數學解題學研究

廣西師范大學數學科學學院龍開奮1頁數學解題學研究廣西師范大

§1數學問題什么是數學中的問題？波利亞在《數學的發現》中將問題理解為：有意識地尋求某一適當的行動，以便達到一個被清楚地意識到但又不能立即達到的目的。解決問題指的是尋找這種活動。

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§1數學問題什么是數學中的問題？2頁§1.1數學問題波利亞在《怎樣解題》中說：我們考慮的所有形式的問題都可以認為由三類信息組成：關于已知條件的信息（已知表達式）；關于運算的信息，這些運算從一個或多個表達式推導出一個或多個新的表達式；以及關于目標的信息（目標表達式）。

3頁§1.1數學問題波利亞在《怎樣解題》§1.1數學問題問題是指那些對于解答者來說還沒有具備直接的解決辦法，對于解答者構成認知上的挑戰這樣一種局面。

4頁§1.1數學問題問題是指那些對于解答者來說還沒有§1.1數學問題“一個（數學）問題是一個對人具有智力挑戰特征的，沒有現成的直接方法、程序或算法的未解決的情景”。這是1988年第一屆國際數學教育大會的一份報告中提出的。

5頁§1.1數學問題“一個（數學）問題是一個對人具有§1.1數學問題

無論怎么提法，都具有同樣的本質：問題反映了現有水平與客觀需要的矛盾。問題就是矛盾，對于學生而言，問題主要具有如下三個特點：1、可接受性：給出的問題學生具有解決它的知識基礎和能力基礎，即課本習題。2、障礙性：學生不能直接將問題解答，必須通過思考或多次嘗試，才能解決的問題。3、探究性：學生不能按照常規的套路來解決，必須進一步發掘、探索和研究，尋找出解決問題的新途徑。

6頁§1.1數學問題無論怎么提法，都具有§1.1數學問題

數學問題可按照多種不同的標準進行分類。本講所說的分類僅是面對教學方面而言.如按知識內容分類（算術題、代數題、平面幾何題、立體幾何題、解析幾何題和三角題等）；按解題形式分類（常見求解題、證明題或說明題、變換題或求作題、填空題等四類）；

按評判解答的客觀性分類（客觀性問題常分為判斷題、選擇題、填充題和簡短問答題；主觀性問題如證明題、計算題等）；

按思維程度分類（常分為規范程度和發展程度等，而規范程度可分為常規與非常規題；發展程度可分為封閉型題與開放型題）。

7頁§1.1數學問題數學問題可按照多種不同的標準進行§1.1數學問題

在數學解題教學中，封閉型題與開放型題具有解題訓練的互補作用，兩者均不可偏廢，封閉型題一般用于鞏固知識，主要引起“同化”作用；而開放型題則使主體容易暴露知識的缺陷，主要引起“順應”作用，促進解題能力的提高。

8頁§1.1數學問題在數學解題教學中，封閉型題與開放§1.1數學問題

數學教學中的問題一般分為練習型與研究型兩類。練習型的問題具有教學性，它的結論為數學接或教師所已知，其之所以成為問題僅相對于教學或學生而言。研究型問題具有學術性，它的結構對于數學家或教師都是未知的，其中既有數學自身理論發展的認知題，又有應用數學理論解決實際問題的應用題。9頁§1.1數學問題數學教學中的問題一般§1.2數學問題的解決

1）數學問題解決的涵義

問題解決都是以思考為內涵，以問題目標定向的心理活動或心理過程，即指人們在日常生活和社會實踐中，面臨新情境、新課題，發現它與主客觀需要矛盾而自己卻沒有現成對策時，所引起的尋求處理辦法的一種活動，這是一個發現的過程、探索的過程、創新的過程，具有某種程度的創造性。

10頁§1.2數學問題的解決

1）數學問題解決的涵義§1.2數學問題的解決

1）數學問題解決的涵義數學領域中的問題解決，有三個層次：一般性解決：即基本邏輯水平上的解決，它力求明確解題的大體方向；功能性解決：即基本數學方法水平上的解決，它力求明確解題所用的基本思想方法；特殊性解決：即具體的解決，它力求明確解題的具體方法、技巧和程序。（一般性和功能性是特殊性解決的基礎）11頁§1.2數學問題的解決

1）數學問題解決的涵義§1.2數學問題的解決

2）數學問題解決的方法涵義

所謂的方法，就是找到一個解決問題的途徑，且能夠預見甚至能夠證明，照這個途徑做下去就一定可以取得成功。

12頁§1.2數學問題的解決

2）數學問題解決的方法涵義§1.2數學問題的解決

2）數學問題解決的方法涵義

問題的一個解法應包括如下四個部分：①對已知條件的完整認識，即給出問題的唯一初始狀態，從這一狀態出發經過一系列運算可以推導出目標；②說明所用的運算，即公式、法則、定義、公理、定理等理論依據；③從初始狀態到目標狀態為止的按順序排好的一個問題狀態序列，使得序列中的每一個狀態都能在對前面的狀態應用適當運算以后得到；④完整說明目標，既對問題結論的完整描述。

13頁§1.2數學問題的解決

2）數學問題解決的方法涵義§1.3.1數學解題的意義

從數學學科的教育與學習來看，也就是說從掌握數學來看，著名的美國數學家和教育家G.波利亞指出：“掌握數學意味著什么？這就是說善于解一些標準的題，而且善于解一些要求獨立思考、思路合理、見解獨到和有發現創造的題。”14頁§1.3.1數學解題的意義從數學學科的教育與學§1.3.1數學解題的意義

波利亞認為，任何學問都包括知識和能力這兩個方面。對于數學，能力比起僅僅具有一些知識來，要重要得多，那么在數學學科中，能力指的是什么？波利亞說：“這就是解決問題的才智——我們這里所指的問題，不僅僅是尋常的，它們要求人們具有某種程度的獨到見解、判斷力、能動性和創造精神。”15頁§1.3.1數學解題的意義波利亞認為，任何學問§1.3.1數學解題的意義

