2．3平面向量的基本定理及坐標表示

1．平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內的兩個

向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我們把不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組

．不共線基底2．兩向量的夾角與垂直(1)已知兩個非零向量a和b，作 ＝b，則∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的

．顯然，當θ＝0°時，a與b

；當θ＝180°時，a與b

．(2)如果a與b的夾角是

，我們說a與b垂直，記作a⊥b.夾角同向反向90°4．設e1、e2是兩個不共線的向量，若向量a＝2e1－e2與向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共線，則λ的值為(

)A．0

B．－1C．－2 D．[答案]

D重點：平面向量基本定理．難點：平面向量基本定理的應用．關于平面向量基本定理的掌握須注意以下幾點：1．平面內任意一對不共線向量e1、e2均可作為表示這一平面內所有向量的基底．注意“不共線”的條件與“非零向量”條件的區別，不共線一定非零，非零未必不共線．2．同一向量a，用同一基底表示的結果是惟一的．即若e1與e2不共線，a＝λe1＋μe2，同時a＝xe1＋ye2，則必有若a＝x1e1＋y1e2，b＝x2e1＋y2e2，a∥b，則x1y2－x2y1＝0.[例1]如果e1，e2是平面α內兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是 (

)①a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α內的所有向量；②對于平面α內任一向量a，使a＝λe1＋μe2的實數對(λ，μ)有無窮多個；③若向量λ1e1＋μ1e2與λ2e1＋μ2e2共線，則④若實數λ，μ使得λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0.A．①②

B．②③C．③④

D．②[分析]

應用平面向量基本定理解題時，要抓住基向量e1與e2不共線和平面內向量a用基底e1、e2表示的惟一性求解．[解析]

由平面向量基本定理可知，①④是正確的．對于②，由平面向量基本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下的實數對是唯一的．對于③，當λ1λ2＝0或μ1μ2＝0時不一定成立．故選B.已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，則a與b共線的條件為(

)A．λ＝0 B．e2＝0C．e1∥e2 D．e1∥e2，或λ＝0[答案]

D[解析]

(1)若e1與e2不共線，∵a與b共線，∴存在實數x，使a＝xb

(b≠0)，∴e1＋λe2＝2xe1，∴(1－2x)e1＋λe2＝0，(2)若e1與e2共線，設e1＝xe2，則a＝e1＋λe2＝(x＋λ)e2，b＝2e2，綜上知，a與b共線的條件為e1∥e2或λ＝0.已知e1，e2是平面內兩個不共線向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，用a和b表示c，則c＝________.[答案]

a－2b[解析]

∵e1與e2不共線，∴a與b不共線，設c＝λa＋μb，則c＝λ(3e1－2e2)＋μ(－2e1＋e2)＝(3λ－2μ)e1＋(μ－2λ)e2，又∵c＝7e1－4e2，由基底表示向量的惟一性知，[例4]如圖，在△ABC中，點M是BC的中點，點N在邊AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點P，求APPM的值．證明三角形的中位線定理．[例5]已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共線，向量c＝2e1－9e2.問是否存在這樣的實數λ、μ，使向量d＝λa＋μb與c共線？[解析]

∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d與c共線，則應有實數k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2.故存在這樣的實數λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d與c共線．若a、b是兩個不共線的向量(t∈R)，a、tb、(a＋b)三向量的起點相同，若三向量的終點共線，則t＝________.[例7]已知c＝ma＋nb，設a、b、c有公共起點，要使a、b、c的終點在一條直線上，m、n(m、n∈R)需滿足的條件是(

)A．m＋n＝－1B．m＋n＝1C．m＋n＝0D．m＋n的值不確定[辨析]

對平面向量基本定理的條件不清．平面向量基本定理中所說的平面α內任意向量m可用平面α內的兩個向量e1與e2線性表示且表示的結果是惟一的，其先決條件是

不共線．[正解]

當a，b不共線時，同錯解可得m＋n＝1；當a與b共線時，不妨設b＝λa，則c＝(m＋λn)a，于是a，b，c的起點相同時，終點始終在同一條直線上，與m、n、λ的值無關，綜上可知m＋n的值不確定，故選D.一、選擇題1．設O是?ABCD兩對角線的交點，下列向量組：其中可作為這個平行四邊形所在平面內的所有向量的基底的是(

)A．①，② B．①，③C．①，④ D．③，④[答案]

B2．a，b，a＋b為非零向量，且a＋b平分a與b的夾角，則(

)A．a＝b B．a⊥bC．|a|＝|b| D．以上都不對[答案]

C[解析]

由向量加法的平行四邊形法則知，若a＋b平分a與b的夾角，則對應的四邊形是菱形，因此|a|＝|b|.3．已知e1，e2不共線，a＝λ1e1＋e2，b＝λ2e1＋3e2，且a，b共線，則下列各式正確的是(

)A．λ2＝3λ1 B．λ2＝λ1C．λ2＝2λ1 D．λ2＝4λ1[答案]

A[答案]

A6．已知e1，e2不共線，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作為平面內所有向量的一組基底，則實數λ的取值范圍是________．[答案]

{λ∈R|λ≠4}[解析]

假設b與a共線，則存在實數x，使b＝xa(a≠0)，即2e1＋λe2＝x(e1＋2e2)，