江蘇省連云港市塔山第二中學2021-2022學年高二數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在空間中，下列命題正確的是（）A．平行于同一平面的兩條直線平行B．平行于同一直線的兩個平面平行C．垂直于同一直線的兩條直線平行D．平行于同一平面的兩個平面平行參考答案：D【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】在A中，兩條直線平行、相交或異面；在B中，兩個平面平行或相交；在C中，兩條直線平行、相交或異面；在D中，由平面與平面平行的性質定理得行于同一平面的兩個平面平行．【解答】解：平行于同一平面的兩條直線平行、相交或異面，故A錯誤；平行于同一直線的兩個平面平行或相交，故B錯誤；垂直于同一直線的兩條直線平行、相交或異面，故C錯誤；由平面與平面平行的性質定理得行于同一平面的兩個平面平行，故D正確．故選：D．2.已知函數，其導函數的圖象如圖所示，則(

)A．在(－∞,0)上為減函數

B．在x=1處取極小值

C．在x=2處取極大值

D．在(4,+∞)上為減函數參考答案：D3.設函數在R上可導，其導函數為，且函數的圖象如圖所示，則函數有下列結論中一定成立的是A．有極大值和極小值

B．有極大值和極小值C．有極大值和極小值D．有極大值和極小值參考答案：D略4.在一次歌手大獎賽上，七位評委為歌手打出的分數（滿分10分）莖葉圖如圖：去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據的平均值和方差分別為（）A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.016參考答案：D【考點】極差、方差與標準差；眾數、中位數、平均數．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；概率與統計．【分析】利用莖葉圖性質、平均數和方差公式求解．【解答】解：由莖葉圖得去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據的平均值：，方差．故選：D．【點評】本題考查一組數據的平均值和方差的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意莖葉圖的性質的合理運用．5.在等差數列中，且，則使前項和取最小值的等于（

）A．5

B．6

C．7

D．8參考答案：B6.等差數列{an}中，已知a1＝，a2+a5＝4，an＝33，則n為

（

）A．50

B．49

C．48

D．47參考答案：A7.設a=20.01，b=ln，c=log3，則a，b，c的大小關系是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b參考答案：A【考點】對數值大小的比較．【分析】判斷三個數與0，1的大小，即可得到結果．【解答】解：a=20.01＞1，0=ln1＜b=ln＜lne=1，c=log3＜0，則a＞b＞c，故選：A8.利用數學歸納法證明不等式的過程，由到時，左邊增加了（

）A．1項

B．k項

C．項

D．項參考答案：D9.冪函數f（x）=xα的圖象過點（2，4），那么函數f（x）的單調遞增區間是（）A．（﹣2，+∞）B．[﹣1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，﹣2）參考答案：C考點：冪函數的性質．專題：計算題．分析：利用點在冪函數的圖象上，求出α的值，然后求出冪函數的單調增區間．解答：解：冪函數f（x）=xα的圖象過點（2，4），所以4=2α，即α=2，所以冪函數為f（x）=x2它的單調遞增區間是：[0，+∞）故選C．點評：本題考查求冪函數的解析式，冪函數的單調性，是基礎題．10.甲校有3600名學生，乙校有5400名學生，丙校有1800名學生，為統計三校學生某方面的情況，計劃采用分層抽樣法，抽取一個樣本容量為90人的樣本，應在這三校分別抽取學生(

)A．30人，30人，30人

B．30人，45人，15人C．20人，30人，40人

D．30人，50人，10人參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下圖是一個算法的流程圖，則輸出S的值是__________參考答案：6312.已知經過計算和驗證有下列正確的不等式:,,,,,根據以上不等式的規律，寫出一個一般性的不等式.參考答案：13.已知函數f(x)＝x3＋ax在R上有兩個極值點，則實數a的取值范圍是________．參考答案：(－∞，0)14.從4名男同學、3名女同學中選3名同學組成一個小組，要求其中男、女同學都有，則共有種不同的選法．（用數字作答）參考答案：30【考點】排列、組合及簡單計數問題．【分析】不考慮特殊情況有C73，只選男同學C43，只選女同學C33，由對立事件的選法，可求．【解答】解：不考慮特殊情況有C73，利用對立事件的選法，故有C73﹣C43﹣C33=30，故答案為30．15.如圖，設橢圓的左右焦點分別為，過焦點的直線交橢圓于兩點，若的內切圓的面積為，設兩點的坐標分別為，則值為

．

參考答案：略16.小軍、小燕和小明是同班同學，假設他們三人早上到校先后的可能性是相同的，則事件“小燕比小明先到校”的概率是________.參考答案：17.已知直線（，則直線一定通過定點