波利亞把“解題”作為培養學生的數學才能和教會他們思考的一種手段和途徑，這種思想得到了國際數學教育界的廣泛贊同，1976年國際數學管理委員會把解題能力列為十項基本技能的首位。16頁§1.3.1數學解題的意義波利亞把“解題”作為§1.3.1數學解題的意義

通過解題可以使學習者獨立地、積極地進行認知活動，深入地理解數學概念，全面系統地掌握數學基礎知識，實際地學習數學的本質、精神、思想，切實地掌握解數學題的方法的基本技能和技巧，（例如善于運用某種方法、手段改變數學問題的情況；善于構想新的解題手段和解題思路；善于區分和積累可能有益的資料；善于在原有題目和解法的基礎上，聯想構造出新的題目和解題方法；善于自我測驗以及對解題進行討論，等等），17頁§1.3.1數學解題的意義通過解題可以使學習者§1.3.1數學解題的意義

從而有效地培養運算能力，邏輯思維能力和空間想象能力，以形成運用數學知識來分析和解決社會生活、經濟建設和科學技術中的實際問題的能力，以便適應現代化生產的多樣性和變化性，從事創造性勞動。18頁§1.3.1數學解題的意義從而有效地培養運算能§1.3.2數學解題研究觀

數學解題研究的中心內容是什么1.從科學研究的方法論來看2.從數學解題實踐來看19頁§1.3.2數學解題研究觀數學解題研究的中心內容是什么19§1.3.2數學解題研究觀

解題的主要目的之一，也就在于掌握一定的方法以形成有利于今后解決實際問題的遷移能力。因此，對于解題方法在解題中所處的地位的中心性我們不能僅僅是知道或認識，在數學解題研究中，一定要真正體現這個中心系統，圍繞這個中心而開展工作，研究其系統建構，還要研究這個中心系統的軸心系統及其系統建構。20頁§1.3.2數學解題研究觀解題的主§1.4數學解題程序“怎樣解題”表弄清問題擬定計劃實現計劃回顧討論21頁§1.4數學解題程序“怎樣解題”表弄清問題擬定計劃實第一步理解題意綜觀之，這是一道關于圖形的最值問題.22頁第一步理解題意綜觀之，這是一道關于圖形的最值問題.2第二步擬定計劃設想以前從未見過這個問題，但曾見過也解過與它密切相關的兩類問題：第一：已知三角形中某些邊角之間的數量關系，要求判斷這個三角形的形狀或解出它.第二：在一確定的三角形中的某曲線上有一動點，求這點到三角形三頂點或三邊的距離的和或平方和的最值.于是原問題可分裂為兩個較為簡單的問題.23頁第二步擬定計劃設想以前從未見過這對第（1）小題，已具備了三個條件式，這類問題據以前的經驗，只要對數式進行適當的推算，三角形不難解出來.對第（2）小題，在確定了三角形的形狀大小以后，因涉及內切圓上一個動點，擬引入直角坐標系，即能利用解析法列出目標函數，其最值也可用一般的代數三角方法順利求出.至此，一個比較完整的解題計劃可說是已經擬定了.第三步實現計劃由，用正弦定理作代換，得24頁對第（1）小題，已具備了再由如圖1.1建立直角坐標系，使得25頁再由如圖1.1建立直角坐標系，使得25頁設圓上的任一點為P（x,y）,則有yBoCAxPN圖1.126頁設圓上的任一點為P（x,y）,則有yBoCAxPN圖1.因P是內切圓上的點，故0≤x≤4，于是當x=4時，有,當x=0時，有第四步回顧討論對上面解題過程的運算檢驗無誤后可考慮：x=0時，P點運動到BC邊上的切點M，此時得所求平方和最大值為88;當x=4時，P點運動到過M的直徑的另一端點N，此時得所求平方和最小值為72.此外，能否用別的方法來導出結果呢？對第（1）小題也可以一開始用余弦定理作代換，對第（2）小題除選擇不同的位置建立坐標系外，圓上的動點P也可以利用參數式表示，于是有好幾種方法.（略）27頁因P是內切圓上的點，故0≤x≤4，于是當x=4時，有本題雖然是一道不復雜的綜合題，但善于解題的人也會從中獲得一些有益的經驗，例如：（i）如果本題前部分不用正弦或余弦定理作代換，后半部分不使用解析法，雖然仍能設法確定三角形并推導出目標函數，但解題過程的復雜程度會明顯上升.這說明，對于同樣的素材（題設條件），選用不同的加工方法（解題方法），其繁瑣程度是有顯著區別的.（ii）從上題的解答中，我們可以認識到圖形中的最值常在動點位于某些特殊位置時產生.（iii）使我們看到：注意數形結合，使計算大為簡化，并且更能揭露問題的實質.28頁本題雖然是一道不復雜的綜合題，但善于解題的人也§1.5數學解題過程分析

1.5.1解題步驟過程的一般性與特殊性分析

一般性分析審題擬定計劃實現計劃回顧29頁§1.5數學解題過程分析

1.5.1解題步驟過程的一般性與特§1.5數學解題過程分析

1.5.2解題思維過程的圖解表示

波利亞十分重視解題活動中思維的作用，他在文（2）中，用一張圖表，對數學解題思維過程做了精辟的分析和高度的概括。他用九個詞排成一個正方形，一個在正方形中心，四個在正方形的頂點上，其余四個則寫在四條邊上。

