2022年河南省開封市普通高校對口單招高等數學一自考模擬考試(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.如圖所示，在乎板和受拉螺栓之間墊上一個墊圈，可以提高()。

A.螺栓的拉伸強度B.螺栓的剪切強度C.螺栓的擠壓強度D.平板的擠壓強度

2.設y=f(x)在[0，1]上連續，且f(0)>0，f(1)<0，則下列選項正確的是

A.f(x)在[0，1]上可能無界

B.f(x)在[0，1]上未必有最小值

C.f(x)在[0，1]上未必有最大值

D.方程f(x)=0在(0，1)內至少有一個實根

3.（）。A.3B.2C.1D.0

4.

5.A.

B.

C.

D.

6.

7.方程x2+y2-2z=0表示的二次曲面是.

A.柱面B.球面C.旋轉拋物面D.橢球面

8.

9.設函數f(x)在[a,b]上連續,在(a,b)可導，f'(x)>0,f(a)f(b)<0,則f(x)在(a,b)內零點的個數為

A.3B.2C.1D.0

10.A.

B.

C.

D.

11.

12.設y=f(x)為可導函數，則當△x→0時，△y-dy為△x的A.A.高階無窮小B.等價無窮小C.同階但不等價無窮小D.低階無窮小

13.

14.

15.A.A.-(1/2)B.1/2C.-1D.2

16.若f(x)有連續導數，下列等式中一定成立的是

A.d∫f(x)dx=f(x)dx

B.d∫f(x)dx=f(x)

C.d∫f(x)dx=f(x)+C

D.∫df(x)=f(x)

17.()A.A.(-∞，-3)和(3，＋∞)

B.(-3，3)

C.(-∞，O)和(0，＋∞)

D.(-3，0)和(0，3)

18.

19.若在(a，b)內f'(x)<0，f''(x)<0，則f(x)在(a，b)內()。A.單減，凸B.單增，凹C.單減，凹D.單增，凸

20.微分方程y"+y'=0的通解為

A.y=Ce-x

B.y=e-x+C

C.y=C1e-x+C2

D.y=e-x

二、填空題(20題)21.22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.34.35.36.37.

38.

39.

40.

三、計算題(20題)41.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．42.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．43.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．44.45.

46.

47.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

48.求微分方程的通解．49.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

50.

51.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

52.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．53.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則54.55.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

56.

57.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．58.求曲線在點(1，3)處的切線方程．59.證明：60.

四、解答題(10題)61.

確定a，b使得f(x)在x=0可導。

62.將函數f(x)=lnx展開成(x-1)的冪級數，并指出收斂區間。

63.

64.

65.設z=z(x，y)由ez-xyz=1所確定，求全微分dz。

66.求y=xex的極值及曲線的凹凸區間與拐點．67.

68.

69.70.五、高等數學(0題)71.

在t=1處的切線方程_______。

六、解答題(0題)72.在曲線y=x2(x≥0)上某點A(a，a2)處作切線，使該切線與曲線及x軸所圍成的圖形的面積為1/12．試求：(1)切點A的坐標((a，a2)．(2)過切點A的切線方程．

參考答案

1.D

2.D

3.A

4.D解析：

5.D本題考查的知識點為牛頓一萊布尼茨公式和定積分的換元法。因此選D。

6.A

7.C本題考查了二次曲面的知識點。x2+y2-2z=0可化為x2/2+y2/2=z,故表示的是旋轉拋物面。

8.B

9.C本題考查了零點存在定理的知識點。由零點存在定理可知,f(x)在(a,b)上必有零點，且函數是單調函數，故其在(a,b)上只有一個零點。

10.C據右端的二次積分可得積分區域D為選項中顯然沒有這個結果，于是須將該區域D用另一種不等式（X-型）表示.故D又可表示為

11.A

12.A由微分的定義可知△y=dy+o(△x)，因此當△x→0時△y-dy=o(△x)為△x的高階無窮小，因此選A。

13.C

14.D解析：

15.A

16.A解析：若設F'(x)=f(x)，由不定積分定義知，∫f(x)dx=F(x)+C。從而

有：d∫f(x)dx=d∫F(x)+C]=F'(x)dx=f(x)dx，故A正確。D中應為∫df(x)=f(x)+C。

17.D

18.B解析：

19.A∵f'(x)<0，f(x)單減；f''(x)<0，f(x)凸∴f(x)在(a，b)內單減且凸。

20.C解析：y"+y'=0，特征方程為r2+r=0，特征根為r1=0，r2=-1；方程的通解為y=C1e-x+C1，可知選C。

21.

本題考查的知識點為重要極限公式．

22.

23.e-6

24.[01)∪(1+∞)

25.1/61/6解析：

26.0

27.y=1y=1解析：

28.(12)

29.2

30.(-22)

31.本題考查的知識點為兩個：參數方程形式的函數求導和可變上限積分求導．

32.

33.

本題考查的知識點為定積分運算．

34.

35.＜0本題考查了反常積分的斂散性(比較判別法)的知識點。

36.

37.-1本題考查了利用導數定義求極限的知識點。

38.2/3

39.ln2

40.

本題考查的知識點為導數的四則運算．

41.

列表：

說明

42.

43.由二重積分物理意義知

44.

45.由一階線性微分方程通解公式有

46.

47.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

48.

49.

50.

51.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％52.函數的定義域為

注意

53.由等價無窮小量的定義可知

54.

55.

56.

57.58.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

59.

60.

則

61.

①f(0)=1；f-=(0)=1；+(0)=a+b；∵可導一定連續∴a+b=1②

∵可導f-"(x)=f+"(x)∴b=-4∴a=5①f(0)=1；f-=(0)=1；+(0)=a+b；∵可導一定連續∴a+b=1②∵可導f-"(x)=f+"(x)∴b=-4∴a=5①f(0)=1；f-=(0)=1；+(0)=a+b；∵可導一定連續∴a+b=1②∵可導f-"(x)=f+"(x)∴b=-4∴a=5

62.

63.

64.

65.66.y=xex

的定義域為(-∞，+∞)，y'=(1+x)ex，y"=(2+x)ex．令y'=0，得駐點x1=-1．令y"=0，得x2=-2．

極小值點為x=-1，極小值為

曲線的凹區間為(-2，+∞)；曲線的凸區間為(-∞，-2)；拐點為本題考查的知識點為：描述函數幾何性態的綜合問題．

67.

68.

69.

70.

71.在t=1處切線的切點(14)；斜率

∴切線方程y一4=4(x一1)；即y=4x,在t=1處切線的切點(1,4)；斜率

∴切線方程y一4=4(x一1)；即y=4x72.由于y=x2，則y'=2x，曲線y=x2上過點A(a，a2)