資金的時間價值

案例：拿破侖的“玫瑰花承諾”拿破侖1797年3月在盧森堡第一國立小學演講時說了這樣一番話：“為了答謝貴校對我，尤其是對我夫人約瑟芬的盛情款待，我不僅今天呈上一束玫瑰花，并且在未來的日子里，只要我們法蘭西存在一天，每年的今天我將親自派人送給貴校一束價值相等的玫瑰花，作為法蘭西與盧森堡友誼的象征。”時過境遷，拿破侖窮于應付連綿的戰爭和此起彼伏的政治事件，最終慘敗而流放到圣赫勒拿島，把盧森堡的諾言忘得一干二凈。可盧森堡這個小國對這位“歐洲巨人與盧森堡孩子親切、和諧相處的一刻”念念不忘，并載入他們的史冊。1984年底，盧森堡舊事重提，向法國提出違背“贈送玫瑰花”諾言的索賠；要么從1797年起，用3路易作為一束玫瑰花的本金，以5厘復利（即利滾利）計息全部清償這筆“玫瑰花”債；要么法國政府在法國政府各大報刊上公開承認拿破侖是個言而無信的小人。

起初，法國政府準備不惜重金贖回拿破侖的聲譽，但卻又被電腦算出的數字驚呆了：原本3路易的許諾，本息竟高達1375596法郎。

經苦思冥想，法國政府斟詞酌句的答復是：“以后，無論在精神上還是在物質上，法國將始終不渝地對盧森堡大公國的中小學教育事業予以支持與贊助，來兌現我們的拿破侖將軍那一諾千金的玫瑰花信譽。”這一措辭最終得到了盧森堡人民地諒解。

思考：

（1）為何本案例中每年贈送價值3路易的玫瑰花相當于在187年后一次性支付1375596法郎？

（2）今天的1元錢與一年后的1元錢等價嗎？

1.利息計算的種類利息的計算有兩種:單利和復利計息期：可以根據有關規定或事先的合同約定來確定單利計息所謂單利既是指每期均按原始本金計算利息計算公式：

I=PniF=P(1+ni)

I--利息P--借入本金n--計息期數i--利率

F—n年末的本利和利息計算的種類復利計息是指將這期利息轉為下期的本金，下期將按本利和的總額計息。不僅本金計算利息，利息再計利息。(“利滾利”)計算公式：二、名義利率和實際利率實際（有效）利率：資金在計息期所發生的實際利率名義利率：指年利率，不考慮計息期的大小一個計息期的有效利率i與一年內的計息次數n的乘積r=i×n

例如：月利率i=1%，一年計息12次， 則r=1%*12=12%年有效利率

例如：名義利率r=12%，一年計息12次， 則i=（1+1%）12-1=12.68%

問題：兩家銀行提供貸款，一家報價年利率為7.85%，按月計息；另一家報價利率為8%，按年計息，請問你選擇哪家銀行？名義利率和有效利率離散復利：一年中計息次數是有限的連續復利：一年中計息次數是無限的推導過程？名義利率和有效利率例:已知某項目的計息期為月,月利率為8‰,則項目的名義利率為()。