分離預見組合重新配置辨認動員回憶充實組織30頁§1.5數學解題過程分析

1.5.2解題思維過程的圖解表§1.6數學解題思路的探求

1.6.1試悟式探索

試悟式探索解題思路是我們在解常規數學問題時或解所謂標準性訓練性題時常采用的方式。探索程序框圖表觀察題目特征發掘題設內涵溝通靠攏條件糾錯發掘題設內涵探索轉化方向嘗試靠攏熟悉類型解決原來問題31頁§1.6數學解題思路的探求

1.6.1試悟式探索探（1）讓我們來探索本題的解題思路（如圖1－3）：（A）觀察（題目的特征）①AD=1,四個覆蓋圓的半徑為1，因此數字1是特殊數值.②本題是個條件覆蓋問題.③ABCD為平行四邊形，銳角三角形，有為銳角.覆蓋圖形的條件是邊長AB與有密切關系等圖形特征.oAEBCDp圖1－332頁（1）讓我們來探索本題的解題思路（如圖1－3）：（A）觀察（（B）發掘（題設的內涵）①為什么要限制為銳角三角形？②圓蓋住了，即四邊形內任一點P都使PA、PB、PC、PD四個距離中至少有一個不大于1.③由于對稱性關系，在內的點如能被圓蓋住，則在內的點必能被圓蓋住。故只要對討論問題即可.④從已知條件不等式（1）：看，常常可改寫為，此處是否對解題有用？33頁（B）發掘（題設的內涵）①⑤考慮射影定理，設的外接圓半徑R，則有這與已知條件式（1）有什么關系？……（C）嘗試轉化（命題的形式）根據（B）中的②和③兩點，可以把本題的結論轉化為：設P為銳角內任一點，則PA、PB、PD三者之中至少有一個不大于1的充要條件是不等式（1）成立.（D）試探并糾錯（靠攏的方向）把問題轉化為（C）以后，怎樣靠攏我們已熟悉的類型呢？如果一時還理不出頭緒，可先進行特殊試探.取內的一些特殊點為P（如內心、外心、重心等等）來試探，當取內心、重心為P時34頁⑤考慮射影定理，設不能達到目的，因此最特殊的莫過于取外心O為P，這時應有，我們知道，內任一點P和三角形各頂點的距離不都大于R.R在這里肯定將起著舉足輕重的作用.

（E）溝通（靠攏的條件）引入的外接圓半徑R.（F）再嘗試轉化（命題的形式）引入R后本題可進一步再轉化為：在銳角中，.證明不等式（1）成立.35頁不能達到目的，因此最特殊的莫過于取外心O為P，這時應有（G）靠攏（熟悉的類型）在內，必可建立之間的關系式.在已建立的關系中，令，即得包含的不等式，所得不等式與（1）的關系如何？如果我們已經熟知建立之間的關系及角不等式等知識，則可實際試一試了.由正弦定理：，由余弦定理：，于是.令，則得關于的二次不等式：（2）解出不等式（2）即得36頁（G）靠攏（熟悉的類型）在（3）注意到，即得（4）（4）式即為不等式（1），必要性獲證.欲證充分性，可反過來倒推.假設從（4）式能推出（3）式成立，則（2）式成立;若（2）式成立，則由余弦定理與正弦定理得.故問題是要證明（3）式成立，此式的右邊即為（4）的右邊，剩下的只要證明（3）式的左邊成立，即證明即可.因為銳角，，欲證，只要證

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此為一簡單的幾何題，假定我們已熟悉其證法：oAEBCDp圖1－3作于E，因為銳角三角形，（這時銳角三角形這個條件起作用了！）故E必落在AB內部，故，但，即得，從而成立.在上述解法思路的基礎上，按試悟式探索程序還可有如下解法思路：先證能覆蓋.38頁此為一簡單的幾何題，假定我們已熟悉其證法：oAEBCDp圖1其次在等腰中，腰長R小于或等于底邊AD的長度.根據圓周角定理，由射影定理，對于能覆蓋，也可以這樣證：作的外接圓.因為這是銳角三角形，故圓心O在三角形內，易知C是圓外的點.又設外接圓的半徑，則連接AO、BO、DO的線段和過O而垂直于三邊的線段把分成六個直角三角形.39頁其次在等腰中，根據圓于是，中的任一點M必在某一個直角三形中，它和相應頂點的距離，故能被所覆蓋，利用對稱性，能被所覆蓋.反之，若R>1則不能覆蓋住O點，又因為AC>R>1，也蓋不住O點.可知能覆蓋.40頁于是，中的任一點M必在某嘗試題1.n名選手參加單打淘汰賽，需要打多少場后才能產生冠軍？2.馬丁.加德勒是雜志《科學的美國人》的專欄作家。他設計了一種游戲：“兩個人輪流從｛1，2，3，4，5，6，7，8，9｝中取數，每次取一個數，誰所取的數中有三個數的和為15就算贏家。”

