2023年全國高中數學聯賽江西省預賽試題一、填空題〔每題10分，共分〕1.某人在將中間的兩個數碼分別換成兩位數與時，恰好都得到完全平方數：，那么數組．2.假設一個橢圓的焦點和頂點分別是雙曲線的頂點和焦點，那么橢圓的方程為：．3.實數滿足，那么的最大值是．4.四面體中，平面與平面成的二面角，那么點到平面的距離為．5.從集合中，去掉所有的倍數以及的倍數后，那么中剩下的元素個數為．.函數的值域是．.．.九個連續正整數自小到大排成一個數列，假設的值為一平方數，的值為一立方數，那么這九個正整數之和的最小值是．二、解答題〔共分〕.〔20分〕給定軸上的一點〔〕，對于曲線上的動點，試求兩點之間距離的最小值〔用表示〕．.〔分〕如圖，、、是一個圓中三條互不相交的弦，以其中每兩條弦為一組對邊，各得到一個凸四邊形，設這三個四邊形的對角線的交點分別為；證明：三點共線．.〔25分〕項正整數列的各項之和為，如果這個數既可分為和相等的個組，又可分為和相等的個組，求的最小值．答案1.提示：注意到，對于整數，假設的末位數為，那么的末位數必為或，易知，〔〕，，因此，于是，假設要滿足條件，只可能是，，由于，，所以，．2.提示：雙曲線的兩頂點為，兩焦點為，故由條件，橢圓的兩焦點為，兩頂點為，因此，，，那么橢圓的方程為．3.提示：令，那么，由，得，因為實數，那么判別式，得．4.提示：，作平面，垂足為，連，由三垂線逆定理，，所以，故，，又因為正方形，，那么，因此正三角形的面積為，設到平面的距離為，由，得5.．提示：集合中，的倍數有個，的倍數有個，的倍數有個，那么剩下的元素個數為個．.提示：，令，那么，由此，，當時兩邊分別取得等號．.．提示：．〔注：由，那么，即．〕.提示：設這九數為，那么有，，，，那么，得①令，得，所以，再取，，化為，取，可使左式成立，這時，，．.如圖，易求得曲線上諸點的坐標為：，當，即時，曲線方程為……①；而當時，曲線方程為……②，對于情形①，即時，顯然當位于頂點處時，距離取得最小值；對于情形②，即在或時，設點，由于，因，那么，，于是，當時，取得最小值；再比擬與：令，那么當時，，，即最小值為；而當時，，那么最小值．.如圖，設為三條不相交的弦，其中，，，又設，點截的三邊，據梅涅勞斯逆定理，只要證①，用記號表示三角形面積，那么由②③由此得，因此只要證，，④注意，，那么所以，即④成立，從而①成立，故結論得證．.設分成的個組為，每組中的各數和皆為，稱這種組為類組；而分成的個組為，每組中的各數和皆為，稱這種組為類組．顯然，每個項恰好屬于一個類組和一個類組，即同類組之間沒有公共項，如果兩個組中有兩個公共項，那么可以將這兩個數合并為一個項，這樣可使值減少，故不妨設，每對至多有一個公共項．今用點分別表示，而點表示組，如果組有公共項，那么在相應的點之間連一條邊，于是得二部圖，它恰有條邊和個頂點．下面證明是連通圖．如果圖的最大連通分支為，其頂點數少于，設在分支中，有個類頂點和個類頂點，其中，那么在相應的類組和類組中，類組中的每個數都要在某個類組中出現；而類組中的每個數也都要在某個類組中出現，〔否那么將有邊與分支外的頂點連接，發生矛盾〕，因此個類組中各數的和應等于個類組中各數的和，即有，由此得，，所以，矛盾！因此是連通圖．于是圖至少有條邊，即；另一方面，我們可實際構造一個具有項的數列，滿足此題條件．例如取，，〔該數列有個取值為的項；個取值為的項；另將其余七個拆成七對，其中四對，兩對，一對，又得到個項〕，于是，每個類組可由一個，一個，或者由一個，添加一對和為