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.以橢圓C：=1（a＞b＞0）的中心O為圓心，以為半徑的圓稱為該橢圓的“伴隨”．已知橢圓的離心率為，且過點．（1）求橢圓C及其“伴隨”的方程；（2）過點P（0，m）作“伴隨”的切線l交橢圓C于A，B兩點，記△AOB（O為坐標原點）的面積為S△AOB，將S△AOB表示為m的函數，并求S△AOB的最大值．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（1）由橢圓C的離心率，結合a，b，c的關系，得到a=2b，設橢圓方程，再代入點，即可得到橢圓方程和“伴隨”的方程；（2）設切線l的方程為y=kx+m，聯立橢圓方程，消去y得到x的二次方程，運用韋達定理和弦長公式，即可得到AB的長，由l與圓x2+y2=1相切，得到k，m的關系式，求出三角形ABC的面積，運用基本不等式即可得到最大值．【解答】解：（1）橢圓C的離心率為，即c=，由c2=a2﹣b2，則a=2b，設橢圓C的方程為，∵橢圓C過點，∴，∴b=1，a=2，以為半徑即以1為半徑，∴橢圓C的標準方程為，橢圓C的“伴隨”方程為x2+y2=1．（2）由題意知，|m|≥1．易知切線l的斜率存在，設切線l的方程為y=kx+m，由得，設A，B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），則，．又由l與圓x2+y2=1相切，所以，k2=m2﹣1．所以=，則，|m|≥1．（當且僅當時取等號）所以當時，S△AOB的最大值為1．19.(本小題滿分10分)選修4-1：幾何證明選講如圖，是△的外接圓，D是的中點，BD交AC于E．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，O到AC的距離為1，求⊙O的半徑．參考答案：（I）證明：∵，∴，又，∴△～△，∴，∴CD=DE·DB；

………………（5分）20.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）經過點M（1，），F1，F2是橢圓C的兩個焦點，|F1F2|=2，P是橢圓C上的一個動點．（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）若點P在第一象限，且?≤，求點P的橫坐標的取值范圍；（Ⅲ）是否存在過定點N（0，2）的直線l交橢圓C交于不同的兩點A，B，使∠AOB=90°（其中O為坐標原點）？若存在，求出直線l的斜率k；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程．【分析】（Ⅰ）由橢圓經過點M（1，），|F1F2|=2，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的標準方程．（Ⅱ）設P（x，y），則=（3x2﹣8），由此能求出點P的橫坐標的取值范圍．（Ⅲ）設直線l的方程為y=kx+2，聯立，得（1+4k2）x2+16kx+12=0，由此利用根的判別式、韋達定理、向量的數量積，結合已知條件能求出直線的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵橢圓C：+=1（a＞b＞0）經過點M（1，），F1，F2是橢圓C的兩個焦點，|F1F2|=2，∴，解得a=2，b=1，∴橢圓C的標準方程為．（Ⅱ）∵c=，F1（﹣，0），F2（），設P（x，y），則=（﹣）?（）=x2+y2﹣3，∵，∴=x2+y2﹣3==（3x2﹣8），解得﹣，∵點P在第一象限，∴x＞0，∴0＜x＜，∴點P的橫坐標的取值范圍是（0，]．（Ⅲ）當直線l的斜率不存在時，直線l即為y軸，A、B、O三點共線，不符合題意，當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+2，聯立，得（1+4k2）x2+16kx+12=0，由△=（16k）2﹣48（1+4k2）＞0，解得，，，∵∠AOB=90°，∴=0，∵=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+2）（kx2+2）==0，解得k2=4，滿足k2＞，解得k=2或k=﹣2，∴直線l的斜率k的值為﹣2或2．21.一直線被兩直線，截得的線段的中點恰好是坐標原點，求該直線方程．參考答案：見解析．解：設所求直線與，的交點分別是，，設，則點坐標為，因為，分別在，上，所以，①②得：，即點在直線上，又直線過原點，所以直線的方程為．22.如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分別是AD，DD1中點．求證：（1）EF∥平面C1BD；（2）A1C⊥平面C1BD．參考答案：【考點】直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．【分析】（1）連接AD1，由已知可證四邊形ABC1D1為平行四邊形，即有A1D∥BC1，可證得EF∥BC1，又EF?平面C1BD，BC1?平面C1BD，從而可證EF∥平面AB1D1．（2）連接AC，則AC⊥BD．可證AA1⊥平面ABCD，又AA1⊥BD，又AA1∩AC=A，可證BD⊥平面AA1C，有A1C⊥BD．同理可證A1C⊥BC1，又BD∩BC1=B，即可證明A1C⊥平面C1BD．【解答】證明：（1）連接AD1，∵E，F分別是AD和DD1的中