如果第一個人先取5，那么第二個人應當取什么數呢？41頁嘗試題1.n名選手參加單打淘汰賽，需要打多少場后才§1.6數學解題思路的探求

1.6.2頓悟式探索

頓悟式探索解題思路是我們解綜合性強的或非常規問題時常用的方式。42頁§1.6數學解題思路的探求

1.6.2頓悟式探索例：已知，求證：.試悟式探索求解思路：通過觀察，考慮到消除已知等式與求證等式之間指數上的差異是解題的關鍵，可（i）從已知式出發，進行乘方，升冪變出求證等式;（ii）從求證式出發，進行分解，化簡變出已知式.頓悟式探索求解思路：在收集了題目所有信息并進行反復的思考分析后，由等式啟迪方程的策略思想來考慮，則形成一種全新的思路：首先，不再是一個靜止的等式，而是方程有非零解.43頁例：已知，求證：其次，它不再是一個孤立的等式，而是三個同樣的等式：，，.最后，這三個等式聯立，表明齊次線性方程組有非零解,從而其系數行列式44頁其次，它不再是一個孤立的等式，而是三個同樣從上例可以看到試悟式與頓悟式是數學問題解決的兩種探索方式，同一道題也可用不同的探求方式去尋找解題思路.因此，應根據題目特點而靈活地選擇探求方式.若多項式整除,求整數.要求:1.指出問題的背景以及隱含的數學思想與方法;2.對問題剖析與發掘;3.對解后的評述與建議.注:以下的嘗試題按此要求完成.嘗試題：45頁從上例可以看到試悟式與頓悟式是數學問題解決的在某樹林中有n≥3個鳳巢,彼此之間距離不等,每個巢中各有一只鳳.如果清晨,一些鳳離開自己的巢飛到別的巢中,并且清晨前每一對距離小于另一對的鳳,清晨后,前一對的距離反而大于后一對（兩隊中可以有一只鳳相同）.問n可以取哪些值？46頁在某樹林中有n≥3個鳳巢,彼此之間距離不等,每個巢中各有一只§1.7數學解題成果的擴大

解題不在多而在深，膚淺地解決許多問題，在題海中浮游，就捕撈不到有價值的東西;反之，認真地研究一個問題，深入地鉆研進去，就會進入另一番境界;總結出幾條借鑒的規律，以后若遇到類似的或相近的題目，就不但會解，還可能多方面去解，甚至推而廣之，這就是以一當十，以少勝多的奧妙.因此，每解完一道新的題目，一定要注意總結解題經驗，擴大成果.這就要求我們應考慮下面幾個問題：47頁§1.7數學解題成果的擴大

解題1.回顧回顧在解題過程中（1）考慮是否利用了所有的已知條件.（2）尋找解題方法時遇到過什么困難？（3）產生困難原因何在？（4）怎樣突破了難點？（5）突破難點的關鍵是什么？（6）考慮解答是否全面、合理？（7）進行檢驗：量綱檢驗，對稱性檢驗.48頁1.回顧回顧在解題過程中48頁2.比較與過去作過的一些題目比較.（1）這道題屬于我們熟悉的哪一種類型？（2）解這類問題的基本方法是什么？（3）解本題學到什么新的方法嗎？（4）哪類問題與本題的解法有共同之點？3.聯想把問題想得更遠一點.（1）本題是否還有別的解法？（2）本題使用的解法能否簡化？（3）本題的結論能否推廣？變化？（4）本題的條件可否削弱？改變？49頁2.比較與過去作過的一些題目比較.3.聯想把問題想得例1：用多種方法證明是無理數.1.奇偶數判別，引出矛盾.2.將展為素因數之積.由于，的素因子成對出現而的素因子中2出現奇數次.矛盾.3.因，故b整除，但,故.由于1和4之間沒有平方數，矛盾.綜觀以上證法，關鍵是令，這就有了“抓手”，可以單刀直入，得出矛盾，獲得證明.〔評析〕無理數是十分抽象的思考對象.正面地說明是“無限的”，“不循環的”幾乎沒有可能.因此采用反證法是必然的.一旦作了相反的假設，即令（有理數，其中是整數）.那么就有多種方法處理，以引出矛盾.50頁例1：用多種方法證明是無理數.1.例2:已知，①求證：.②

分析關于這道條件等式證明題，曾經眾口一詞認為，直接的代數證明是麻煩的，并且已經作為”三角法”的典范經常出沒于各類書刊.為了支持這種觀點，人們常作下面兩種解法的對比.證明一(代數法)由已知式平方③移項再平方51頁例2:已知可得證明二(三角法)：由有意義可知即52頁可得證明二(三角法)：由有意義可知即52頁因而，式①左邊兩項的絕對值都不大于1，但右邊為1，所以a，b都為不大于1的非負數，恰與銳角三角函數有相同的特征.令④則⑤原式可化為⑥即53頁因而，式①左邊兩項的絕對值都不大于1，但右邊為1，所以a但故有⑦得對于這兩個解法，我們有如下三點看法：(1)由于代數法只從形式上”化整”，盲目地兩次平方，因此進行了復雜的平方、配方運算。但這不是解這道題的必由之路，一旦弄清了題目結構的本質，作一次平方之后就配方，可以大大減少運算量。54頁但證明三：對①式平方后，將③式作移項配方，有得平方，整理即得。若對①式先移項，再平方，過程還可以簡化。證明四：對已知①式移項后平方55頁證明三：對①式平方后，將③式作移項配方，有得平方，整移項配方得平方即得。（2）三角法能從的形式，聯想到三角函數的內容，體現了把形式于內容結合起來的思考。可惜的是，這種思考淺嘗輒止，白白浪費了許多重要而有用的信息。我們認為，三角法只看到坐標平面上的兩個點在單位圓上，因而有參數式即三角變換④、⑤。但沒有進一步揭示已知等式所體現的內容，即A滿足“單位圓上過點B的切線方程”：56頁移項配方得由切點的唯一性知A，B重合，于是得出比求證更強的結論我們的這段話，不僅揭示了題目的數學內容，同時也已完成了題目的證明.證明五：已知條件表明，單位圓上的點

