關于解析幾何在實際中的應用第一頁，共54頁幻燈片

解析幾何既是應用數學專業的一門基礎課，又在其他科學技術中有著直接的應用。例如，大部分機械零件的外形都是平面、柱面、椎面、球面等等曲面之一，或是它們的某種組合。這里不打算詳細介紹解析幾何在實際中的應用，因為那要涉及其他科技方面的知識。這里僅舉幾個簡單的例子。第二頁，共54頁幻燈片一、多面體零件的計算一多面體零件如圖所示，在制造時，需要求出二面角、、和的角度和，以便制造測量樣板，試求角和的值。第三頁，共54頁幻燈片

解可以應用前面學過的知識解此問題。為此，先如上圖所示，取坐標原點為C，建立直角坐標系Oxyz。各點的坐標已知為其次，求出諸平面的方程。我們知道，過點的平面方程為于是過點的平面方程為第四頁，共54頁幻燈片將點D、點A的坐標代入上式，有解此方程，得于是求得平面DAE的方程為類似的可求得平面BAE的方程為及平面FBE的方程為第五頁，共54頁幻燈片平面CBF的方程為平面GEF的方程為最后，由平面夾角的余弦公式可求得平面DAE和BAE的交角的余弦第六頁，共54頁幻燈片故平面ABE和FBE的夾角的余弦為故平面EBF和CBF的夾角的余弦為第七頁，共54頁幻燈片故平面GEF和BEF的夾角的余弦為故二、板金零件的展開圖圖二是我們通常見到的二通管道變形接頭或爐筒拐脖的示意圖。制造這類零件，先按照第八頁，共54頁幻燈片第九頁，共54頁幻燈片零件展開圖的度量尺寸（展平曲線）在薄板（鐵皮或鋁板等）上下料，然后彎曲成型，并將各部分焊接在一起。為了獲得零件展開圖的展平曲線，必須求出截交線的方程。設圓柱管道的方程為

截平面的方程為第十頁，共54頁幻燈片為求截平面與管道的截交線方程，將管道的方程改寫成參數形式將其代入截平面方程中，得第十一頁，共54頁幻燈片圓柱的底圓展平時有，即，這里是弧長。將代入上式，有

上式即是截交線（截平面與圓柱管道的交線）的展平曲線方程。如果截平面是正垂面（平y軸）：，則截交線的展平曲線方程成為第十二頁，共54頁幻燈片即這是一條調整過振幅的余弦曲線。第十三頁，共54頁幻燈片三、火力發電廠的供水塔火力發電廠的供水塔（冷卻塔）的橫截面曲線均為圓，其半徑R與塔高H的關系（見圖4）為度量單位為m。令冷卻塔的中心軸為z軸，z軸與地面的交點為原點，在地面上選一個方向y軸，則有第十四頁，共54頁幻燈片

冷卻塔半徑R與塔高H的關系式可以改寫為

冷卻塔的外形曲面的方程可以表示為

即這正是旋轉單葉雙曲面。

第十五頁，共54頁幻燈片四、交叉管道的距離在工程中有時要將兩條交叉管道連通，需求出連接管的最短長度和連接位置，這在幾何上歸結為求兩條交叉空間（異面）直線的距離。兩條異面直線的距離為這兩條直線的公垂線的長度。設兩交叉管道AB與CD所在直線方程依次為第十六頁，共54頁幻燈片試求直線AB與CD的距離。先過直線CD作平行于直線AB的平面，則其方程為第十七頁，共54頁幻燈片將上式左端的三階行列式按第1行展開，得因為直線AB平行于平面，故直線AB上任意一點到平面的距離即是兩直線AB與CD的公垂線的長度。第十八頁，共54頁幻燈片因此，直線AB上的點到平面的距離為這就是直線AB與CD之間的距離。第十九頁，共54頁幻燈片五、直紋曲面的應用實例（一）飛機機翼的外形曲面我們來看飛機機翼的外形曲面，下圖表示兩個平行橫截面之間的機翼外形。橫截面的邊界是兩條參數閉曲線，其方程為

第二十頁，共54頁幻燈片作參數變換和，這樣有和對于同一參數，在兩橫截面的邊界線分別對應兩點。這兩點的直線向量式參數方程為

其中為參數。當從時，上直線就連續地描出一張直紋曲面，此直紋曲面的方程可以寫為其中為曲面的參數。第二十一頁，共54頁幻燈片（二）、飛機機翼的整流面某型號飛機的機翼為直紋面，機翼表面上的信號燈（或稱航向燈）突出部分的曲面稱為整流面，是由兩族不同方向的直母線相交織構成的曲面。整流面上四個不重合的點，可以確定整流面上的一小片曲面的方程。設四個點對應的向徑分別表示為。第二十二頁，共54頁幻燈片這塊整流曲面片的邊界線均為直線，四條直線的方程可以表示為由直線和直線確定的直紋曲面可以表示為第二十三頁，共54頁幻燈片由直線和確定的直紋曲面可以表示為第二十四頁，共54頁幻燈片顯然兩直紋曲面和在四個角點處的函數值相等。因此這塊整流曲面的方程可以表示為第二十五頁，共54頁幻燈片六、生產規劃問題某廠生產A和B兩種產品，生產A一噸要用煤9t，電力4kW，勞動力3個（以工作日計算）；生產B一噸要用煤4t，電力5kW，勞動力10個。已知生產A一噸的經濟價值為7千元；生產B一噸的經濟價值為1萬2千元。現在該廠有煤360t，電力200kW，勞動力300個。問應該生產A和B各多少t，才使所創造的經濟價值最大？第二十六頁，共54頁幻燈片設生產A和B兩種產品各為和，則問題立即轉化為如下數學問題。在限制條件：之下，使所創造的經濟價值（以千元為單位）達最大，即第二十七頁，共54頁幻燈片此問題可用圖解法解：第二十八頁，共54頁幻燈片第二十九頁，共54頁幻燈片陰影部分為可行域由圖五可以看出S的最大值在點處取得，最大值為428。七、平面圖形的變換在目前已廣泛應用的計算機繪圖中，常要對圖形進行各種變換。圖形變換不同于坐標變換，坐標變換是圖形不變，坐標系改變，而圖形變換是坐標系不變，圖形改變，圖形變換的基本問題是建立圖形上的第三十頁，共54頁幻燈片點與變換前和變換后其坐標之間的關系式。為簡明起見，這里仍以矩陣為工具，并且只在直角坐標系中討論。

