江蘇省常州市金壇市第一高級中學2021-2022學年高三數學文下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.定義設，則由函數的圖象與軸、直線所圍成的封閉圖形的面積（

）A． B． C． D．參考答案：B由，得，則圖象的交點為，∵∴根據對稱性可得函數f(x)的圖象與x軸、直線x=4所圍成的封閉圖形的面積為故選B

2.若在曲線上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線的“自公切線”。下列方程：①②③④對應的曲線中存在“自公切線”的有

A．①③

B．①④

C．②③

D．②④參考答案：C3.已知A，B，C，D四點均在以點為球心的球面上，且，.若球在內且與平面BCD相切，則球直徑的最大值為（

）A.1 B.2 C.4 D.8參考答案：D如圖所示:取CD的中點O,連接AO,BO,如圖，因為BC=BD=，,所以因為，所以AO⊥CD,且AO=2，又因為OD=4，BO=4，所以故AO⊥OB，又BO∩CD=O,所以AO⊥平面BCD,所以在AO上，連接,設則即解之得R=5，球的直徑最大時，球與平面BCD相切且與球內切，A,O,四點共線，此時球的直徑為R+=8.故選D.點睛：本題是一個難題，只有通過計算，認清以A,B,C,D為頂點的三棱錐的圖形特征，正確判斷球心的位置，借助方程求出球的半徑，直觀判斷球心的位置，才能迎刃而解.4.已知不等式組（a＞0）表示的平面區域的面積為，則a=（）A． B．3 C． D．2參考答案：A【考點】7B：二元一次不等式（組）與平面區域．【分析】畫出約束條件表示的可行域，如圖求出交點坐標，然后求出兩個三角形面積，列出關于a的方程，再求出a即可．【解答】解：畫出約束條件表示的可行域，如圖中陰影部分，由題意B（2，0），A（x，y）不等式組所表示的平面區域的面積為：=∴y=，x=代入直線方程x+ay=2，∴a=故選A．5.已知函數y=f（x）是偶函數，且f（2）=5，那么f（2）+f（﹣2）的值為（）A．0 B．2 C．5 D．10參考答案：D考點： 函數奇偶性的性質．專題： 函數的性質及應用．分析： 利用偶函數的性質直接求解即可．解答： 解：函數y=f（x）是偶函數，且f（2）=5，則f（﹣2）=5，那么f（2）+f（﹣2）=10．故選：D．點評： 本題考查函數的奇偶性的應用，考查計算能力．6.中有一條對稱軸是，則最大值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B方法一；

當時，平方得：

求得

得方法二：因為對稱軸為

所以可知此時的導函數值為0

所以

所以

所以最大值注意；給三角函數求導也是一種辦法，將三角函數求導后原三角函數的對稱軸處的導函數都為07.設全集U=N*，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，則圖中的陰影部分表示的集合為（）A．{2} B．{4，6} C．{1，3，5} D．{2，4，6}參考答案：B【考點】Venn圖表達集合的關系及運算．【分析】由韋恩圖可知陰影部分表示的集合為（CUA）∩B，根據集合的運算求解即可．【解答】解：由韋恩圖可知陰影部分表示的集合為（CUA）∩B，∴（CUA）∩B={4，6}．故選B8.若與都是非零向量，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C9.在復平面內，復數（是虛數單位）所對應的點位于A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：B略10.設，則（

）． A． B． C． D．參考答案：A∵，∴，∴選擇．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.以正四面體ABCD各棱中點為頂點的幾何體的體積與該正四面體的體積之比為

參考答案：略12.不等式的解集為_____________.參考答案：略13.已知圓柱M的底面圓的半徑與球O的半徑相同，若圓柱M與球O的表面積相等，則它們的體積之比=

(用數值作答)．參考答案：14.已知，，則的最小值為▲

.參考答案：15.設

．

參考答案：略16.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ為實數，(a＋λb)∥c，則λ＝

參考答案：λ＝.17.如圖，半徑為2的⊙O中，,為的中點，的延長線交⊙O于點，則線段的長為_________

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知無窮數列的首項，.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）記，為數列的前項和，證明：對任意正整數，.參考答案：（Ⅰ）證明：①當時顯然成立；②假設當時不等式成立，即，那么當時，，所以，即時不等式也成立.綜合①②可知，對任意成立.--------------------------------5分（Ⅱ），即，所以數列為遞增數列。------------7分又，易知為遞減數列，所以也為遞減數列，所以當時，-------------------10分所以當時，------12分當時，，成立；當時，綜上，對任意正整數，-----------------------------------------------------------------15分19.已知函數（）在處取得極值.（1）求、滿足的關系式；（2）解關于的不等式.參考答案：（1），又由題意得，即、滿足的關系式是.（2）由得，即，∴，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為.20.[選修4—5：不等式選講]（10分）已知f(x)=|x+1|－|ax－1|．⑴當a=1時，求不等式f(x)＞1的解集；⑵若x∈(0,1)時不等式f(x)＞x成立，求a的取值范圍．參考答案：解：（1）當時，，即故不等式的解集為．（2）當時成立等價于當時成立．若，則當時；若，的解集為，所以，故．綜上，a的取值范圍為(0,2]．

21.已知函數（I）求函數f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求使函數f（x）取得最大值的x的集合．參考答案：【考點】GL：三角函數中的恒等變換應用；H2：正弦函數的圖象．【分析】（I）利用二倍角公式化簡，再代入周期公式即可；（II）令2x﹣=2kπ+得出x的集合．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin（2x﹣）+1﹣cos（2x﹣）=2sin（2x﹣﹣）+1=2sin（2x﹣）+1∴T==π，（Ⅱ）當f（x）取最大值時，sin（2x﹣）=1，故2x﹣=2kπ+即x=kπ+，k∈Z．∴所求x的集合為{x∈R|x=kπ+，（k∈Z）}．22.（本小題滿分12分）如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥面ABC,AC⊥BC，E分別在線段B1C1上，B1E＝3EC1，AC=BC=CC1=4.（Ⅰ）求證：BC⊥AC1；（Ⅱ）試探究：在AC上是否存在點F，滿足EF∥平面A1ABB1，若存在，請指出點F的位置，并給出點F的位置，并給出證明;若不存在，說明理由.參考答案：(1)∵AA1⊥面ABC，BC?面ABC，∴BC⊥AA1.（1分）又∵BC⊥AC，AA1，AC?面AA1C1C，AA1∩AC＝A，∴BC⊥面AA1C1C，（3分）又AC1?面AA1C1C，∴BC⊥AC1.（4分）(2)(法一)當AF＝3FC時，FE∥平面A1ABB1.（7分）理由如下：在平面A1B1C1內過E作EG∥A1C1交A1B1于G，連結AG.∵B1E＝3EC1，∴EG＝A1C1，又AF∥A1C1且AF＝A1C1，∴AF∥EG且AF＝EG，∴四邊形AFEG為平行四邊形，∴EF∥AG，（10分）又EF?面A1ABB1，AG?面A1ABB1，∴EF∥平面A1ABB1.（12分）(法二)當AF＝3FC時，FE∥平面A1ABB1.（9分）理由如下：在平面BCC1B1內過E作EG∥BB1交BC于G，連