滿足A在過B的切線上，由切點的唯一性，有⑧57頁由切點的唯一性知A，B重合，于是得出比求證更強的結論平方得（3）這里的“切點重合”時怎么想出來的呢？其實是從三角法所浪費了的信息又重新捕捉回來的。三角法中的式⑥即這比式①更強烈而直觀地告訴我們，A在過B的切線上，而式⑦更是清楚而明白地說明A與B重合.于是，我們抓住“切點重合”的思路分三步組織成證明五，并且沿著“兩點重合”的知識鏈，繼續導出一系列解法：58頁平方得（3）這里的“切點重合”時怎么想出來的呢？其A，B重合|AB|=0距離公式中平方和為零——配方基本不等式（源于配方）柯西不等式……證明六:設,則故A，B重合，可得⑧。59頁A，B重合證明六:設證明七（配方法）:對已知式移項配方由非負性質可得.沒有“距離為零”或“切點重合”的啟發，這里的配方時一定難度的，甚至可以說是古怪特殊的，但它只不過是證明六的逆向書寫而已.60頁證明七（配方法）:對已知式移項配方由非負性證明八:由基本不等式，有等號成立當且僅當⑧時成立.平方即得.證明九:由柯西不等式，有等號成立當且僅當61頁證明八:由基本不等式，有等號成立當且僅當⑧時成立.平方即則證明十:設，即得.移項平方即得.證明十一:引進二次函數62頁則證明十:設令，得證明十二:如圖7-3，作，使，高CD分AB，且高.則得DCBA圖7-3同理AC=b.又由于，恰好等于所以是直角三角形，有63頁令，得證明十二:嘗試題1.沿一圓周放置若干堆小球，每堆小球的個數都是3的整數倍，但各堆球數未必相等.現在按下列規則調整各堆球數：把各堆小球三等分，本堆留一份,其余兩份分別放到左右相鄰的兩堆中去.如果某堆小球個數不是3的整數倍時，可從備用布袋中取出一球或兩球放入，使該堆球數是3的整數倍，然后按上法繼續調整，證明：經過有限次調整之后，各堆小球個數就相等.64頁嘗試題1.沿一圓周放置若干堆小球，每堆小球§1.8數學解題能力的提高

1.8.1提高數學解題能力的基本條件

怎樣才能提高我們的解題能力？這不是一個三言兩語就能使人滿意回答的問題。一般地說，提高解題能力必須具備四個條件：一、建立明確的基本概念；二、掌握熟悉的基本技能；三、學會正確的思維方法；四、養成良好的解題習慣。也就是我們通常所說的“狠抓雙基，培養能力”的意思。65頁§1.8數學解題能力的提高

1.8.1提高數學解題能力的基§1.8數學解題能力的提高

1.8.2解題能力的主要標志

解題能力的主要標志一般體現在分析能力、設想能力、歸納能力、摹仿能力、似真推理能力和邏輯推理能力等幾個方面。

66頁§1.8數學解題能力的提高

1.8.2解題能力的主要標志§1.8數學解題能力的提高

1.8.2解題能力的主要標志

邏輯推理乃是數學思維的基本形式之一，解數學題，只有在邏輯推理的協助下，才得以一步步向前推進，衡量數學解題中邏輯推理能力的指標有如下幾個方面：（ⅰ）準確而流暢地運用數學語言的能力；（ⅱ）分析完畢整理出證明過程的能力；（ⅲ）鑒別證明正確與否的能力；（ⅳ）構造反例來糾正邏輯錯誤的能力。67頁§1.8數學解題能力的提高

1.8.2解題能力的主要標志§1.8數學解題能力的提高

1.8.3沿著五個層次，逐步培養和提高解題能力

我們解題時，總是設法把一個題目引為我們熟悉的類型（歸納為已經解過的題）。原有的熟悉類型可以為我們解決新問題服務，解決了一個新問題就擴大了我們熟悉的類型的范圍。68頁§1.8數學解題能力的提高

1.8.3沿著五個層次，逐步培養1.直接套用直接套用是指把一個數學問題直接利用已熟悉的數學概念、定理、公式、性質或某種典型方法求解.這時我們就只要依葫蘆畫瓢，進行摹仿，直接套用現成的定理、公式、性質或已掌握的有關結論就可以了.例1：設都是正數，求證證法一：由平均值不等式，有①69頁1.直接套用直接套用是指把一個數學問題直接利用將以上各式相加，即得要證的不等式.證法二：由柯西不等式有因此70頁將以上各式相加，即得要證的不等式.證法二：由柯西不等式有因證法三：①式可轉化為因為故即需證明而因為①71頁證法三：①式可轉化為因為于是有以上各式相加，即得（），故原不等式成立.①72頁于是有以上各式相加，即得（），故原不等式成立.①〔評析〕本題也可以用非負實數矩陣中，列元之和的幾何平均不小于行元的幾何平均之和，或應用排序不等式與數學歸納法證明。此外，基本不等式的變式的靈活運用也是證明不等式中的一種重要技巧，例如，基本不等式，等號當且僅當時成立.它有如下幾種變式：(2)(1)(3)73頁〔評析〕本題也可以用上例證明可利用變式（1），即不等式（1）左邊原不等式得證.2.設法湊用有時一個問題并不能立即把它轉化為可以直接套用熟悉的概念，定理、公式、性質或某種典型方法求解，只能參照某些近似問題的解法，結合本題的特點，對題目中的式子或圖形等進行湊合，使得湊合后達到某種預期的目的.設法湊用或可套用某個概念、定理、公式、性質、某種典型的方法，能用上題條件，出現結論的形式等等，這就比直接套用進了一步.74頁上例證明可利用變式（1），即不等式（1）左邊原不等式得證.2例2：已知為兩兩不相同的正整數，求證對任何正整數，有下列不等式成立：.證法一：由于為兩兩不相同的正整數，故有.故原不等式得證.于是75頁例2：已知