1、基本變換圖形的縮放、對稱、錯移、旋轉、平移等變換稱為基本變換。平面上的點的坐標可以用行矩陣表示。設是變換前圖形上點的坐標第三十一頁，共54頁幻燈片

是變換后圖形上的坐標。除平移外，上述幾種基本變換都可由下式實現，即或其中方陣稱為變換矩陣。第三十二頁，共54頁幻燈片給T的四個元素以不同的值，將得到不同的基本變換。下面分別討論之。（1）縮放變換縮放變換即是將圖形沿坐標軸方向縮小或放大。在T中令，得變換矩陣

稱為縮放變換矩陣。這時，變換前后圖形上的點的坐標變換公式為第三十三頁，共54頁幻燈片

即其中為縮放因子。若，則圖形沿方向和方向按同一比例縮小或放大。且當時，圖形縮小；當時圖形放大。當時，圖形不變，這種變換稱為恒等變換。第三十四頁，共54頁幻燈片若，則圖形沿方向按不同比例變化，即產生畸變。例1：對單位圓分別作下列縮放變換：1)縮小一半；2)放大一倍；3)沿方向放大一倍，沿方向縮小一半。試求變換矩陣及變換后圖形的方程。解1)把圖形縮小一半的變換矩陣為第三十五頁，共54頁幻燈片坐標變換公式為或變換后圖形的方程為即

2)把圖形放大一倍的變換矩陣為

第三十六頁，共54頁幻燈片坐標變換公式為或變換后圖形的方程為即

3)把圖形沿方向放大一倍，沿方向縮小一半的變換矩陣為第三十七頁，共54頁幻燈片坐標變換公式為，或變換后圖形的方程為即這是長半軸為2，短半軸為，中心位于原點，且以坐標軸為對稱軸的橢圓。第三十八頁，共54頁幻燈片在T中令可得關于軸對稱的變換矩陣圖形變換前后點的坐標變換公式為即

2)關于軸的對稱變換在這種情況下，變換矩陣為第三十九頁，共54頁幻燈片圖形變換前后點的坐標公式為即（3）錯移變換錯移變換分沿方向和沿方向錯移兩種情況。

1)沿方向錯移沿方向錯移變換，是指變換后圖形上的點的坐標保持不變，坐標依賴初始坐標第四十頁，共54頁幻燈片

線性地變化。變換矩陣為圖形上變換前后的點的坐標變換公式為即

從幾何上看，平行于軸的直線變換后仍平行于軸，平行于軸的直線變換后沿方向錯移與軸成角的直線，的點為不動點，的點沿方向錯移了的距離，見圖六第四十一頁，共54頁幻燈片第四十二頁，共54頁幻燈片2）沿y軸方向錯移沿y方向的錯移變換，是指變換后圖形上的點的x坐標保持不變，y坐標依賴于初始坐標線性地變化。變換矩陣為圖形上變換前后的點的坐標變換公式為即第四十三頁，共54頁幻燈片從幾何上看，與沿x方向錯移的情況類同，見圖七。

第四十四頁，共54頁幻燈片

例2將單位圓沿x方向錯移的距離，寫出單位圓錯移后的圖形的方程。解沿x方向錯移的距離，圖形上的點的坐標之間的關系之間的關系式為或將上式代入單位圓方程中，得錯移后圖形的方稱為第四十五頁，共54頁幻燈片

即這是一個橢圓，其圖形如圖八所示。第四十六頁，共54頁幻燈片第四十七頁，共54頁幻燈片

（4）旋轉變換旋轉變換是指圖形繞坐標原點旋轉角，且規定逆時針方向的轉角取正值，瞬時針方向的轉角取負值。旋轉變換的矩陣為圖形變換前后點的坐標變換公式為第四十八頁，共54頁幻燈片圖形變換前后點的坐標變換公式為即由前面的討論可見，上述四種圖形變換的都可以用一個方陣來實現。（5）平移變換平移變換是值將圖形平行移動。這種變換無法用二階方陣來實現。事實上，設圖形沿方向平移個單位長度，沿方向平移個單位長度，第四十九頁，共54頁幻燈片則平移前后點的坐標之間的關系式應為

顯然，上式右端無法表示成行矩陣與一個二階方陣的乘積。為了能用矩陣表示圖形的平移變換，下面引進齊次坐標概念。

1)平面齊次坐標設是平面直角坐標系中任一點的坐標，現改用行矩陣