A.8%B.8‰C.9.6%D.9.6‰解:（年）名義利率=每一計息期的有效利率×一年中計息期數

所以r=12×8‰=96‰=9.6%四、現金流量計算期計算期的長短取決于項目的性質，或根據產品的壽命周期，或根據主要生產設備的經濟壽命，或根據合資合作年限，一般取上述考慮中較短者，最長不超過20年。為了分析的方便，我們人為地將整個計算期分為若干期，并假定現金的流入流出是在期末發生的。通常以一年為一期，即把所有一年間產生的流入和流出累積到那年的年末。現金流量概念現金流量現金流入量 指在整個計算期內所發生的實際的現金流入現金流出量 指在整個計算期內所發生的實際現金支出凈現金流量 指現金流入量和現金流出量之差。流入量大于流出量時，其值為正，反之為負。現金流量圖用圖示的方法表明一個投資項目或方案在計算期內的現金運動狀況，叫現金流量圖。要素：發生時點、凈現金流量金額大小、現金流量的性質（現金流入或流出）現金流量圖的制作一般遵循以下規則：（1）以橫坐標表示時間軸，自左向右延伸表示時間的延續，單位通常是年；軸線等分為若干時間間隔，軸上的時點表示期末，本期末即下期初。零時點即“時間0”代表項目方案開始的時間。（2）現金流入或流出通長從資金使用者的角度考慮，凡屬收入、收益、借入的資金視為現金流入；凡屬支出、損失、貸出的資金視為現金流出。（3）假設投資僅在各期期初發生，現金流量僅集中發生在每期的期末。在各期分界點上發生的現金流入與支出，都應看作是每個時期的累計值，即凈現金流量，而不一定是剛好在這個時點上所發生的資金數額。（4）現金流量是矢量，具有方向性。通常用與橫坐標軸相連的垂直線代表流入或流出該系統的現金流量，向上的箭頭表示正現金流量，即凈現金流入，向下的箭頭表示負現金流量，即凈現金流出。（5）現金流量的大小有兩種表示方法：一種是與箭線成正比例繪制，另一種是只用具體數字表示流量的大小，而與箭線的長度無關。現金流量圖cashflowdiagram

現金流量圖的概念現金流量圖包括的要素：（1）帶有計息周期的數軸（2）表示資金流入和流出多少的箭線

(3)折現率01234n-1n現金流量圖的觀點：1262010001234借款人收入支出支出100012624貸款人

0123收入例：例：某項目第一、二年分別投資500、300萬元，以后各年均收益200萬元、經營成本60萬元，期末殘值50萬元。畫該項目的現金流量圖。畫現金流量圖注意：投資通常在所在期期初，收益確認和成本確認則在期末第二節等值計算

資金等值：將不同時點的幾筆資金按同一收益率標準，換算到同一時點，如果其數值相等，則稱這幾筆資金等值。影響因素：金額大小、金額發生的時間、

利率高低例如，在年利率6%情況下，現在的300元等值于8年末的300×(1+0.06)8=478.20元。這兩個等值的現金流量如下圖所示。478.20

012345678年300i=6%

012345678年i=6%

同一利率下不同時間的貨幣等值

貨幣等值是考慮了貨幣的時間價值。即使金額相等，由于發生的時間不同，其價值并不一定相等；反之，不同時間上發生的金額不等，其貨幣的價值卻可能相等。貨幣的等值包括三個因素

金額金額發生的時間利率在經濟活動中，等值是一個非常重要的概念，在方案評價、比較中廣泛應用。

資金等值計算公式一次支付復利公式式中：

F--終值P--現值

i--利率n--計息期數

其中（1+i）n稱為一次支付復利系數記為（F/Pi,n）現金流量圖0123n-1nPF某企業投資1000萬元進行技術改造，年利率7%，5年后可得本利共多少？解：F=1000（1+7%）5

=1000（F/P,7%，5）

=1000*1.4026=1403萬元一次支付現值公式式中1/（1+i)n稱為一次支付現值系數，記(P/Fi,n)某企業對投資收益率為12%的項目進行投資，欲五年后得到100萬元，現在應投資多少？解：P=100（1+12%）-5 =100（P/F12，5）

=100*0.5674 =56.74萬元等額支付系列復利公式式中（1+i)n-1/i稱為等額支付系列復利系數，記為（F/Ai,n)0123n-1nFAAAAA某企業每年將100萬元存入銀行，若年利率為6%，5年后有多少資金可用？解：F=100*（F/A,6,5）

=100*5.637

=563.7萬元等額支付系列復利公式等額支付系列積累基金公式式中i/[(1+i)n-1]為等額支付系列積累基金系數，記為（A/Fi,n)某公司5年后需一次性還一筆200萬元的借款，存款利率為10%，從現在起企業每年等額存入銀行多少償債基金？解：A=200（A/F,10,5）萬元

