用消元法解線性方程組得知，線性方程組解的情況有三種：無窮多解、唯一解和無解．歸納求解過程，實際上就是對方程組(2.6.1)的增廣矩陣2.7線性方程組解的情況判定返回1/28下一頁下一頁上一頁上一頁用消元法解線性方程組得知，線性方程組解的情況有三種：無窮1返回2/28上一頁上一頁下一頁下一頁

進行初等行變換，將其化成如下形式的階梯形矩陣：2.7線性方程組解的情況判定返回2/28上一頁上一頁下一頁下一頁進行初等行變換，將其2返回3/28上一頁上一頁下一頁下一頁，(2.7.1)2.7線性方程組解的情況判定返回3/28上一頁上一頁下一頁下一頁，(2.7.1)2.7線3其中，或．(2.7.2)返回4/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定其中，或．(2.7.2)返回4/28上一頁上4

由定理2.6.1可知，階梯形矩陣(2.7.1)和(2.7.2)所表示的方程組與方程組(2.6.1)是同解方程組，于是由矩陣(2.7.1)和(2.7.2)可得方程組(2.7.1)的解的結論:

1.當時，階梯形矩陣(2.7.1)和(2.7.2)所表示的方程組中的第個方程

“”是一個矛盾方程，因此，方程

組(2.6.1)無解．返回5/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定由定理2.6.1可知，階梯形矩陣(2.7.1)和(2.75

2.當時，方程組(2.6.1)有解．

并且解有兩種情況：

(1)如果，則階梯形矩陣(2.7.1)表示的方程組為，，．返回6/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定2.當時，方程組(2.6.1)有解．

并且解有兩6

用回代的方法，自下而上依次求出，，，的值．因此，方程組(2.6.1)

有唯一解.(2)如果，則階梯形矩陣(2.7.1)表

示的方程組為，，．返回7/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定用回代的方法，自下而上依次求出，(2)如果，則7將后個未知量項移至等號的右端，得，，，其中，，為自由未知量．因此，方程組(2.6.1)有無窮多解．返回8/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定將后個未知量項移至等號的右端，得，，，其中，，8

定理2.7.1(線性方程組有解判別定理)

線性方程組(2.6.1)有解的充分必要條件是其系數矩陣與增廣矩陣的秩相等．即．

推論1

線性方程組(2.6.1)有唯一解的充分必要條件是．返回9/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定定理2.7.1(線性方程組有解判別定理)線性方程組(29

推論2

線性方程組(2.6.1)有無窮多解的充分必要條件是．

推論3

齊次線性方程組(2.6.2)只有零解的充分必要條件是．

推論4

齊次線性方程組(2.6.2)有非零的充分必要條件是．返回10/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定推論2線性方程組(2.6.1)有無窮多解的充分必要條件10

特別地，當齊次線性方程組(2.6.2)中，方程個數少于未知量個數時，必有．這時方程(2.6.2)一定有非零解.返回11/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定特別地，當齊次線性方程組(2.6.2)中，方程個數少于未11

例1

判別下列方程組是否有解？若有解，是有唯一解還是有無窮多解？(1)，，，；返回12/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定例1判別下列方程組是否有解？若有解，是有唯一解還是有無12(2)，，，；(3)，，，．返回13/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定(2)，，，；(3)，，，．返回13/28上一頁上一頁下一頁13

解

(1)用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即返回14/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定解(1)用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即返回114

因為，，兩者不等，所以方程組無解．.返回15/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定因為，，兩者不等，所以方程組無解．.返15

(2)用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即

因為，所以方程組有無窮多解．返回16/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定(2)用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即因為16

(3)用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即

因為，所以方程組有唯一解．．返回17/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定(3)用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即因為17例2

判別下列齊次方程組是否有非零解？，，，．返回18/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定例2判別下列齊次方程組是否有非零解？，，，．返回18/2818

解

用初等行變換將系數矩陣化成階梯形矩陣，即返回19/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定解用初等行變換將系數矩陣化成階梯形矩陣，即返回19/219