證法二：依條件有，根據例1中變式（2）有故原不等式得證.〔評證〕證法二是利用基本不等式的變式，即.顯然，證明過程較簡捷.76頁證法二：依條件有3.聯想廣用解答某些問題時，全方位審視已知信息，聯系學過的知識和解決的方式，展開一列系的聯想：對題設、題斷所涉及的概念進行聯想，對涉及的圖形性質進行聯想，對類似或有關的命題開展聯想，對一個已知解決問題的推廣結論、變形結論等進行聯想，對某些典型解題方法進行聯想等等.例3：解聯立方程組求出所有的實根或復根.77頁3.聯想廣用解答某些問題時，全方位審視已知信聯想一：由（1）、（2）容易得到（用表示），由此聯想到是某一元二次方程的兩實根，于是考慮某一元二次方程，再利用它有實根的充要條件來求解.解1由（1）、（2）得到將（4）、（5）代入由（4）、（6）知是方程的兩根.78頁聯想一：由（1）、（2）容易得到是實數當且僅當其判別式解得此時可見（1）、（2）只有實數解它也適合（3），故原方程組的唯一實數解為聯想二：由（4）、（5）兩式的左邊與聯想到不等式于是考慮此不等式來求解.解2由是實數得將（4）、（5）代入上式得（下略）79頁是實數當且僅當其判別式解得聯想三：由（4）、（5）的形式容易聯想到直線和圓的方程，于是考慮利用直線和圓的位置關系來求解.解3（4）、（5）有實解的幾何意義是直線（4）與直線（5）的距離有公共點，即圓心到直線（4）的距離不大于半徑，故（下略）.聯想四：（5）式左邊是平方和，可變形為聯想到用三角代換求解.80頁聯想三：由（4）、（5）的形式容易聯想到直線和解4設代入（4）并化成由（下略）聯想五：由于是復數和的模，而這兩個復數之和的模為于是考慮用復數法求解.解5設由得81頁解4設代入（4）并化成由（下略）將（4）、（5）式代入上式得（下略）.聯想6：由聯想到柯西不等式.解6由（1）、（2）及柯西不等式得由柯西不等式取等號的充要條件得再由（1）得它也適合（3），故為原方程組的唯一實數解.82頁將（4）、（5）式代入上式得（下略）.聯想6聯想七：由于（1）、（2）可求得聯想到是某三次方程的根.

解法7設是三次方程的根.由（1）知由（1）、（2）有由現假定于是其中又由（3）有83頁聯想七：由于（1）、（2）可求得聯想到是某三次方程將上式展開并注意到可以得到聯想八：由求滿足某一等式的多個元素的非負數的方法，有得得也適合（3），故方程組有唯一實數解4.構造巧用湊合中的一種特殊手段是構造.構造并解出一個合適的輔助問題（命題，圖形，數式等），從而用它求得一條通向一個表面上看來難于接近的問題的通道.84頁將上式展開并注意到可以得到聯想八：由求滿足某例4正數滿足條件求證：此題是一道代數不等式，將條件代式入，有且即當時，運用放縮法，取則左邊當時，運用放縮法，取則左邊由此即證.但如果運用構造的手段，可給出這道代數不等式的若干巧妙證法.85頁例4正數簡析一：由求證的不等式聯想到函數式，構造以為變量字母的一次函數式：此函數式的圖象是無端點的線段，且故即證得原不等式.簡析二：由求證的不等式聯想到面積關系，由所設條件式聯想到構造以邊長為的正三角形，如圖1－9.PQALaRBMbCNc圖1－9由即證.86頁簡析一：由求證的不等式聯想到函數式，構造以

簡析三：由求證的不等式聯想到面積關系，由題設條件式聯想到以邊長為的正方形，如圖1－10，由圖即證.BaACbaBcAbccBb圖1－10

簡析四：由以上兩種聯想到面積，那么聯想到體積行嗎？不妨一試，構造以棱長為的正方體，則有顯然由此即證.87頁簡析三：由求證的不等式聯想到面積關系，由題

數學解題學研究

廣西師范大學數學科學學院龍開奮88頁數學解題學研究廣西師范大

§1數學問題什么是數學中的問題？波利亞在《數學的發現》中將問題理解為：有意識地尋求某一適當的行動，以便達到一個被清楚地意識到但又不能立即達到的目的。解決問題指的是尋找這種活動。

89頁

§1數學問題什么是數學中的問題？2頁§1.1數學問題波利亞在《怎樣解題》中說：我們考慮的所有形式的問題都可以認為由三類信息組成：關于已知條件的信息（已知表達式）；關于運算的信息，這些運算從一個或多個表達式推導出一個或多個新的表達式；以及關于目標的信息（目標表達式）。

90頁§1.1數學問題波利亞在《怎樣解題》§1.1數學問題問題是指那些對于解答者來說還沒有具備直接的解決辦法，對于解答者構成認知上的挑戰這樣一種局面。

91頁§1.1數學問題問題是指那些對于解答者來說還沒有§1.1數學問題“一個（數學）問題是一個對人具有智力挑戰特征的，沒有現成的直接方法、程序或算法的未解決的情景”。這是1988年第一屆國際數學教育大會的一份報告中提出的。

92頁§1.1數學問題“一個（數學）問題是一個對人具有§1.1數學問題

無論怎么提法，都具有同樣的本質：問題反映了現有水平與客觀需要的矛盾。問題就是矛盾，對于學生而言，問題主要具有如下三個特點：1、可接受性：給出的問題學生具有解決它的知識基礎和能力基礎，即課本習題。2、障礙性：學生不能直接將問題解答，必須通過思考或多次嘗試，才能解決的問題。3、探究性：學生不能按照常規的套路來解決，必須進一步發掘、探索和研究，尋找出解決問題的新途徑。

93頁§1.1數學問題無論怎么提法，都具有§1.1數學問題

數學問題可按照多種不同的標準進行分類。本講所說的分類僅是面對教學方面而言.如按知識內容分類（算術題、代數題、平面幾何題、立體幾何題、解析幾何題和三角題等）；按解題形式分類（常見求解題、證明題或說明題、變換題或求作題、填空題等四類）；

按評判解答的客觀性分類（客觀性問題常分為判斷題、選擇題、填充題和簡短問答題；主觀性問題如證明題、計算題等）；

按思維程度分類（常分為規范程度和發展程度等，而規范程度可分為常規與非常規題；發展程度可分為封閉型題與開放型題）。

94頁§1.1數學問題數學問題可按照多種不同的標準進行§1.1數學問題

在數學解題教學中，封閉型題與開放型題具有解題訓練的互補作用，兩者均不可偏廢，封閉型題一般用于鞏固知識，主要引起“同化”作用；而開放型題則使主體容易暴露知識的缺陷，主要引起“順應”作用，促進解題能力的提高。