=200*0.1638萬元

=32.75萬元等額支付系列積累基金公式

等額支付系列資金恢復公式式中i(1+i)n/[(1+i)n-1]為等額支付系列資金恢復系數，記為（A/P,i,n)現金流量圖0123n-1nPAAAAA利息公式某工程初期總投資為1000萬元，利率為5%，問在10年內要將總投資連本帶息收回，每年凈收益應為多少？解：A=1000（A/P5，10）

=1000*0.1295

=129.5萬元等額支付系列資金恢復公式等額支付系列現值公式式中[(1+i)n-1]/[i(1+i)n]稱為等額支付系列現值系數，記為（P/Ai,n)某工程項目每年獲凈收益100萬元，利率為10%，項目可用每年獲凈收益在6年內回收初始投資，問初始投資為多少？解：P=100（P/A10，6）萬元

=100*4.3553萬元

=435.53萬元均勻梯度系列公式(難點)均勻增加支付系列A1+(n-1)GA1A1+GA1+2GA1+(n-2)G…012345n－1n＋A1…012345n－1n（1）A2…012345n－1n

（3）（n－2）GG…012345n－1n2G3G4G（n－1）G（2）A2=G1n]ii－（A/F,i,n）[圖（2）的將來值F2為:F2=G（F/A,i,n－1）+G（F/A,i,n－2）+…+G（F/A,i,2）+G（F/A,i,1）=G[]（1+i）n－1－1i（1+i）n－2－1i＋G][＋G（1+i）2－1i[]

…＋i（1+i）1－1[]Gi+（1+i）1－1[]G[（1+i）n-1+（1+i）n-2++（1+i）2+（1+i）1－（n－1）×1]=Gi

…[（1+i）n-1+（1+i）n-2++（1+i）2+（1+i）1+1]－=iGnGi=iG（1+i）n－1inGi－iG（1+i）n－1nGiA2=F2

（1+i）n－1[]=[iii－]（1+i）n－1[]GnGiGnG=ii－（1+i）n－1[]=ii－（A/F,i,n）=G1n]ii－（A/F,i,n）[梯度系數（A/G,i,n）書上P18頁錯誤！！！若某人第1年支付一筆10000元的保險金，之后9年內每年少支付1000元，若10年內采用等額支付的形式，則等額支付款為多少時等價于原保險計劃?解：A=10000-1000(A/G,8%,10)=10000-1000*3.8712=6128.4元＋A1…012345n－1n（1）A2…012345n－1n

（3）A=A1+A2…012345n－1n

（4）注：如支付系列為均勻減少，則有A=A1－A2等值計算公式表:運用利息公式應注意的問題:

1.為了實施方案的初始投資，假定發生在方案的壽命期初；

2.方案實施過程中的經常性支出，假定發生在計息期（年）末；

3.本年的年末即是下一年的年初；

4.P是在當前年度開始時發生；

5.F是在當前以后的第n年年末發生；

6.A是在考察期間各年年末發生。當問題包括P和A時，系列的第一個A是在P發生一年后的年末發生；當問題包括F和A時，系列的最后一個A是和F同時發生；

7.均勻梯度系列中，第一個G發生在系列的第二年年末。思考題：寫出下圖的復利現值和復利終值，若年利率為i。0123n-1nA0123n-1nA’=A（1+i）解：例:有如下圖示現金流量，解法正確的有()答案:AC012345678AF=?A.F=A(P/A,i,6)(F/P,i,8)B.F=A(P/A,i,5)(F/P,i,7)C.F=A(F/A,i,6)(F/P,i,2)D.F=A(F/A,i,5)(F/P,i,2)E.F=A(F/A,i,6)(F/P,i,1)例：下列關于時間價值系數的關系式，表達正確的有（）A．（F/A,i,n）=(P/A,i,n)×(F/P,i,n)B．（F/P,i,n）=(F/P,i,n1)×(F/P,i,n2),其中n1+n2=nC．（P/F,i,n）=(P/F,i,n1)＋(P/F,i,n2),其中n1+n2=nD．（P/A,i,n）=(P/F,i,n)×(A/F,i,n)E．1/（F/A,i,n）=(F/A,i,1/n)答案:AB例：若i1=2i2；n1=n2/2，則當P相同時有()。