因為，所以齊次方程組只有零解．．返回20/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定因為，所以齊次方程組只有零解．．返20

例3

問，取何值時，下列方程組無解？有唯一解？有無窮多解？，，．返回21/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定例3問，取何值時，下列方程組無解？有唯一解？有無窮21解

由．返回22/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定解由．返回22/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程22

當時，，故方程組有唯一解；

當而時，，故方程組有無窮多解．

當而時，，，故方程組無解；返回23/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定當時，，故方程組有唯一解；當23例4

已知總成本是產量的二次函數．根據統計資料，產量與總成本之間有如表2-1所示的數據．試求總成本函數中的，，．返回24/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定例4已知總成本是產量的二次函數．根據統計資料，產量與總24表2-1某廠某階段產量與總成本統計表時期產量(千臺)總成本(萬元)第1期第2期第3期61041016020370返回25/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定表2-1某廠某階段產量與總成本統計表時期產量(千臺)總25

解

將，，代入已知二次函數模型中，得方程組，，．

利用初等行變換將其增廣矩陣化成行簡化階梯形矩陣，再求解．即返回26/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定解將，，代入已知二次函數模型中，得方26返回27/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定返回27/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情27．方程組的解為：，，．因此

總成本函數為．返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定．方程組的解為：，，．因此

總成本函數為．返回28返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁課堂小結齊次線性方程組非齊次線性方程組有無窮多解.bAx=返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁課堂小結齊次線性方程組29返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁課堂練習1、判斷下列方程解的情況(1)(2)(3)返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁課堂練習1、判斷下列方30解：(1)所以方程組有無窮多解．解：(1)所以方程組有無窮多解．31返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁解：(2)返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁解：(2)32返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁

因為，，兩者不等，所以方程組無解．返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁因為，33返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁解：(3)返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁解：(3)34返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁

因為，所以方程組有唯一解．返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁因為35

2、問，取何值時，下列方程組無解？有唯一解？有無窮多解？2、問，取何值時，下列方程組無解？有唯一解？有無窮多36返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁解

由返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁解由37返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁

當而時，，，故方程組無解；

當時，，故方程組有唯一解；

當而時，，故方程組有無窮多解．返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁當而時38返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁作業P79習題2.71（2）（3）2返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁作業P79習題239返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁40返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁41返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁42

用消元法解線性方程組得知，線性方程組解的情況有三種：無窮多解、唯一解和無解．歸納求解過程，實際上就是對方程組(2.6.1)的增廣矩陣2.7線性方程組解的情況判定返回1/28下一頁下一頁上一頁上一頁用消元法解線性方程組得知，線性方程組解的情況有三種：無窮43返回2/28上一頁上一頁下一頁下一頁

進行初等行變換，將其化成如下形式的階梯形矩陣：2.7線性方程組解的情況判定返回2/28上一頁上一頁下一頁下一頁進行初等行變換，將其44返回3/28上一頁上一頁下一頁下一頁，(2.7.1)2.7線性方程組解的情況判定返回3/28上一頁上一頁下一頁下一頁，(2.7.1)2.7線45其中，或．(2.7.2)返回4/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定其中，或．(2.7.2)返回4/28上一頁上46

由定理2.6.1可知，階梯形矩陣(2.7.1)和(2.7.2)所表示的方程組與方程組(2.6.1)是同解方程組，于是由矩陣(2.7.1)和(2.7.2)可得方程組(2.7.1)的解的結論:

1.當時，階梯形矩陣(2.7.1)和(2.7.2)所表示的方程組中的第個方程

“”是一個矛盾方程，因此，方程

組(2.6.1)無解．返回5/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定由定理2.6.1可知，階梯形矩陣(2.7.1)和(2.747

2.當時，方程組(2.6.1)有解．

并且解有兩種情況：

(1)如果，則階梯形矩陣(2.7.1)表示的方程組為，，．返回6/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定2.當時，方程組(2.6.1)有解．