95頁§1.1數學問題在數學解題教學中，封閉型題與開放§1.1數學問題

數學教學中的問題一般分為練習型與研究型兩類。練習型的問題具有教學性，它的結論為數學接或教師所已知，其之所以成為問題僅相對于教學或學生而言。研究型問題具有學術性，它的結構對于數學家或教師都是未知的，其中既有數學自身理論發展的認知題，又有應用數學理論解決實際問題的應用題。96頁§1.1數學問題數學教學中的問題一般§1.2數學問題的解決

1）數學問題解決的涵義

問題解決都是以思考為內涵，以問題目標定向的心理活動或心理過程，即指人們在日常生活和社會實踐中，面臨新情境、新課題，發現它與主客觀需要矛盾而自己卻沒有現成對策時，所引起的尋求處理辦法的一種活動，這是一個發現的過程、探索的過程、創新的過程，具有某種程度的創造性。

97頁§1.2數學問題的解決

1）數學問題解決的涵義§1.2數學問題的解決

1）數學問題解決的涵義數學領域中的問題解決，有三個層次：一般性解決：即基本邏輯水平上的解決，它力求明確解題的大體方向；功能性解決：即基本數學方法水平上的解決，它力求明確解題所用的基本思想方法；特殊性解決：即具體的解決，它力求明確解題的具體方法、技巧和程序。（一般性和功能性是特殊性解決的基礎）98頁§1.2數學問題的解決

1）數學問題解決的涵義§1.2數學問題的解決

2）數學問題解決的方法涵義

所謂的方法，就是找到一個解決問題的途徑，且能夠預見甚至能夠證明，照這個途徑做下去就一定可以取得成功。

99頁§1.2數學問題的解決

2）數學問題解決的方法涵義§1.2數學問題的解決

2）數學問題解決的方法涵義

問題的一個解法應包括如下四個部分：①對已知條件的完整認識，即給出問題的唯一初始狀態，從這一狀態出發經過一系列運算可以推導出目標；②說明所用的運算，即公式、法則、定義、公理、定理等理論依據；③從初始狀態到目標狀態為止的按順序排好的一個問題狀態序列，使得序列中的每一個狀態都能在對前面的狀態應用適當運算以后得到；④完整說明目標，既對問題結論的完整描述。

100頁§1.2數學問題的解決

2）數學問題解決的方法涵義§1.3.1數學解題的意義

從數學學科的教育與學習來看，也就是說從掌握數學來看，著名的美國數學家和教育家G.波利亞指出：“掌握數學意味著什么？這就是說善于解一些標準的題，而且善于解一些要求獨立思考、思路合理、見解獨到和有發現創造的題。”101頁§1.3.1數學解題的意義從數學學科的教育與學§1.3.1數學解題的意義

波利亞認為，任何學問都包括知識和能力這兩個方面。對于數學，能力比起僅僅具有一些知識來，要重要得多，那么在數學學科中，能力指的是什么？波利亞說：“這就是解決問題的才智——我們這里所指的問題，不僅僅是尋常的，它們要求人們具有某種程度的獨到見解、判斷力、能動性和創造精神。”102頁§1.3.1數學解題的意義波利亞認為，任何學問§1.3.1數學解題的意義

波利亞把“解題”作為培養學生的數學才能和教會他們思考的一種手段和途徑，這種思想得到了國際數學教育界的廣泛贊同，1976年國際數學管理委員會把解題能力列為十項基本技能的首位。103頁§1.3.1數學解題的意義波利亞把“解題”作為§1.3.1數學解題的意義

通過解題可以使學習者獨立地、積極地進行認知活動，深入地理解數學概念，全面系統地掌握數學基礎知識，實際地學習數學的本質、精神、思想，切實地掌握解數學題的方法的基本技能和技巧，（例如善于運用某種方法、手段改變數學問題的情況；善于構想新的解題手段和解題思路；善于區分和積累可能有益的資料；善于在原有題目和解法的基礎上，聯想構造出新的題目和解題方法；善于自我測驗以及對解題進行討論，等等），104頁§1.3.1數學解題的意義通過解題可以使學習者§1.3.1數學解題的意義

從而有效地培養運算能力，邏輯思維能力和空間想象能力，以形成運用數學知識來分析和解決社會生活、經濟建設和科學技術中的實際問題的能力，以便適應現代化生產的多樣性和變化性，從事創造性勞動。105頁§1.3.1數學解題的意義從而有效地培養運算能§1.3.2數學解題研究觀

數學解題研究的中心內容是什么1.從科學研究的方法論來看2.從數學解題實踐來看106頁§1.3.2數學解題研究觀數學解題研究的中心內容是什么19§1.3.2數學解題研究觀

