§9.2一階微分方程第九章微分方程微積分II（Calculus

）§9.2一階微分方程1.掌握變量可分離的方程及齊次微分方程的解法

；教學要求：2.掌握一階線性微分方程的解法

。一、可分離變量的微分方程二、齊次方程四、變量代換法解方程三、一階線性微分方程方程中最高階導數為一階的微分方程，稱為一階微分方程.形如一階微分方程基本知識介紹：一、可分離變量的微分方程1.引例：分離變量得：兩邊積分得：或一般解法Solution:2.定義：3.解法

兩邊積分這是方程的一般解法分離變量Solution.例1原方程分離變量得：方程兩邊同時積分，有：即有：隱式通解Solution.例2原方程分離變量得：方程兩邊同時積分，有：法1：隱式通解法2：例3:

求解微分方程分離變量，得這個解可以化簡!Solution:從而有：又y=0

也是方程的解,即：故所求通解為:例4并且同時該公司每年要以30百萬元的數額連續支付職工工資.解(1)利用平衡法,即由凈資產增長速度=資產本身增長速度職工工資支付速度得到方程(2)分離變量,得積分,得于是或得方程通解:通常稱為平衡解,仍包含在通解表達式中.(3)由通解表達式可知,凈資產額單調遞減,公司將在第36年破產;公司將收支平衡,凈資產保持在600百萬元不變;將按指數不斷增長.例5:

求解微分方程Solution:

分離變量得兩邊積分從而此外,y=1也是原方程的解,但他們不包括在通解中.稱其為奇異解(singularsolutions).例6.Solution.（了解）二、齊次微分方程1.定義：的微分方程稱為齊次方程.2.解法：作變量代換代入原式可分離變量的方程例7.求解微分方程故微分方程的解為Solution.代入原微分方程，有，即：例8.Solution.故微分方程的解為三、一階線性微分方程1.定義：上方程稱為齊次線性微分方程.上方程稱為非齊次線性微分方程.齊次方程的通解為(1)對于一階齊次線性方程2.解法:(使用分離變量法)積分得:即有:(2)對于一階非齊次線性方程方法1(常數變易法)先求出對應齊次方程的通解然后變易常數，設非齊次方程的通解為求出C(x)便可得通解.積分得：一階線性非齊次微分方程的通解為:對應齊次方程通解非齊次方程特解方法2(公式法)

注意:非齊次線性方程的通解是對應齊次方程的通解與其自身特解之和.(2)類似地，對于以x為函數的一階非齊次線性方程同時也有常數變易法.Solution1.例9.(1).(2).Solution2.例9.Solution1.例10.(1).(2).Solution2.例10.例11解分離變量,積分,得方程對應的齊次方程為變易常數,令的通解為代入原方程,積分,得得得所以所求產值函數為于是方程的通解為四、利用變量代換求微分方程的解解代入原方程原方程的通解為.)(122的通解求例yxdxdy+=解代入原式分離變量法得所求通解為另解（一階線性微分方程）,1-=dxdudxdy則.yxdydx+=方程變形為例13.小結：1.可分離變量的微分方程:分離變量法（1）分離變量;（2）兩端積分-------隱式通解.可分離變量的微分方程解法：3.線性非齊次方程2.齊次方程齊次方程的解法解法1：變易常數法解法2：拓展：可化為齊次方程的方程為齊次方程.否則為非齊次方程.(1).1.定義：(2).（不作要求）(3).(4).