并且解有兩48

用回代的方法，自下而上依次求出，，，的值．因此，方程組(2.6.1)

有唯一解.(2)如果，則階梯形矩陣(2.7.1)表

示的方程組為，，．返回7/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定用回代的方法，自下而上依次求出，(2)如果，則49將后個未知量項移至等號的右端，得，，，其中，，為自由未知量．因此，方程組(2.6.1)有無窮多解．返回8/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定將后個未知量項移至等號的右端，得，，，其中，，50

定理2.7.1(線性方程組有解判別定理)

線性方程組(2.6.1)有解的充分必要條件是其系數矩陣與增廣矩陣的秩相等．即．

推論1

線性方程組(2.6.1)有唯一解的充分必要條件是．返回9/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定定理2.7.1(線性方程組有解判別定理)線性方程組(251

推論2

線性方程組(2.6.1)有無窮多解的充分必要條件是．

推論3

齊次線性方程組(2.6.2)只有零解的充分必要條件是．

推論4

齊次線性方程組(2.6.2)有非零的充分必要條件是．返回10/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定推論2線性方程組(2.6.1)有無窮多解的充分必要條件52

特別地，當齊次線性方程組(2.6.2)中，方程個數少于未知量個數時，必有．這時方程(2.6.2)一定有非零解.返回11/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定特別地，當齊次線性方程組(2.6.2)中，方程個數少于未53

例1

判別下列方程組是否有解？若有解，是有唯一解還是有無窮多解？(1)，，，；返回12/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定例1判別下列方程組是否有解？若有解，是有唯一解還是有無54(2)，，，；(3)，，，．返回13/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定(2)，，，；(3)，，，．返回13/28上一頁上一頁下一頁55

解

(1)用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即返回14/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定解(1)用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即返回156

因為，，兩者不等，所以方程組無解．.返回15/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定因為，，兩者不等，所以方程組無解．.返57

(2)用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即

因為，所以方程組有無窮多解．返回16/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定(2)用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即因為58

(3)用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即

因為，所以方程組有唯一解．．返回17/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定(3)用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即因為59例2

判別下列齊次方程組是否有非零解？，，，．返回18/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定例2判別下列齊次方程組是否有非零解？，，，．返回18/2860

解

用初等行變換將系數矩陣化成階梯形矩陣，即返回19/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定解用初等行變換將系數矩陣化成階梯形矩陣，即返回19/261

因為，所以齊次方程組只有零解．．返回20/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定因為，所以齊次方程組只有零解．．返62

例3

問，取何值時，下列方程組無解？有唯一解？有無窮多解？，，．返回21/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定例3問，取何值時，下列方程組無解？有唯一解？有無窮63解

由．返回22/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定解由．返回22/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程64

當時，，故方程組有唯一解；

當而時，，故方程組有無窮多解．

當而時，，，故方程組無解；返回23/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定當時，，故方程組有唯一解；當65例4

已知總成本是產量的二次函數．根據統計資料，產量與總成本之間有如表2-1所示的數據．試求總成本函數中的，，．返回24/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定例4已知總成本是產量的二次函數．根據統計資料，產量與總66表2-1某廠某階段產量與總成本統計表時期產量(千臺)總成本(萬元)第1期第2期第3期61041016020370返回25/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定表2-1某廠某階段產量與總成本統計表時期產量(千臺)總67

解

將，，代入已知二次函數模型中，得方程組，，．

利用初等行變換將其增廣矩陣化成行簡化階梯形矩陣，再求解．即返回26/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定解將，，代入已知二次函數模型中，得方68返回27/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定返回27/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情69．方程組的解為：，，．因此

總成本函數為．返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁2.7線性方程組解的情況判定．方程組的解為：，，．因此

總成本函數為．返回70返回28/28上一頁上一頁下一頁下一頁課堂小結齊次線性方程組非齊次線性方程組有無窮多解.bAx=返回28/28上一頁上一