解題的主要目的之一，也就在于掌握一定的方法以形成有利于今后解決實際問題的遷移能力。因此，對于解題方法在解題中所處的地位的中心性我們不能僅僅是知道或認識，在數學解題研究中，一定要真正體現這個中心系統，圍繞這個中心而開展工作，研究其系統建構，還要研究這個中心系統的軸心系統及其系統建構。107頁§1.3.2數學解題研究觀解題的主§1.4數學解題程序“怎樣解題”表弄清問題擬定計劃實現計劃回顧討論108頁§1.4數學解題程序“怎樣解題”表弄清問題擬定計劃實第一步理解題意綜觀之，這是一道關于圖形的最值問題.109頁第一步理解題意綜觀之，這是一道關于圖形的最值問題.2第二步擬定計劃設想以前從未見過這個問題，但曾見過也解過與它密切相關的兩類問題：第一：已知三角形中某些邊角之間的數量關系，要求判斷這個三角形的形狀或解出它.第二：在一確定的三角形中的某曲線上有一動點，求這點到三角形三頂點或三邊的距離的和或平方和的最值.于是原問題可分裂為兩個較為簡單的問題.110頁第二步擬定計劃設想以前從未見過這對第（1）小題，已具備了三個條件式，這類問題據以前的經驗，只要對數式進行適當的推算，三角形不難解出來.對第（2）小題，在確定了三角形的形狀大小以后，因涉及內切圓上一個動點，擬引入直角坐標系，即能利用解析法列出目標函數，其最值也可用一般的代數三角方法順利求出.至此，一個比較完整的解題計劃可說是已經擬定了.第三步實現計劃由，用正弦定理作代換，得111頁對第（1）小題，已具備了再由如圖1.1建立直角坐標系，使得112頁再由如圖1.1建立直角坐標系，使得25頁設圓上的任一點為P（x,y）,則有yBoCAxPN圖1.1113頁設圓上的任一點為P（x,y）,則有yBoCAxPN圖1.因P是內切圓上的點，故0≤x≤4，于是當x=4時，有,當x=0時，有第四步回顧討論對上面解題過程的運算檢驗無誤后可考慮：x=0時，P點運動到BC邊上的切點M，此時得所求平方和最大值為88;當x=4時，P點運動到過M的直徑的另一端點N，此時得所求平方和最小值為72.此外，能否用別的方法來導出結果呢？對第（1）小題也可以一開始用余弦定理作代換，對第（2）小題除選擇不同的位置建立坐標系外，圓上的動點P也可以利用參數式表示，于是有好幾種方法.（略）114頁因P是內切圓上的點，故0≤x≤4，于是當x=4時，有本題雖然是一道不復雜的綜合題，但善于解題的人也會從中獲得一些有益的經驗，例如：（i）如果本題前部分不用正弦或余弦定理作代換，后半部分不使用解析法，雖然仍能設法確定三角形并推導出目標函數，但解題過程的復雜程度會明顯上升.這說明，對于同樣的素材（題設條件），選用不同的加工方法（解題方法），其繁瑣程度是有顯著區別的.（ii）從上題的解答中，我們可以認識到圖形中的最值常在動點位于某些特殊位置時產生.（iii）使我們看到：注意數形結合，使計算大為簡化，并且更能揭露問題的實質.115頁本題雖然是一道不復雜的綜合題，但善于解題的人也§1.5數學解題過程分析

1.5.1解題步驟過程的一般性與特殊性分析

一般性分析審題擬定計劃實現計劃回顧116頁§1.5數學解題過程分析

1.5.1解題步驟過程的一般性與特§1.5數學解題過程分析

1.5.2解題思維過程的圖解表示

波利亞十分重視解題活動中思維的作用，他在文（2）中，用一張圖表，對數學解題思維過程做了精辟的分析和高度的概括。他用九個詞排成一個正方形，一個在正方形中心，四個在正方形的頂點上，其余四個則寫在四條邊上。

分離預見組合重新配置辨認動員回憶充實組織117頁§1.5數學解題過程分析

1.5.2解題思維過程的圖解表§1.6數學解題思路的探求

1.6.1試悟式探索

試悟式探索解題思路是我們在解常規數學問題時或解所謂標準性訓練性題時常采用的方式。探索程序框圖表觀察題目特征發掘題設內涵溝通靠攏條件糾錯發掘題設內涵探索轉化方向嘗試靠攏熟悉類型解決原來問題118頁§1.6數學解題思路的探求

1.6.1試悟式探索探（1）讓我們來探索本題的解題思路（如圖1－3）：（A）觀察（題目的特征）①AD=1,四個覆蓋圓的半徑為1，因此數字1是特殊數值.②本題是個條件覆蓋問題.③ABCD為平行四邊形，銳角三角形，有為銳角.覆蓋圖形的條件是邊長AB與有密切關系等圖形特征.oAEBCDp圖1－3119頁（1）讓我們來探索本題的解題思路（如圖1－3）：（A）觀察（（B）發掘（題設的內涵）①為什么要限制為銳角三角形？②圓蓋住了，即四邊形內任一點P都使PA、PB、PC、PD四個距離中至少有一個不大于1.③由于對稱性關系，在內的點如能被圓蓋住，則在內的點必能被圓蓋住。故只要對討論問題即可.④從已知條件不等式（1）：看，常常可改寫為，此處是否對解題有用？120頁（B）發掘（題設的內涵）①⑤考慮射影定理，設的外接圓半徑R，則有這與已知條件式（1）有什么關系？……（C）嘗試轉化（命題的形式）根據（B）中的②和③兩點，可以把本題的結論轉化為：設P為銳角內任一點，則PA、PB、PD三者之中至少有一個不大于1的充要條件是不等式（1）成立.（D）試探并糾錯（靠攏的方向）把問題轉化為（C）以后，怎樣靠攏我們已熟悉的類型呢？如果一時還理不出頭緒，可先進行特殊試探.取內的一些特殊點為P（如內心、外心、重心等等）來試探，當取內心、重心為P時121頁⑤考慮射影定理，設不能達到目的，因此最特殊的莫過于取外心O為P，這時應有，我們知道，內任一點P和三角形各頂點的距離不都大于R.R在這里肯定將起著舉足輕重的作用.

（E）溝通（靠攏的條件）引入的外接圓半徑R.（F）再嘗試轉化（命題的形式）引入R后本題可進一步再轉化為：在銳角中，.證明不等式（1）成立.122頁不能達到目的，因此最特殊的莫過于取外心O為P，這時應有（G）靠攏（熟悉的類型）在內，必可建立之間的關系式.在已建立的關系中，令，即得包含的不等式，所得不等式與（1）的關系如何？如果我們已經熟知建立之間的關系及角不等式等知識，則可實際試一試了.由正弦定理：