點，那么當三棱錐O—HPC的體積最大時，OB的長是A．B。C。D。答：[]二、填空題〔此題總分值54分，每題9分〕7、在平面直角坐標系中，函數在一個最小正周期長的區間上的圖像與函數的圖像所圍成的封閉圖形的面積是_____________。8、設函數滿足，且對任意的，都有=，那么。9、如圖，正方體中，二面角的度數是______________。10、設是給定的奇質數，正整數使得也是一個正整數，那么=________________。11、數列滿足關系式且，那么的值是______。12、在平面直角坐標系中，給定兩點M〔-1，2〕和N〔1，4〕，點P在X軸上移動，當∠MPN取最大值時，點P的橫坐標是___________。三、解答題〔此題總分值60分，每題20分〕13、一項“過關游戲〞規那么規定：在第關要拋擲一顆骰子次，如果這次拋擲所出現的點數之和大于，那么算過關。問：〔Ⅰ〕某人在這項游戲中最多能過幾關？〔Ⅱ〕他連過前三關的概率是多少？〔注：骰子是一個在各面上分別有1，2，3，4，5，6點數的均勻正方體。拋擲骰子落地靜止后，向上一面的點數為出現點數。〕14、在平面直角坐標系中，給定三點A〔0，〕，B〔-1，0〕，C〔1，0〕。點P到直線BC的距離是該點到直線AB、AC距離的等比中頂。〔Ⅰ〕求點P的軌跡方程；〔Ⅱ〕假設直線L經過△ABC的內心〔設為D〕，且與P點的軌跡恰好有3個公共點，求L的斜率的取值范圍。15、、是方程〔〕的兩個不等實根，函數的定義域為[，]。〔Ⅰ〕求〔Ⅱ〕證明：對于，假設，那么。【第二試】一、〔此題總分值50分〕在銳角△ABC中，AB上的高CE與AC上的高BD相交于點H，以DE為直徑的圓分別交AB、AC于F、G兩點，FG與AH相交于點K，BC=25，BD=20，BE=7，求AK的長。二、〔此題總分值50分〕在平面直角坐標系中，軸正半軸上的點列與曲線〔≥0〕上的點列滿足，直線在X軸上的截距為，點的橫坐標為，。〔Ⅰ〕證明>>4，。〔Ⅱ〕證明有，使得對都有<。三、〔此題總分值50分〕對于整數≥4，求出最小的整數，使得對于任何正整數，集合的任一個元子集中，均有至少3個兩兩互素的元素。參考答案第一試一、選擇題〔此題總分值36分，每題6分〕1、解：因方程有重根，故得，于是。應選B。2、解：相當于點〔0，b〕在橢圓上或它的內部。應選A。3、解：原不等式等價于設解得。即。應選C。4、解：如圖，設D，E分別是AC，BC邊的中點，那么由〔1〕〔2〕得，，即共線，且，應選C。5、解：a，b，c要能構成三角形的邊長，顯然均不為0。即〔1〕假設構成等邊三角形，設這樣的三位數的個數為，由于三位數中三個數碼都相同，所以，。〔2〕假設構成等腰〔非等邊〕三角形，設這樣的三位數的個數為，由于三位數中只有2個不同數碼。設為a、b，注意到三角形腰與底可以置換，所以可取的數碼組〔a，b〕共有。但當大數為底時，設a>b，必須滿足。此時，不能構成三角形的數碼是a987654321b4，32，14，32，13，213，211，21，211

共20種情況。同時，每個數碼組〔a，b〕中的二個數碼填上三個數位，有種情況。故。綜上，。6、解：。C是PA中點，最大，也即最大。此時，，應選D。二、填空題〔此題總分值54分，每題9分〕7、解：，它的最小正周期為，振幅為。由的圖像與的圖像圍成的封閉圖形的對稱性，可將這圖形割補成長為、寬為的長方形，故它的面積是。8、解：=即。9、解：連結，垂足為E，延長CE交于F，那么，連結AE，由對稱性知是二面角的平面角。連結AC，設AB=1，那么中，，在的補角，。10、解：設，從而是平方數，設為。〔負值舍去〕11、解：設即故數列是公比為2的等比數列，。。12、解：經過M、N兩點的圓的圓心在線段MN的垂直平分線y=3－x上，設圓心為S〔a，3－a〕，那么圓S的方程為：對于定長的弦在優弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大，所以，當取最大值時，經過M，N，P三點的圓S必與X軸相切于點P，即圓S的方程中的a值必須滿足解得a=1或a=－7。即對應的切點分別為，而過點M，N，的圓的半徑大于過點M，N，P的圓的半徑，所以，故點P〔1，0〕為所求，所以點P的橫坐標為1。三、解答題〔此題總分值60分，每題20分〕13、解：由于骰子是均勻的正方體，所以拋擲后各點數出現的可能性是相等的。〔Ⅰ〕因骰子出現的點數最大為6，而，因此，當時，n次出現的點數之和大于已不可能。即這是一個不可能事件，過關的概率為0。所以最多只能連過4關。.......5分〔Ⅱ〕設事件為“第n關過關失敗〞，那么對立事件為“第n關過關成功〞。第n關游戲中，根本領件總數為個。第1關：事件所含根本領件數為2〔即出現點數為1和2這兩種情況〕，過此關的概率為：。第2關：事件所含根本領件數為方程當a分別取2，3，4時的正整數解組數之和。即有〔個〕。過此關的概率為：。........10分第3關：事件所含根本領件為方程當a分別取3，4，5，6，7，8時的正整數解組數之和。即有〔個〕。過此關的概率為：。.........15分故連過前三關的概率為：。........20分〔說明：第2，3關的根本領件數也可以列舉出來〕14、解：〔Ⅰ〕直線AB、AC、BC的方程依次為。點到AB、AC、BC的距離依次為。依設，，即，化簡得點P的軌跡方程為圓S：......5分〔Ⅱ〕由前知，點P的軌跡包含兩局部圓S：①與雙曲線T：②因為B〔－1，0〕和C〔1，0〕是適合題設條件的點，所以點B和點C在點P的軌跡上，且點P的軌跡曲線S與T的公共點只有B、C兩點。的內心D也是適合題設條件的點，由，解得，且知它在圓S上。直線L經過D，且與點P的軌跡有3個公共點，所以，L的斜率存在，設L的方程為③〔i〕當k=0時，L與圓S相切，有唯一的公共點D；此時，直線平行于x軸，說明L與雙曲線有不同于D的兩個公共點，所以L恰好與點P的軌跡有3個公共點。......10分〔ii〕當時，L與圓S有兩個不同的交點。這時，L與點P的軌跡恰有3個公共點只能有兩種情況：情況1：直線L經過點B或點C，此時L的斜率，直線L的方程為。代入方程②得，解得。說明直線BD與曲線T有2個交點B、E；直線CD與曲線T有2個交點C、F。故當時，L恰好與點P的軌跡有3個公共點。......15分情況2：直線L不經過點B和C〔即〕，因為L與S有兩個不同的交點，所以L與雙曲線T有且只有一個公共點。即方程組有且