A（F/P，i1，n1）<（F/P，i2，n2）

B（F/P，i1，n1）>（F/P，i2，n2）

C（F/P，i1，n1）=（F/P，i2，n2）

D無法確定兩者的關系答案:A運用利息公式要注意的問題方案的初始投資P，假設發生在壽命期初；壽命期內各項收入或支出，均假設發生在各期的期末；本期的期末即是下一期的期初壽命期末發生的本利和F，記在第n期期末；等額支付系列A，發生在每一期的期末。當問題包括P，A時，P在第一期期初，A在第一期期末當問題包括F，A時，F和A同時在最后一期期末發生。

均勻梯度系列中，第一個G發生在第二期期末。倒數關系：（P/F,i，n）=1/（F/P,i，n）（P/A,i，n）=1/（A/P,i，n）（F/A,i，n）=1/（A/F,i，n）

乘積關系：

(F/P,i,n)(P/A,i,n)=（F/A,i,n）

(F/A,i,n)(A/P,i,n)=(F/P,i,n)(A/F,i,n)+i=(A/P,i,n)

運用利息公式要注意的問題（記憶）等值計算實例計息期與支付期相同計息期短于支付期計息期長于支付期計息期與支付期相同例1：要使目前的1000元與10年后的2000元等值，年利率應為多少？

解：查附表一，當n=10，2落于7%和8%之間i=7%時i=8%時用直線內插法可得：

計息期與支付期相同例2:6年期付款購車，每年初付2萬元，設年利率為10%，相當于一次現金支付的購價為多少？

(萬元)計息期與支付期相同(重要題型)例3：擬建立一項永久性的獎學金，每年計劃頒發10000元，若年利率為10%，現在應在入多少錢？當時， 所以上式可變為

(元)計息期與支付期相同例4：從第4年到第7年每年年末有100元的支付利率為10%，求與其等值的第0年的現值為多大?計息期與支付期相同例5

年利率8%，每季度計息一次，每季度末借款1400元，連續借16年，求與其等值的第16年末的將來值為多少？(元)計息期短于支付期例6：年利率12%，每季度計息一次，每年年末支付500元，連續支付6年，求其第0年的現值為多少？

解：其現金流量如圖計息期短于支付期計息期為季度，支付期為1年，計息期短于支付期，該題不能直接套用利息公式。需使計息期與支付期一致起來，計算方法有三種方法一，計息期向支付期靠攏，求出支付期的有效利率。年有效利率

(元)計息期短于支付期方法二

支付期向計息期靠攏，求出計息期末的等額支付。

(元)(元)計息期短于支付期方法三

把等額支付的每一個支付看作為一次支付，求出每個支付的現值。

例:假定現金流量是：第6年年末支付300元，第9、10、11、12年末各支付60元，第13年年末支付210元，第15、16、17年年末各獲得80元。按年利率5％計息，與此等值的現金流量的現值P為多少？P=?0300678910111213141516172106080計息期長于支付期當計息期長于支付期時，在計息期所收或付的款項不計算利息，也就是該在某計息期間存入的款項，相當于在下一個計息期初存入這筆金額，在計息期內提取的款項，相當于在前一個計息期末提取了這筆金額。按財務原則進行計息，即現金流入額放在期初，現金流出額放在計息期末，計息期分界點處的支付保持不變。計息期長于支付期例已知某項目的現金流量圖如圖所示，計息期為季度年利率12%，求1年末的金額。計息期長于支付期將圖a中的現金流量整理成圖（b）中的現金流量解：P=－300(P/F,5%,6)－60(P/A,5%,4)(P/F,5%,8)－

