2022年湖南省岳陽市普通高校對口單招高等數學一自考預測試題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

2.A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.收斂性與k有關

3.方程x2+y2-2z=0表示的二次曲面是.

A.柱面B.球面C.旋轉拋物面D.橢球面

4.設y＝sin(x-2)，則dy＝（）A.A.－cosxdx

B.cosxdX

C.－cos(x－2)dx

D.cos(x－2)dx

5.設y=x2-e2，則y=

A.2x-2e

B.2x-e2

C.2x-e

D.2x

6.

7.A.

B.

C.

D.

8.

9.

10.A.A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.收斂性與口有關

11.下列各式中正確的是（）。

A.

B.

C.

D.

12.

13.A.A.2B.1C.1/2D.0

14.

15.微分方程y’-4y=0的特征根為（）A.0，4B.-2，2C.-2，4D.2，4

16.對于微分方程y"-2y'+y=xex，利用待定系數法求其特解y*時，下列特解設法正確的是（）。A.y*=(Ax+B)ex

B.y*=x(Ax+B)ex

C.y*=Ax3ex

D.y*=x2(Ax+B)ex

17.A.A.-3/2B.3/2C.-2/3D.2/3

18.設f(x)=sin2x，則f(0)=()

A.-2B.-1C.0D.2

19.A.exln2

B.e2xln2

C.ex+ln2

D.e2x+ln2

20.A.A.0B.1C.2D.不存在

二、填空題(20題)21.曲線y=x3-3x+2的拐點是__________。

22.設y=y(x)是由方程y+ey=x所確定的隱函數，則y'=_________.

23.如果函數f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導，則在(a，b)內至少存在一點ξ，使得f(b)-f(a)=________。

24.

25.

26.

20．

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.微分方程y''+y=0的通解是______.

38.曲線y=x3－3x2－x的拐點坐標為____。

39.

40.二元函數z=xy2+arcsiny2，則=______．

三、計算題(20題)41.

42.

43.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．

44.證明：

45.

46.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．

47.

48.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．

49.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

50.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

51.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

52.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

53.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

54.

55.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

56.

57.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

58.求微分方程的通解．

59.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．

60.

四、解答題(10題)61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.設y=y(x)由方程X2+2y3+2xy+3y-x=1確定，求y'．

70.求方程y''2y'+5y=ex的通解.

五、高等數學(0題)71.

在t=1處的切線方程_______。

六、解答題(0題)72.求微分方程y'-(1/x)y=-1的通解。

參考答案

1.A

2.A本題考查的知識點為無窮級數的收斂性。

3.C本題考查了二次曲面的知識點。x2+y2-2z=0可化為x2/2+y2/2=z,故表示的是旋轉拋物面。

4.D本題考查的知識點為微分運算．

可知應選D．

5.D

6.C解析：

7.D本題考查的知識點為牛頓一萊布尼茨公式和定積分的換元法。因此選D。

8.D

9.C解析：

10.A

11.B

12.D

13.D

14.C

15.B由r2-4=0，r1=2，r2=-2，知y"-4y=0的特征根為2，-2，故選B．

16.D特征方程為r2-2r+1=0，特征根為r=1(二重根)，f(x)=xex，α=1為特征根，因此原方程特解y*=x2(Ax+B)ex，因此選D。

17.A

18.D由f(c)=sin2x可得f"(x)=cos2x(2x)"=2cos2x，f"(0)=2cos0=2，故選D。

19.B因f'(x)=f(x)·2,即y'=2y，此為常系數一階線性齊次方程，其特征根為r=2，所以其通解為y=Ce2x，又當x=0時，f(0)=ln2,所以C=ln2,故f(x）=e2xln2.

20.C本題考查的知識點為左極限、右極限與極限的關系．

21.(02)

22.1/(1+ey)本題考查了隱函數的求導的知識點。

23.f"(ξ)(b-a)由題目條件可知函數f(x)在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，因此必定存在一點ξ∈(a，b)，使f(b)-f(a)=f"(ξ)(b-a)。

24.

25.

26.

27.

28.2

29.ee解析：

30.

解析：本題考查的知識點為不定積分的湊微分法．

31.

32.

33.

34.

35.1/π

36.

本題考查的知識點為二元函數的偏導數．37.y=C1cosx+C2sinx微分方程y''+y=0的特征方程是r2+1=0，故特征根為r=±i，所以方程的通解為y=C1cosx+C2sinx.

38.（1，-1）

39.答案：1

40.y2

；本題考查的知識點為二元函數的偏導數．

只需將y，arcsiny2認作為常數，則

41.

42.

43.

44.

45.

46.函數的定義域為

注意

47.由一階線性微分方程通解公式有

48.

列表：

說明

49.

50.由二重積分物理意義知

51.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

52.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

53.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

54.

則

55.由等價無窮小量的定義可知

56.

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.解法1將所給方程兩端關于x求導，可得2x+6y2·y'+2(y+xy')+3y'-1=0，整理可得

解法2令F(x，y)=x2+2y3+2xy+3y-x-1，則本題考查的知識點為隱函數求導法．

y=y(x)由方程F(x，Y)=0確定，求y'通常有兩種方法：

一是將F(x，y)=0兩端關于x求導，認定y為中間變量，得到含有y'的方程，從中解出y'．

二是利用隱函數求導公式其中F'x，F'y分別為F(x，y)=0中F(