210(P/F,5%,13)+80(P/A,5%,3)(P/F,5%,14)=－3000.7162－603.54560.6768－2100.5303+802.72320.5051=－369.16

也可用其他公式求得

P=－300(P/F,5%,6)－60(F/A,5%,4)(P/F,5%,12)－

210(P/F,5%,13)+80(F/A,5%,3)(P/F,5%,17)=－3000.7462－604.31010.5568－2100.5303+803.1530.4363=－369.16計息期長于支付期的等值計算，通常按如下規定進行處理：存款必須存滿一個計息期時才計算利息，這就是說，在計息期間存入（或借入）的款項在該期不計算利息，要到下一期才計算利息。因此，計息期間的存款或借款應放在期末，而計息期間的提款（或還款）應放在期初。例:求每半年向銀行借1400元，連續借10年的等額支付系列的等值將來值。利息分別按:1）年利率為12％；

2）年利率為12％，每半年計息一次

3）年利率12％，每季度計息一次，這三種情況計息。01210年28002800140014002800解：1）計息期長于支付期F=14002（F/A,12％，10）＝49136（元）2）計息期等于支付期F=1400(F/A,12%÷2，102）＝51500（元）3）計息期短于支付期F=1400(A/F，3%，2)(F/A，3%，410）＝52000（元）0123414001400i＝12％÷4＝3％A=1400(A/F,3%,2)季度

從利息表上查到，當n=9，1.750落在6%和7%之間。6%的表上查到1.6897%的表上查到1.839從用直線內插法可得計息期為一年的等值計算相同有效利率名義利率直接計算1、當利率為多大時，現在的300元等值于第9年年末的525元？解：F=P(F/P,i,n)525=300(F/P,i,9)(F/P,i,9)=525/300=1.750

計算表明，當利率為6.41%時，現在的300元等值于第9年年末的525元。2、當利率為8%時，從現在起連續6年的年末等額支付為多少時與第6年年末的10000等值？

A=F（A/F,8%,6）=10000(0.1363)=1363元/年

計算表明，當利率為8%時，從現在起連續6年1363元的年末等額支付與第6年年末的10000等值。解：10000

0123456年i=8%

0123456年A=？i=8%3、當利率為10%時，從現在起連續5年的年末等額支付為600元，問與其等值的第0年的現值為多大？解：

P=A(P/A,10%,5)=2774.59元計算表明，當利率為10%時，從現在起連續5年的600元年末等額支付與第0年的現值2274.50元是等值的。

1.計息期和支付期相同

4、年利率為12%，每半年計息一次，從現在起，連續3年，每半年為100元的等額支付，問與其等值的第0年的現值為多大？

解：每計息期的利率

（每半年一期）

n=(3年)×(每年2期)=6期

P=A（P/A，6%，6）=100×4.9173=491.73元計算表明，按年利率12%，每半年計息一次計算利息，從現在起連續3年每半年支付100元的等額支付與第0年的現值491.73元的現值是等值的。5、求等值狀況下的利率。假如有人目前借入2000元，在今后兩年中分24次等額償還，每次償還99.80元。復利按月計算。試求月有效利率、名義利率和年有效利率。解：現在99.80=2000（A/P，i,24）（A/P，i,24）=99.80/2000=0.0499

查表，上列數值相當于i=1.5%。因為計息期是一個月，所以月有效利率為1.5%。名義利率：

r=(每月1.5%）×（12個月）=18%

年有效利率：6、按年利率為12%，每季度計息一次計算利息，從現在起連續3年的等額年末支付借款為1000元，問與其等值的第3年年末的借款金額為多大？

解：其現金流量如下圖

0123456789101112季度F=？100010001000

第一種方法：取一個循環周期，使這個周期的年末支付轉變成等值的計息期末的等額支付系列，其現金流量見下圖：

012342392392392390123410001000將年度支付轉化為計息期末支付（單位：元）

A=F（A/F，3%，4）=1000×0.2390=239元（A/F，3%，4）

239F=？季度

0123456789101112經轉變后計息期與支付期重合（單位：元）F=A（F/A，3%，12）=239×14.192=3392元

第二種方法：把等額支付的每一個支付看作為一次支付，求出每個支付的將來值，然后把將來值加起